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初中数学人教版七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试学案
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这是一份初中数学人教版七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试学案，共23页。
第8讲 角的概念及运算
中考大纲
中考内容
中考要求
A
B
C
角
理解角的概念,认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，会计算角的和、差
尺规作图（基本作图）：作一个角等于已知角；能比较角的大小；能结合图形认识角与角之间的数量关系
角平分线
了解角平分线的概念
尺规作图（基本作图）：作一个角的平分线；能利用角平分线的性质与判定解决有关简单问题
运用角平分线的有关内容解决有关问题
知识网络图
1角的概念及表示方法
知识概述
一． 角的定义
1． 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
2． 定义2：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．
（1） 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角．
（2） 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角．
3． 由角的定义可知：
（1） 角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2） 顶点是这两条边的交点；
（3） 角的两条边是射线，是无限延伸的；
（4） 角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关；
（5） 射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．
二． 角的表示方法
1． 利用三个大写字母来表示，如图
注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
2． 利用一个大写字母来表示，如图．
注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．
3． 用数字来表示角，如图．
4． 用希腊字母来表示角，如图．
小试牛刀
【例】（2017秋•沙洋县期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
【解答】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；
B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；
故选：D．
【练习】（2017秋•厦门期末）下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
D、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
故选：C．
再接再厉
【例】（2017秋•尚志市期末）下列说法中正确的个数是（ ）
①在同一图形中，直线AB与直线BA不是同一条直线
②两点确定一条直线
③两条射线组成的图形叫做角
④一个点既可以用一个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示
⑤若AB=BC，则点B是线段AC的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①在同一图形中，直线AB与直线BA是同一条直线，原来的说法是错误的；
②两点确定一条直线是正确的；
③有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，原来的说法是错误的；
④一个点可以用一个大写字母表示，不可以用一个小写字母表示，原来的说法是错误的；
⑤若AB=BC，则点B是线段AC垂直平分线上的点，原来的说法是错误的．
故选：A．
【练习】（2017秋•双城市期末）如图，∠AOB=90°，以O为顶点的锐角共有___ 个．
【解答】解：以OA为一边的角，∠AOD，∠AOC；
以OD为一边的角，∠DOC，∠DOB；
以OC为一边的角，∠COB．
共5个角．
故答案是：5．
总述
讨论一下：角的定义有几个？分别是什么？它们有什么不同？
2度量与计算
知识概述
一． 角的度量
把一个周角等分，每一份就是度的角，记作；
把度的角等分，每一份叫做分的角，记作；
把分的角等分，每一份叫做秒的角，记作．
二． 角度的换算
角的度、分、秒是进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．
度＝分() 分=秒()
三． 角度之间的关系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
四． 度量工具：我们常用的度量角的工具为量角器（也叫半圆仪）．
我们常用的一副三角板，其中一个三角分别为、、，另一个三个角分别为、、．
五、 角的分类：
锐角：度数大于，小于的角称为锐角；
直角：度数为的角称为直角；
钝角：大于，小于的角称为钝角。
小试牛刀
【例】（2017秋•门头沟区期末）把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（ ）
A．2°21'36'' B．2°18'36'' C．2°30'60'' D．2°3'6''
【解答】解：2.36°=2°+0.36×60′=2°21′+0.6×60″=2°21′36″，
故选：A．
【练习】（2017秋•和平区期末）下列各数中，正确的角度互化是（ ）
A．63.5°=63°50′ B．23°12′36″=23.48°
C．18°18′18″=18.33° D．22.25°=22°15′
【解答】解：A、63.5°=63°30′≠63°50′，故A不符合题意；
B、23.48°=23°28′48″≠23°12′36″，故B不符合题意；
C、18.33°=18°19′48″≠18°18′18″，故C不符合题意；
D、22.25°=22°15′，故D正确，
故选：D．
【例】（2017秋•高阳县期末）54.27°可化为（ ）
A．54°16′26″ B．54°28′ C．54°16′15″ D．54°16′12″
【解答】解：54.27°=54°16′12″．
故选：D．
【练习】（2017秋•湘桥区期末）计算89°15′﹣35°21′=_____．
【解答】解：89°15′﹣35°21′
=88°75′﹣35°21′
=53°54′．
故答案为：53°54′．
再接再厉
【例】（2017秋•孝感期末）计算：
（1）48°39′+67°31′﹣21°17′；
（2）23°53′×3﹣107°43′÷5．
【解答】解：（1）48°39′+67°31′﹣21°17′
