人教版七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试学案

这是一份人教版七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试学案，共21页。

第7讲 几何图形初步
中考大纲



中考内容
中考要求
A
B
C
图形初步
了解展开图的概念；了解直棱柱、圆柱、圆锥等几何体的展开图
能根据展开图判断出实物模型；能根据视图和展开图解决一些简单的实际问题

直线、射线和线段
会比较线段的长短；理解线段的和、差；理解线段中点的意义；理解两点间距离的意义
尺规作图（基本作图）：作一条线段等于已知线段；掌握两个基本事实：两点确定一条直线，两点之间线段最短；能度量两点间的距离，能结合图形认识线段间的数量关系
利用两点间距离的有关内容解决有关问题

知识网络图





1图形的认识
知识概述


一． 图形分类
1. 几何图形：长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形．
2. 立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．如下图中的这些生活中常见的物体都是立体图形．

3. 平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们都是平面图形．如下面这些图形：

二． 立体图形与平面图形的联系：
1. 立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形；
2. 对于一些立体图形，常把它们转化为平面图形来研究和处理．从不同方向来看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形；

3. 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以张开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．

小试牛刀

　
【例】（2018•聊城二模）如图的长方体是由A，B，C，D四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由长方体和第一、二、三部分所对应的几何体可知，
第四部分所对应的几何体一排有一个正方体，一排有三个正方体，前面一个正方体在后面三个正方体的中间．
故选：A．
　
【例】（2017秋•西城区校级期末）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②﹣⑥均由4个棱长为1的小正方体构成．现在从模块②﹣⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体．下列四个方案中，符合上述要求的是（　　）

A．模块②，⑤，⑥ B．模块③，④，⑥ C．模块②，④，⑤ D．模块③，⑤，⑥
【解答】解：由图形可知，模块②补模块①上面的右上角，模块⑤补模块①上面的右下角能够成为一个棱长为3的大正方体，模块⑥补模块①上面的左边，使得模块①成为一个棱长为3的大正方体．
故能够完成任务的为模块②，⑤，⑥．
故选：A．
再接再厉


【练习】（2017秋•市南区期末）墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走____个小正方体．

【解答】解：第1列最多可以搬走9个小正方体；
第2列最多可以搬走8个小正方体；
第3列最多可以搬走3个小正方体；
第4列最多可以搬走5个小正方体；
第5列最多可以搬走2个小正方体．
9+8+3+5+2=27个．
故最多可以搬走27个小正方体．
故答案为：27．
　
【例】（2017秋•中山市期末）两种规格的长方体纸盒，尺寸如下（单位：厘米）

长
宽
高
小纸盒
a
b
20
大纸盒
1.5a
2b
30
（1）做这种规格的纸盒各一个，共用料多少平方厘米？
（2）做一个大纸盒与做三个小纸盒，哪个用料多？多多少平方厘米？
【解答】解：（1）2 （1.5a×2b+1.5a×30+2b×30）+2（ab+20a+20b）
=6ab+90a+120b+2ab+40a+40b
=8ab+130a+160b（平方厘米）．
答：共用料（8ab+130a+160b）平方厘米；
（2）2 （1.5a×2b+1.5a×30+2b×30）=6ab+90a+120b（平方厘米）；
2（ab+20a+20b）×3=6ab+120a+120b （平方厘米）；
（6ab+120a+120b）﹣（6ab+90a+120b）=30a（平方厘米）．
答：做三个小纸盒的用料多，多30a平方厘米．

总述

讨论一下：请画出下面常见的立体图形：圆柱、圆锥、球、正方体、三棱锥、三棱柱



2点、线、面、体
知识概述


1. 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，简称体．
正方体
长方体
三棱柱
三棱锥
四棱锥






圆柱
圆锥
球




2. 面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种．
3. 线：面与面相交的地方形成线．
4. 点：线与线相交的地方是点．
5. 点、线、面、体的关系：点动成线，线动成面，面动成体．
小试牛刀


