数学七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试学案

这是一份数学七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试学案，共23页。

第8讲 角的概念及运算
中考大纲



中考内容
中考要求
A
B
C
角
理解角的概念,认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，会计算角的和、差
尺规作图（基本作图）：作一个角等于已知角；能比较角的大小；能结合图形认识角与角之间的数量关系

角平分线
了解角平分线的概念
尺规作图（基本作图）：作一个角的平分线；能利用角平分线的性质与判定解决有关简单问题
运用角平分线的有关内容解决有关问题

知识网络图





1角的概念及表示方法
知识概述


一． 角的定义
1． 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
2． 定义2：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．
（1） 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角．
（2） 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角．
3． 由角的定义可知：
（1） 角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2） 顶点是这两条边的交点；
（3） 角的两条边是射线，是无限延伸的；
（4） 角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关；
（5） 射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．
二． 角的表示方法
1． 利用三个大写字母来表示，如图

注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
2． 利用一个大写字母来表示，如图．

注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．

3． 用数字来表示角，如图．

4． 用希腊字母来表示角，如图．


小试牛刀


【例】（2017秋•尚志市期末）下列说法中正确的个数是（　　）
①在同一图形中，直线AB与直线BA不是同一条直线
②两点确定一条直线
③两条射线组成的图形叫做角
④一个点既可以用一个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示
⑤若AB=BC，则点B是线段AC的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①在同一图形中，直线AB与直线BA是同一条直线，原来的说法是错误的；
②两点确定一条直线是正确的；
③有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，原来的说法是错误的；
④一个点可以用一个大写字母表示，不可以用一个小写字母表示，原来的说法是错误的；
⑤若AB=BC，则点B是线段AC垂直平分线上的点，原来的说法是错误的．
故选：A．
再接再厉


【例】（2017秋•鞍山期末）如图所示，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有___个角；画2条射线，图中共有____个角；画3条射线，图中共有____个角；画n条射线，图中共有______个角．

【解答】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角=；
画2条射线，图中共有6个角=；
画3条射线，图中共有10个角=；
…，
∴画n条射线，图中共有个角，
故答案为：3，6，10，．
　
【练习】（2017秋•双城市期末）如图，∠AOB=90°，以O为顶点的锐角共有___个．

【解答】解：以OA为一边的角，∠AOD，∠AOC；
以OD为一边的角，∠DOC，∠DOB；
以OC为一边的角，∠COB．
共5个角．
故答案是：5．
总述

讨论一下：角的定义有几个？分别是什么？它们有什么不同？









2度量与计算
知识概述


一． 角的度量
把一个周角等分，每一份就是度的角，记作；
把度的角等分，每一份叫做分的角，记作；
把分的角等分，每一份叫做秒的角，记作．
二． 角度的换算
角的度、分、秒是进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．
度＝分() 分=秒()
三． 角度之间的关系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
四． 度量工具：我们常用的度量角的工具为量角器（也叫半圆仪）．

我们常用的一副三角板，其中一个三角分别为、、，另一个三个角分别为、、．


五． 角的分类：
锐角：度数大于，小于的角称为锐角；
直角：度数为的角称为直角；
钝角：大于，小于的角称为钝角。


小试牛刀


【例】（2017秋•和平区期末）下列各数中，正确的角度互化是（　　）
A．63.5°=63°50′ B．23°12′36″=23.48°
C．18°18′18″=18.33° D．22.25°=22°15′
【解答】解：A、63.5°=63°30′≠63°50′，故A不符合题意；
B、23.48°=23°28′48″≠23°12′36″，故B不符合题意；
C、18.33°=18°19′48″≠18°18′18″，故C不符合题意；
D、22.25°=22°15′，故D正确，
故选：D．
【练习】（2017秋•丰台区期末）计算：12°20′×4=_____．
【解答】解：原式=49°20′．
故答案是：49°20′．
再接再厉