=116°10′﹣21°17′
=94°53′；
（2）23°53′×3﹣107°43′÷5
=71°39′﹣21°32′36″
=50°6′24″．
【例】（2017春•临淄区校级期中）如图，AB是一条直线，如果∠1=65°15′，∠2=78°30′，求∠3的度数．
【解答】解：∵∠1=65°15′，∠2=78°30′，
∴∠3=180°﹣∠1﹣∠2
=180°﹣65°15′﹣78°30′
=36°15′．
【练习】（2017秋•潮南区月考）计算：48°38′+67°32′﹣21°17′×5．
【解答】解：原式=116°10′﹣106°25′=9°45′．
【练习】（2015秋•汉中期末）计算：18°20′32″+30°15′22″．
【解答】解：18°20′32″+30°15′22″
=48°35′54″．
总述
讨论一下：利用一副三角板可以画出哪些小于的角度？
15°，30°，45° ，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
3角平分线
知识概述
一． 角平分线
1． 角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
，
2． 角的三等分线：从一个角顶点出发的两条射线，把这个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线．
，
3． 角平分线的画法：
（1） 测量法：用量角器测量角的度数，根据角的度数平分角．
（2） 用折叠法：
在一张透明纸上画一个角，记为，折线使射线与射线重合，把纸展开，以为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是的平分线．
小试牛刀
【例】（2017秋•榆树市期末）如图，OC⊥AB，OE为∠COB的角平分线，∠AOE的度数为（ ）
A．130° B．125° C．135° D．145°
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠COB=∠AOC=90°，
∵OE为∠COB的角平分线，
∴∠COE=45°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+45°=135°；
故选：C．
【练习】（2017秋•湛江期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，若∠AOB=120°，则∠AOD的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．90°
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠COB=∠AOC=∠AOB=60°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD=∠COB=30°，
∴∠AOD=∠COD+∠AOC=90°，
故选：D．
【例】（2017秋•定安县期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，则∠COE=（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【解答】解：∵OD平分∠AOC，∠AOC=50°，
∴∠COD=∠AOD=∠AOC=×50°=25°，
∴∠COE=∠DOE﹣∠COD=90°﹣25°=65°．
故选：A．
【练习】（2017秋•砀山县期末）如图所示，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于____度．
【解答】解：∵∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，
∴∠COD=90°（互为补角）
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC+∠NOD=（30°+60°）=45°（角平分线定义）
∴∠MON=90°+45°=135°．
故答案为135．
再接再厉
【例】（2017秋•红桥区期末）已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC=30°，OE是∠COB的平分线．当∠COE=40°时，求∠AOB的度数．
解：∵OE是∠COB的平分线，
∴∠COB=_____（理由：_________）．
∵∠COE=40°，
∴_______．
∵∠AOC=______，
∴∠AOB=∠AOC+______=110°．
【解答】解：∵OE是∠COB的平分线，
∴∠COB=2∠COE（角平分线定义）．
∵∠COE=40°，
∴∠COB=80°．
∵∠AOC=30°，
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=110°．
故答案是：2∠COE，角平分线定义，∠COB=80°，30°，∠COB．
【例】（2017秋•金乡县期末）如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD=4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM=20°，求∠AOD和∠MOC．
【解答】解：设∠AOB=4x，∠BOC=5x，∠COD=3x，
∴∠AOD=12x，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM=∠AOD=6x，
由题意得，6x﹣4x=20°，
解得，x=10°，
∴∠AOD=12x=120°，∠BOC=5x=50°，
∴∠MOC=∠BOC﹣∠BOM=30°．
【练习】（2017秋•路北区期末）如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，C 且∠AOC=130°，求∠DOE的度数．
【解答】解：∵OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，且∠AOC=130°，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOB，∠BOE=∠COE=∠BOC，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=∠AOC=65°．
【练习】（2017秋•峄城区期末）已知：如图，∠AOB=150°，OC平分∠AOB，∠AOD是直角，求∠COD的度数．
【解答】解：∵∠AOB=150°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB=×150°=75°，
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=90°﹣75°=15°．
总述
思考：如果将一个平角五等分，那么每份中的角是多少度？如果要是每份的角是，那么这个平角要等分成多少份？
4余角与补角
知识概述
一． 余角与补角
1． 如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为余角，简称“互余”．