【例】（2017秋•房山区期末）如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，
那么所求的图形是下面是圆柱，上面是圆锥的组合图形．
故选：C．
　
【练习】（2016秋•红山区期末）下列说法：①一点在平面内运动的过程中，能形成一条线段；②一条线段在平面内运动的过程中，能形成一个平行四边形；③一个三角形在空间内运动的过程中，能形成一个三棱柱；④一个圆形在空间内平移的过程中，能形成一个球体．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【解答】解：①一点在平面内运动的过程中，能形成一条线段是正确的；
②一条线段在平面内运动的过程中，能形成一个平行四边形是正确的；
③一个三角形在空间内运动的过程中，能形成一个三棱柱是正确的；
④一个圆形在空间内平移的过程中，能形成一个圆柱，原来的说法错误．
故选：B．
再接再厉

　
【例】（2017秋•崇仁县校级月考）小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为3cm、4cm和5cm的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体．
（1）请画出可能得到的几何体简图．
（2）分别计算出这些几何体的体积．（锥体体积=底面积×高）
【解答】解：（1）以4cm为轴，得
；
以3cm为轴，得
；
以5cm为轴，得
；
（2）以4cm为轴体积为×π×32×4=12π（cm3），
以3cm为轴的体积为×π×42×3=16π（cm3），
以5cm为轴的体积为×π（）2×5=9.6π（cm3）．
　
【练习】（2017秋•长安区校级月考）如图，长方形的长和宽分别是7cm和3cm，分别绕着它的长和宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：
（1）如图（1），绕着它的宽所在的直线旋转一周，所得到的是什么样的几何体？得到的几何体的体积是多少？（π取3.14）
（2）如图（2），绕着它的长所在的直线旋转一周，所得到的是什么样的几何体？得到的几何体的体积是多少？（π取3.14）

【解答】解：（1）得到的是底面半径是7cm，高是3cm的圆柱，
V=3.14×72×3
=461.58（cm3），
答：得到的几何体的体积是461.58cm3；
（2）得到的是底面半径是3cm，高是7cm的圆柱，
V=3.14×32×7
=197.82（cm3），
答：得到的几何体的体积是197.82cm3．
总述

讨论一下：正方体平面展开图对立面及邻面的找法：


3直线、射线、线段
知识概述


一． 直线、射线、线段的概念
1. 在直线的基础上定义射线、线段：
（1） 直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．
（2） 直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．
2. 在线段的基础上定义直线、射线：
（1） 把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线．
（2） 把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．
二． 直线
1． 点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：，，，， ．
2． 关于直线的基本事实：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．
3． 直线的表示方法：
（1） 用一个小写字母来表示，如下图表示为直线．

注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字．
（2） 用一条直线上的两点来表示这条直线，如下图表示为直线．

注意：是两个大写字母，不分先后顺序，因此也可以写作直线．
4． 点与直线的关系：
（1） 一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点．
（2） 一个点在一条直线外，也可以说直线不经过这个点．
5． 相交：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点

三． 射线
射线的表示方法：
（1） 用一个小写字母来表示，如下图表示为射线．

注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．
（2） 用射线的端点和射线上的一点来表示，如下图表示为射线．

注意：第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点，因此两个字母分先后顺序，不能写作射线．
四． 线段
1． 线段的表示方法：
（1） 用一个小写字母来表示：如下图表示为线段．

注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．
（2） 用线段上的两点来表示这个线段，如下图表示为线段．

注意：是两个大写字母，不分先后顺序，因此也可以写作线段．
2． 线段长短的比较
（1） 测量法：用刻度尺分别测量出线段的长度，通过长度来比较线段的长短；
（2） 作图法：把其中一条线段移到另一条上作比较．
尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
3． 中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．

，

三等分点：把线段分成三条相等的线段的两个点叫做这条线段的三等分点．

，
4． 关于线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．
5． 两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
五． 直线、射线、线段的主要区别：
类型
端点
表示方法
是否可度量
是否可延长
直线
个
直线
直线或直线
否
无
射线
个
射线
射线，是端点
否
有反向延长线
线段
个
线段
线段或线段
是
有延长线及反向延长线