【练习】（2017春•曹县校级月考）计算：
（1）90°﹣36°12'15″
（2）32°17'53“+42°42'7″
（3）25°12'35“×5；
（4）53°÷6．
【解答】解：（1）90°﹣36°12'15″=53°47′45″；
（2）32°17'53“+42°42'7″=74°59′60″=75°
（3）25°12'35“×5=125°60′175″=126°2′55″；
（4）53°÷6=8°50′．
　
【练习】（2017春•单县校级月考）度、分、秒的计算
①56°18′+72°48′=
②131°28′﹣51°32′15″=
③12°30′20″×2=
④12°31′21″÷3=
【解答】解：①56°18′+72°48′=129°6′；
②131°28′﹣51°32′15″=79°55′45″
③12°30′20″×2=25°40″；
④12°31′21″÷3=4°10′27″．
总述

讨论一下：利用一副三角板可以画出哪些小于的角度？
15°，30°，45° ，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°










3角平分线
知识概述


一． 角平分线
1． 角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．

，
2． 角的三等分线：从一个角顶点出发的两条射线，把这个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线．

，
3． 角平分线的画法：
（1） 测量法：用量角器测量角的度数，根据角的度数平分角．
（2） 用折叠法：
在一张透明纸上画一个角，记为，折线使射线与射线重合，把纸展开，以为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是的平分线．



小试牛刀


【例】（2017秋•锡山区期末）如图，已知∠AOB=64°36′，OC平分∠AOB，则∠AOC=____°．

【解答】解：∵∠AOB=64°36′，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=64°36′÷2=32°18′=32.3°；
故答案为：32.3．
　
【例】（2017秋•中江县期末）如图，∠AOC：∠BOC=1：4，OD平分∠AOB，且∠COD=36°，求∠AOB度数．

【解答】解：∵∠AOC：∠BOC=1：4，OD平分∠AOB，且∠COD=36°，
∴∠AOC=，∠AOD=，
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=，
∴，
解得，∠AOB=120°，
即∠AOB的度数是120°．
再接再厉


【练习】（2017秋•蒙阴县期末）（1）如图，∠AOB的平分线为OM，ON为∠AOM内的一条射线，若∠BON=55°，∠AON=15°时，求∠MON的度数；
（2）某同学经过认真的分析，得出一个关系式：∠MON=（∠BON﹣∠AON），你认为这个同学得出的关系式是正确的吗？若正确，请把得出这个结论的过程写出来．

【解答】解：（1）∵∠BON=55°，∠AON=15°，
∴∠AOB=∠AON+∠BON=70°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠AOB=35°，
∴∠MON=∠AOM=∠AON=35°﹣15°=20°．

（2）正确．
理由：∵∠MON=∠AOM﹣∠AON=∠AOB﹣∠AON=（∠BON+∠AON）﹣∠AON=（∠BON﹣∠AON）．

　
【练习】（2017秋•港闸区期末）点 O 是直线 AB上一点，∠COD 是直角，OE平分∠BOC．
（1）①如图1，若∠DOE=25°，求∠AOC 的度数；
②如图2，若∠DOE=α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；
（2）将图 1中的∠COD 绕点O按顺时针方向旋转至图 2 所示位置．探究∠DOE 与∠AOC 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

【解答】解：（1）①∵∠COD=90°，∠DOE=25°，
∴∠COE=∠COD﹣∠DOE=90°﹣25°=65°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=130°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣130°=50°；
②∵∠COD=90°，∠DOE=α，
∴∠COE=∠COD﹣∠DOE=90°﹣α，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=180°﹣2α，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣（180°﹣2α）=2α；

（2）∠DOE=∠AOC，理由如下：
如图2，∵∠BOC=180°﹣∠AOC，
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=∠BOC=（180°﹣∠AOC）=90°﹣∠AOC，
又∵∠COD=90°，
∴∠DOE=90°﹣∠COE=90°﹣（90°﹣∠AOC）=∠AOC．