2． 如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为补角，简称“互补”．
二． 余角、补角的性质：
同角（等角）的余角相等．
同角（等角）的补角相等．
三． 方位角
方位角：表示方向的角，一般以观测者的位置为中心，正北、正南方向为基准，描述物体的方位或运动的方向，通常表达为北（南）偏东（西）××度．
如图，点在点的北偏东的位置，点在点的南偏西的位置．
小试牛刀
【例】（2018•凉州区）若一个角为65°，则它的补角的度数为（ ）
A．25° B．35° C．115° D．125°
【解答】解：180°﹣65°=115°．
故它的补角的度数为115°．
故选：C．
【例】（2018•河南二模）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大50°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．50° C．70° D．30°
【解答】解：由图可知∠1+∠2=180°﹣90°=90°，
所以∠2=90°﹣∠1，
又因为∠1﹣∠2=∠1﹣（90°﹣∠1）=50°，
解得∠1=70°．
故选：A．
【练习】（2018•马边县模拟）将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵∠1+∠2=360°﹣90°×2=180°，
∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；
B、∵∠1=180°﹣60°=120°，
∴∠1+∠2=120°+60°=180°，
∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；
C、∵∠1=30°+90°=120°，
∴∠1+∠2=120°+60°=180°，
∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；
D、∠1度数无法确定，∠2=60°，
所以∠1与∠2不一定互补，故本选项符合题意．
故选：D．
【练习】（2017秋•海口期末）已知∠2是∠1的余角，∠3是∠2的补角，且∠1=38°，则∠3等于（ ）
A．62° B．128° C．138° D．142°
【解答】解：∵∠2是∠1的余角，
∴∠2=90°﹣∠1=90°﹣38°=52°，
∵∠3是∠2的补角，
∴∠3=180°﹣∠2=180°﹣52°=128°．
故选：B．
再接再厉
【练习】（2017秋•金乡县期末）如果一个角的余角比它的补角的还少20°，那么这个角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解答】解：设这个角为x°，则它的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x，
由题意得，90°﹣x=（180°﹣x）﹣20°，
解得x=75°，
答：这个角的度数是75°．
故选：D．
【练习】（2017秋•沙洋县期末）已知：∠AOB的补角等于它的余角的6倍．
（1）求∠AOB的度数；
（2）如图，OD平分∠BOC，∠AOC=2∠BOD，求∠AOD的度数．
【解答】解：（1）设∠AOB的度数为x，
可得：180﹣x=6（90﹣x）
解得：x=72，
答：∠AOB的度数为72°；
（2）∵OD平分∠BOC，设∠BOD=∠BOC=x°，
∵∠AOC=2∠BOD，
∴∠AOC=∠BOC=2x°，
可得：2x+2x+72=360，
解得：x=72，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=144°，
答：∠AOD的度数为144°．
【例】（2017秋•汶上县期末）如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）填空：与∠AOE互补的角是______；
（2）若∠AOD=36°，求∠DOE的度数；
（3）当∠AOD=x°时，请直接写出∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠COE；
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE+∠COE=180°，
∴与∠AOE互补的角是∠BOE、∠COE；
故答案为∠BOE、∠COE；
（2）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠COD=∠AOD=36°，∠COE=∠BOE=∠BOC，
∴∠AOC=2×36°=72°，
∴∠BOC=180°﹣72°=108°，
∴∠COE=∠BOC=54°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°；
（3）当∠AOD=x°时，∠DOE=90°．
总述
讨论一下：对于一个锐角，它的的余角与补角有什么数量关系，举例说明
综合应用
一．选择题（共4小题）
1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（ ）
A．90°﹣α﹣β B．90°﹣α+β C．90°+α﹣β D．α﹣β
【解答】解：如图：
解：∵∠BOD＝90°﹣∠1＝90°﹣α，
∠EOC＝90°﹣∠2＝90°﹣β，
又∵∠3＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，
∴∠3＝90°﹣α+90°﹣β﹣90°＝90°﹣α﹣β．
故选：A．
2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．60°
【解答】解：∵一张长方形纸片沿BC、BD折叠，
∴∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，
而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°，
∴∠A′BC+∠E′BD＝180°×＝90°，
即∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠DBE＝55°．
故选：A．
3．如图，射线OA表示（ ）
A．南偏东70° B．北偏东30° C．南偏东30° D．北偏东70°
【解答】解：如图：OA北偏东30°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△DAE，则∠BAE+∠DAC＝（ ）度．
A．90+2α B．180+α C．180﹣α D．180
【解答】解：由旋转的性质知：∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝∠BAC+∠CAE+∠DAC＝90°+90°＝180°，
故选：D．
二．填空题（共3小题）
5．如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝ 41°52′ ．