小试牛刀


【例】（2017秋•杭州期末）观察下列图形，第一个图2条直线相交最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，则20条直线相交最多交点的个数是（　　）

A．171 B．190 C．210 D．380
【解答】解：∵第一个图2条直线相交，最多有1个交点，
第二个图3条直线相交最多有3个交点，
第三个图4条直线相交，最多有6个，
而3=1+2，6=1+2+3，
∴第四个图5条直线相交，最多有1+2+3+4=10个，
∴20条直线相交，最多交点的个数是1+2+3+…+19=（1+19）×19÷2=190．
故选：B．
　
【例】（2017秋•太原期末）由太原开往运城的D5303次列车，途中有6个停车站，这次列车的不同票价最多有（　　）
A．28种 B．15种 C．56种 D．30种
【解答】解：由太原开往运城的D5303次列车，途中有6个停车站，这次列车的不同票价最多有=28，
故选：A．
再接再厉

　
【例】（2017秋•庆云县期末）如图，P是线段AB上任一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．

（1）若AP=8cm，
①运动1s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明AC=2CD；
（2）如果t=2s时，CD=1cm，试探索AP的值．
【解答】解：（1）①由题意可知：CP=2×1=2cm，DB=3×1=3cm
∵AP=8cm，AB=12cm
∴PB=AB﹣AP=4cm
∴CD=CP+PB﹣DB=2+4﹣3=3cm
②∵AP=8，AB=12，
∴BP=4，AC=8﹣2t，
∴DP=4﹣3t，
∴CD=DP+CP=2t+4﹣3t=4﹣t，
∴AC=2CD；
（2）当t=2时，
CP=2×2=4cm，DB=3×2=6cm，
当点D在C的右边时，如图所示：
由于CD=1cm，
∴CB=CD+DB=7cm，
∴AC=AB﹣CB=5cm，
∴AP=AC+CP=9cm，
当点D在C的左边时，如图所示：
∴AD=AB﹣DB=6cm，
∴AP=AD+CD+CP=11cm
综上所述，AP=9或11


　
【练习】（2017秋•鄂城区期末）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点，点D在线段AB上．
（1）若AB=6，BD=BC，求线段CD的长度；
（2）点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当AD：BD=2：3时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，∵点C是线段AB的中点，AB=6，
∴BC=AB=3，
∵BD=，
∴BD=1，
∴CD=BC﹣BD=2；
（2）如图2，设AD=2x，则BD=3x，
∴AB=AD+BD=5x，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=AB=x，
∴CD=AC﹣AD=x，
∵AE=2BE，
∴AE=AB=x，
CE=AE﹣AC=x，
∴CD：CE=x：x=3：5．


　
【巩固】（2017秋•柯桥区期末）如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动．
（1）若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？
（2）当P在线段AB上且PA=3PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度；

【解答】解：（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，
则t+2t=90，
解得t=30，
所以经过30秒时间P、Q两点相遇．
（2）∵AB=60cm，PA=3PB，
∴PA=45cm，OP=65cm．
∴点P、Q的运动时间为65秒，
∵AB=60cm，AB=20cm，
∴QB=20cm或40cm，
∴点Q是速度为=cm/秒或=cm/秒．
　总述


讨论一下：“若 ，则说明是线段的中点”。这句话对吗，如果不对，应该加一个什么条件？


综合应用
一．选择题（共5小题）
1．已知线段AB＝5cm，线段AC＝4cm，则线段BC的长度为（　　）
A．9cm B．1cm C．9cm或1cm D．无法确定
【解答】解：当点C在线段AB上时，则AB﹣AC＝BC，所以BC＝5cm﹣4cm＝1cm；
当点C在线段BA的延长线上时，则AC﹣BC＝AB，所以BC＝5cm+4cm＝9cm．
故选：C．
2．如图，C是线段AB上的点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若DE＝10，则AB的长为（　　）