　总述

思考：如果将一个平角五等分，那么每份中的角是多少度？如果要是每份的角是，那么这个平角要等分成多少份？

4余角与补角
知识概述


一． 余角与补角
1． 如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为余角，简称“互余”．
2． 如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为补角，简称“互补”．
二． 余角、补角的性质：
同角（等角）的余角相等．
同角（等角）的补角相等．
三． 方位角
方位角：表示方向的角，一般以观测者的位置为中心，正北、正南方向为基准，描述物体的方位或运动的方向，通常表达为北（南）偏东（西）××度．
如图，点在点的北偏东的位置，点在点的南偏西的位置．

小试牛刀


【例】（2017秋•天河区期末）若∠A，∠B互为补角，且∠A＜∠B，则∠A的余角是（　　）
A．（∠A+∠B） B．∠B C．（∠B﹣∠A） D．∠A
【解答】解：根据题意得，∠A+∠B=180°，
∴∠A的余角为：90°﹣∠A=﹣∠A，
=（∠A+∠B）﹣∠A，
=（∠B﹣∠A）．
故选：C．
　
【练习】（2017秋•长清区期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=____；
（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON=____；∠CON=____．
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC=5°，求∠AOM．

【解答】解：（1）∠MOC=∠MON﹣∠BOC，
=90°﹣65°，
=25°；
（2）∵OC是∠MOB的角平分线，
∴∠MOB=2∠BOC=2×65°=130°，
∴旋转角∠BON=∠MOB﹣∠MON，
=130°﹣90°，
=40°，
∠CON=∠BOC﹣∠BON，
=65°﹣40°，
=25°；
（3）∵∠NOC=5°∠BOC=65°，
∴∠BON=∠NOC+∠BOC=70°，
∵点O为直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，
∵∠MON=90°，
∴∠AOM=∠AOB﹣∠MON﹣∠BON，
=180°﹣90°﹣70°，
=20°．
故答案为：（1）25°；（2）40°，25°，（3）20°．
　
【例】（2017秋•翁牛特旗期末）如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．
（1）求出∠AOB及其补角的度数；
（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．

【解答】解：（1）∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°，
其补角为180°﹣∠AOB=180°﹣120°=60°；

（2）∠DOC=×∠BOC=×70°=35°
∠AOE=×∠AOC=×50°=25°．
∠DOE与∠AOB互补，
理由：∵∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25°=60°，
∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°，
故∠DOE与∠AOB互补．
再接再厉


【练习】（2017秋•惠城区期末）如图，已知O为直线AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，∠MON=56°．
（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；
（2）求∠BOC的度数；
（3）求∠AOB与∠AOC的度数．

【解答】解：（1）∠COD=∠AOB．理由如下：
如图∵点O在直线AD上，
∴∠AOC+∠COD=180°，
又∵∠AOC与∠AOB互补，
∴∠AOC+∠AOB=180°，
∴∠COD=∠AOB；
（2）∵OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，
∴∠AOM=∠COM，∠AON=∠BON，
∴∠BOC=∠BOM+∠COM，
=∠BOM+∠AOM，
=（∠MON﹣∠BON）+（∠MON+∠AON），
=2∠MON，
=112°；
（3）由（1）得：∠COD=∠AOB，
∵∠AOB+∠BOC++∠COD=180°，
∴∠AOB=（180°﹣∠BOC）=（180°﹣112°）=34°，
∴∠AOC=180°﹣∠AOB=180°﹣34°=146°．
　　
【例】（2017秋•阜宁县期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=112°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

【解答】解：（1）平分，理由：延长NO到D，
∵∠MON=90°∴∠MOD=90°
∴∠MOB+∠NOB=90°，
∠MOC+∠COD=90°，
∵∠MOB=∠MOC，
∴∠NOB=∠COD，
∵∠NOB=∠AOD，
∴∠COD=∠AOD，
∴直线NO平分∠AOC；

（2）分两种情况：
①如图2，∵∠BOC=112°
∴∠AOC=68°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD=∠COD=34°，
∴∠BON=34°，∠BOM=56°，
即逆时针旋转的角度为56°，
由题意得，4t=56°
解得t=14（s）；
②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA=34°，
∴∠AOM=56°，
即逆时针旋转的角度为：180°+56°=236°，
由题意得，4t=236°，
解得t=59（s），
综上所述，t=14s或59s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
（3）∠AOM﹣∠NOC=22°，
理由：∵∠AOM=90°﹣∠AON∠NOC=68°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC
=（90°﹣∠AON）﹣（68°﹣∠AON）
=22°．