【解答】解：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝72°32′﹣30°40′＝41°52′，
故答案为：41°52′．
6．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝27°，则∠AOC＝ 15°或135° ．
【解答】解：分两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝27°，
∴5x+4x＝27，
解得：x＝3，
∴∠AOC＝15°；
②如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，又∠AOB＝27°，
∴5x＝27+4x，
解得：x＝27
∴∠AOC＝135°，
故答案为：15°或135°．
7．如图，将三个相同正方形的一个顶点重合放置，且∠COE＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOD＝ 20 °．
【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°
∠EOC＝90°﹣∠EOF＝90°﹣40°＝50°
又∵∠AOD＝∠BOD+EOC﹣∠BOE
∴∠AOD＝60°+50°﹣90°＝20°
故答案为：20
三．解答题（共2小题）
8．如图，射线OC端点O在直线AB上，∠AOC＝∠DOC，OE平分∠DOB．
（1）当∠AOC＝110°时，求∠BOE的度数；
（2）OC与OE有怎样的位置关系？为什么？
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣110°＝70°，
∵∠COD＝∠AOC＝110°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝110°﹣70°＝40°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×40°＝20°；
（2）OC与OE的位置关系是垂直．
理由：∵∠COD＝∠AOC，
∴∠COD＝（360°﹣∠AOD），
∵OE平分∠DOB，
∴∠DOE＝∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE
＝（360°﹣∠AOD）﹣∠BOD
＝（360°﹣∠AOD﹣∠BOD）
＝[360°﹣（∠AOD+∠BOD）]
＝×180°＝90°，
∴OC⊥OE．
9．如图1，点O在直线NN上，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．
（1）若∠AOC＝30°20′，则∠BOC＝ 59°40′ ，∠AOM＝ 29°20′ ，∠BON＝ 60°40′ ；
（2）若∠AOC＝α，则∠BON＝ 2α （用含有α的式子表示）；
（3）将∠AOB绕着点O顺时针转到图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α（α为钝角），求∠BON的度数（用含α的式子表示）．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°20′，
∴∠BOC＝59°40′，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝119°20′，
∴∠AOM＝∠BOM﹣∠AOB＝119°20′﹣90°＝29°20′，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝60°40′，
故答案为：59°40′，29°20′，60°40′；
（2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝180°﹣2α，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝2α；
故答案为：2α；
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝α﹣90°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（α﹣90°）＝2α﹣180°，
∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝180°﹣（2α﹣180°）＝360°﹣2α，
故∠BON的度数为360°﹣2α．
第8讲 角的概念及运算
中考大纲
中考内容
中考要求
A
B
C
角
理解角的概念,认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，会计算角的和、差
尺规作图（基本作图）：作一个角等于已知角；能比较角的大小；能结合图形认识角与角之间的数量关系
角平分线
了解角平分线的概念
尺规作图（基本作图）：作一个角的平分线；能利用角平分线的性质与判定解决有关简单问题
运用角平分线的有关内容解决有关问题
知识网络图
1角的概念及表示方法
知识概述
一． 角的定义
1． 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
2． 定义2：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．
（1） 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角．
（2） 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角．
3． 由角的定义可知：
（1） 角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2） 顶点是这两条边的交点；
（3） 角的两条边是射线，是无限延伸的；
（4） 角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关；
（5） 射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．
二． 角的表示方法
1． 利用三个大写字母来表示，如图
注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
2． 利用一个大写字母来表示，如图．
注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．
3． 用数字来表示角，如图．
4． 用希腊字母来表示角，如图．
小试牛刀
【例】（2017秋•沙洋县期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
【解答】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；
B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；
故选：D．
【练习】（2017秋•厦门期末）下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