A．10 B．20 C．30 D．40
【解答】解：∵D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，∴AD＝CD＝，BE＝CE＝，
∴DE＝CD+DE＝AB＝10，故AB＝20．
故选：B．
3．已知线段AB＝12cm．C是AB的中点．在线段AB上有一点D，且CD＝2cm．则AD的长是（　　）
A．8cm B．8cm或2cm C．8cm或4cm D．2cm或4cm
【解答】解：∵AB＝12cm．C是AB的中点，
∴AC＝＝6cm，
当点D在AC之间时，AD＝AC﹣CD＝6﹣2＝4cm；
当点D在BC之间时，AD＝AC+CD＝6+2＝8cm．
故AD的长为8cm或4cm．
故选：C．
4．如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，现给出下列等式：①CD＝AC﹣DB，②CD＝AB，③CD＝AD﹣BC，④BD＝2AD﹣AB．其中正确的等式编号是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【解答】解：①点C是AB的中点，AC＝CB．
CD＝CB﹣BD＝AC﹣DB，故①正确；
②2AD﹣AB＝2×AB﹣AB＝AB﹣AB＝BC＝．故②正确；
③点C是AB的中点，AC＝CB．
CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，故③正确；
④2AD﹣AB＝2AC+2CD﹣AB＝2CD＝BC，故④错误．
故正确的有①②③．
故选：B．
5．直线a上有5个不同的点A、B、C、D、E，则该直线上共有（　　）条线段．
A．8 B．9 C．12 D．10
【解答】解：根据题意画图：

由图可知有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，
共10条．
故选：D．
二．解答题（共3小题）
6．如图，线段AB＝8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．
（1）求线段AD的长；
（2）若在线段AB上有一点E，CE＝BC，求AE的长．

【解答】解：（1）∵AB＝8，C是AB的中点，
∴AC＝BC＝4，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝2，
∴AD＝AC+CD＝6；

（2）∵BC＝4，CE＝BC，
∴CE＝×4＝1，
当E在C的左边时，AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3；
当E在C的右边时，AE＝AC+CE＝4+1＝5．
∴AE的长为3或5．
7．已知线段AB＝16，在直线AB上截取线段BC＝10，点P、Q分別是AB、AC的中点．
（1）线段PQ的长度为　5cm　；
（2）若AB＝m，BC＝n，其它条件不变，求线段PQ的长度；
（3）分析（1）（2）的结论，你从中发现了什么规律？
【解答】解：（1）当点C在线段AB之间时，AB＝16，BC＝10，故AC＝16﹣10＝6cm，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝8cm，AQ＝＝3cm，
∴PQ＝AP﹣AQ＝8﹣3＝5cm；
当点C在线段AB的延长线上时，AB＝16，BC＝10，故AC＝AB+BC＝16+10＝26cm，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝8cm，AQ＝＝13cm，
∴PQ＝AQ﹣AP＝13﹣8＝5cm；
故答案为：5cm；

（2）当点C在线段AB之间时，AB＝m，BC＝n，故AC＝m﹣n，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝，AQ＝＝，
∴PQ＝AP﹣AQ═；
当点C在线段AB的延长线上时，AB＝m，BC＝n，故AC＝AB+BC＝m+n，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝，AQ＝＝，
∴PQ＝AQ﹣AP＝；

（3）规律：PQ的长度总是等于BC的一半．
8．如图，直线1上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）OA＝　8　cm，OB＝　4　cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）；

【解答】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，
∴OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，解得OB＝4cm，
OA＝2OB＝8cm．
故答案为：8，4；

（2）设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝﹣x+4﹣x，
3x＝﹣4，
x＝；
②点C在线段OB上时，则x＞0，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝4，
x＝﹣4（不符合题意，舍）．
故CO的长是；

（3）当0≤t＜4时，依题意有
2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
解得t＝1.6；
当4≤t＜6时，依题意有
2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
解得t＝8（不合题意舍去）；
当t≥6时，依题意有
2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
解得t＝8．
故当t为1.6s或8s时，2OP﹣OQ＝4．