总述

讨论一下：对于一个锐角，它的的余角与补角有什么数量关系，举例说明







综合应用
一．选择题（共4小题）
1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（　　）

A．90°﹣α﹣β B．90°﹣α+β C．90°+α﹣β D．α﹣β
【解答】解：如图：

解：∵∠BOD＝90°﹣∠1＝90°﹣α，
∠EOC＝90°﹣∠2＝90°﹣β，
又∵∠3＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，
∴∠3＝90°﹣α+90°﹣β﹣90°＝90°﹣α﹣β．
故选：A．
2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．60°
【解答】解：∵一张长方形纸片沿BC、BD折叠，
∴∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，
而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°，
∴∠A′BC+∠E′BD＝180°×＝90°，
即∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠DBE＝55°．
故选：A．
3．如图，射线OA表示（　　）

A．南偏东70° B．北偏东30° C．南偏东30° D．北偏东70°
【解答】解：如图：OA北偏东30°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△DAE，则∠BAE+∠DAC＝（　　）度．

A．90+2α B．180+α C．180﹣α D．180
【解答】解：由旋转的性质知：∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝∠BAC+∠CAE+∠DAC＝90°+90°＝180°，
故选：D．
二．填空题（共3小题）
5．如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝　41°52′　．

【解答】解：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝72°32′﹣30°40′＝41°52′，
故答案为：41°52′．
6．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝27°，则∠AOC＝　15°或135°　．
【解答】解：分两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝27°，
∴5x+4x＝27，
解得：x＝3，
∴∠AOC＝15°；
②如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，又∠AOB＝27°，
∴5x＝27+4x，
解得：x＝27
∴∠AOC＝135°，
故答案为：15°或135°．

7．如图，将三个相同正方形的一个顶点重合放置，且∠COE＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOD＝　20　°．

【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°
∠EOC＝90°﹣∠EOF＝90°﹣40°＝50°
又∵∠AOD＝∠BOD+EOC﹣∠BOE
∴∠AOD＝60°+50°﹣90°＝20°
故答案为：20
三．解答题（共2小题）
8．如图，射线OC端点O在直线AB上，∠AOC＝∠DOC，OE平分∠DOB．
（1）当∠AOC＝110°时，求∠BOE的度数；
（2）OC与OE有怎样的位置关系？为什么？

【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣110°＝70°，
∵∠COD＝∠AOC＝110°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝110°﹣70°＝40°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×40°＝20°；
（2）OC与OE的位置关系是垂直．
理由：∵∠COD＝∠AOC，
∴∠COD＝（360°﹣∠AOD），
∵OE平分∠DOB，
∴∠DOE＝∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE
＝（360°﹣∠AOD）﹣∠BOD
＝（360°﹣∠AOD﹣∠BOD）
＝[360°﹣（∠AOD+∠BOD）]
＝×180°＝90°，
∴OC⊥OE．

9．如图1，点O在直线NN上，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．
（1）若∠AOC＝30°20′，则∠BOC＝　59°40′　，∠AOM＝　29°20′　，∠BON＝　60°40′　；
（2）若∠AOC＝α，则∠BON＝　2α　（用含有α的式子表示）；
（3）将∠AOB绕着点O顺时针转到图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α（α为钝角），求∠BON的度数（用含α的式子表示）．

【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°20′，
∴∠BOC＝59°40′，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝119°20′，
∴∠AOM＝∠BOM﹣∠AOB＝119°20′﹣90°＝29°20′，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝60°40′，
故答案为：59°40′，29°20′，60°40′；
（2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝180°﹣2α，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝2α；
故答案为：2α；
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝α﹣90°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（α﹣90°）＝2α﹣180°，
∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝180°﹣（2α﹣180°）＝360°﹣2α，
故∠BON的度数为360°﹣2α．