D、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
故选：C．
再接再厉
【例】（2017秋•尚志市期末）下列说法中正确的个数是（ ）
①在同一图形中，直线AB与直线BA不是同一条直线
②两点确定一条直线
③两条射线组成的图形叫做角
④一个点既可以用一个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示
⑤若AB=BC，则点B是线段AC的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①在同一图形中，直线AB与直线BA是同一条直线，原来的说法是错误的；
②两点确定一条直线是正确的；
③有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，原来的说法是错误的；
④一个点可以用一个大写字母表示，不可以用一个小写字母表示，原来的说法是错误的；
⑤若AB=BC，则点B是线段AC垂直平分线上的点，原来的说法是错误的．
故选：A．
【练习】（2017秋•双城市期末）如图，∠AOB=90°，以O为顶点的锐角共有___ 个．
【解答】解：以OA为一边的角，∠AOD，∠AOC；
以OD为一边的角，∠DOC，∠DOB；
以OC为一边的角，∠COB．
共5个角．
故答案是：5．
总述
讨论一下：角的定义有几个？分别是什么？它们有什么不同？
2度量与计算
知识概述
一． 角的度量
把一个周角等分，每一份就是度的角，记作；
把度的角等分，每一份叫做分的角，记作；
把分的角等分，每一份叫做秒的角，记作．
二． 角度的换算
角的度、分、秒是进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．
度＝分() 分=秒()
三． 角度之间的关系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
四． 度量工具：我们常用的度量角的工具为量角器（也叫半圆仪）．
我们常用的一副三角板，其中一个三角分别为、、，另一个三个角分别为、、．
五、 角的分类：
锐角：度数大于，小于的角称为锐角；
直角：度数为的角称为直角；
钝角：大于，小于的角称为钝角。
小试牛刀
【例】（2017秋•门头沟区期末）把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（ ）
A．2°21'36'' B．2°18'36'' C．2°30'60'' D．2°3'6''
【解答】解：2.36°=2°+0.36×60′=2°21′+0.6×60″=2°21′36″，
故选：A．
【练习】（2017秋•和平区期末）下列各数中，正确的角度互化是（ ）
A．63.5°=63°50′ B．23°12′36″=23.48°
C．18°18′18″=18.33° D．22.25°=22°15′
【解答】解：A、63.5°=63°30′≠63°50′，故A不符合题意；
B、23.48°=23°28′48″≠23°12′36″，故B不符合题意；
C、18.33°=18°19′48″≠18°18′18″，故C不符合题意；
D、22.25°=22°15′，故D正确，
故选：D．
【例】（2017秋•高阳县期末）54.27°可化为（ ）
A．54°16′26″ B．54°28′ C．54°16′15″ D．54°16′12″
【解答】解：54.27°=54°16′12″．
故选：D．
【练习】（2017秋•湘桥区期末）计算89°15′﹣35°21′=_____．
【解答】解：89°15′﹣35°21′
=88°75′﹣35°21′
=53°54′．
故答案为：53°54′．
再接再厉
【例】（2017秋•孝感期末）计算：
（1）48°39′+67°31′﹣21°17′；
（2）23°53′×3﹣107°43′÷5．
【解答】解：（1）48°39′+67°31′﹣21°17′
=116°10′﹣21°17′
=94°53′；
（2）23°53′×3﹣107°43′÷5
=71°39′﹣21°32′36″
=50°6′24″．
【例】（2017春•临淄区校级期中）如图，AB是一条直线，如果∠1=65°15′，∠2=78°30′，求∠3的度数．
【解答】解：∵∠1=65°15′，∠2=78°30′，
∴∠3=180°﹣∠1﹣∠2
=180°﹣65°15′﹣78°30′
=36°15′．
【练习】（2017秋•潮南区月考）计算：48°38′+67°32′﹣21°17′×5．
【解答】解：原式=116°10′﹣106°25′=9°45′．
【练习】（2015秋•汉中期末）计算：18°20′32″+30°15′22″．
【解答】解：18°20′32″+30°15′22″
=48°35′54″．
总述
讨论一下：利用一副三角板可以画出哪些小于的角度？
15°，30°，45° ，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
3角平分线
知识概述
一． 角平分线
1． 角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
，
2． 角的三等分线：从一个角顶点出发的两条射线，把这个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线．
，
3． 角平分线的画法：
（1） 测量法：用量角器测量角的度数，根据角的度数平分角．
（2） 用折叠法：
在一张透明纸上画一个角，记为，折线使射线与射线重合，把纸展开，以为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是的平分线．
小试牛刀
【例】（2017秋•榆树市期末）如图，OC⊥AB，OE为∠COB的角平分线，∠AOE的度数为（ ）
A．130° B．125° C．135° D．145°
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠COB=∠AOC=90°，
∵OE为∠COB的角平分线，
∴∠COE=45°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+45°=135°；
故选：C．
【练习】（2017秋•湛江期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，若∠AOB=120°，则∠AOD的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．90°
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠COB=∠AOC=∠AOB=60°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD=∠COB=30°，
∴∠AOD=∠COD+∠AOC=90°，
故选：D．
【例】（2017秋•定安县期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，则∠COE=（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【解答】解：∵OD平分∠AOC，∠AOC=50°，
∴∠COD=∠AOD=∠AOC=×50°=25°，
∴∠COE=∠DOE﹣∠COD=90°﹣25°=65°．
故选：A．
【练习】（2017秋•砀山县期末）如图所示，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于____度．
【解答】解：∵∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，
∴∠COD=90°（互为补角）
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC+∠NOD=（30°+60°）=45°（角平分线定义）
∴∠MON=90°+45°=135°．
故答案为135．
再接再厉
【例】（2017秋•红桥区期末）已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC=30°，OE是∠COB的平分线．当∠COE=40°时，求∠AOB的度数．
解：∵OE是∠COB的平分线，
∴∠COB=_____（理由：_________）．
∵∠COE=40°，
∴_______．
∵∠AOC=______，
∴∠AOB=∠AOC+______=110°．
【解答】解：∵OE是∠COB的平分线，
∴∠COB=2∠COE（角平分线定义）．
∵∠COE=40°，
∴∠COB=80°．
∵∠AOC=30°，
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=110°．
故答案是：2∠COE，角平分线定义，∠COB=80°，30°，∠COB．
【例】（2017秋•金乡县期末）如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD=4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM=20°，求∠AOD和∠MOC．
【解答】解：设∠AOB=4x，∠BOC=5x，∠COD=3x，
∴∠AOD=12x，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM=∠AOD=6x，
由题意得，6x﹣4x=20°，
解得，x=10°，
∴∠AOD=12x=120°，∠BOC=5x=50°，
∴∠MOC=∠BOC﹣∠BOM=30°．
【练习】（2017秋•路北区期末）如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，C 且∠AOC=130°，求∠DOE的度数．
【解答】解：∵OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，且∠AOC=130°，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOB，∠BOE=∠COE=∠BOC，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=∠AOC=65°．
【练习】（2017秋•峄城区期末）已知：如图，∠AOB=150°，OC平分∠AOB，∠AOD是直角，求∠COD的度数．
【解答】解：∵∠AOB=150°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB=×150°=75°，
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=90°﹣75°=15°．
总述
思考：如果将一个平角五等分，那么每份中的角是多少度？如果要是每份的角是，那么这个平角要等分成多少份？
4余角与补角
知识概述
一． 余角与补角
1． 如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为余角，简称“互余”．
2． 如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为补角，简称“互补”．
二． 余角、补角的性质：
同角（等角）的余角相等．
同角（等角）的补角相等．
三． 方位角
方位角：表示方向的角，一般以观测者的位置为中心，正北、正南方向为基准，描述物体的方位或运动的方向，通常表达为北（南）偏东（西）××度．
如图，点在点的北偏东的位置，点在点的南偏西的位置．
小试牛刀
【例】（2018•凉州区）若一个角为65°，则它的补角的度数为（ ）
A．25° B．35° C．115° D．125°
【解答】解：180°﹣65°=115°．
故它的补角的度数为115°．
故选：C．
【例】（2018•河南二模）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大50°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．50° C．70° D．30°
【解答】解：由图可知∠1+∠2=180°﹣90°=90°，
所以∠2=90°﹣∠1，
又因为∠1﹣∠2=∠1﹣（90°﹣∠1）=50°，
解得∠1=70°．
故选：A．
【练习】（2018•马边县模拟）将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵∠1+∠2=360°﹣90°×2=180°，
∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；
B、∵∠1=180°﹣60°=120°，
∴∠1+∠2=120°+60°=180°，
∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；
C、∵∠1=30°+90°=120°，
∴∠1+∠2=120°+60°=180°，
∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；
D、∠1度数无法确定，∠2=60°，
所以∠1与∠2不一定互补，故本选项符合题意．
故选：D．
【练习】（2017秋•海口期末）已知∠2是∠1的余角，∠3是∠2的补角，且∠1=38°，则∠3等于（ ）
A．62° B．128° C．138° D．142°
【解答】解：∵∠2是∠1的余角，
∴∠2=90°﹣∠1=90°﹣38°=52°，
∵∠3是∠2的补角，
∴∠3=180°﹣∠2=180°﹣52°=128°．
故选：B．
再接再厉
【练习】（2017秋•金乡县期末）如果一个角的余角比它的补角的还少20°，那么这个角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解答】解：设这个角为x°，则它的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x，
由题意得，90°﹣x=（180°﹣x）﹣20°，
解得x=75°，
答：这个角的度数是75°．
故选：D．
【练习】（2017秋•沙洋县期末）已知：∠AOB的补角等于它的余角的6倍．
（1）求∠AOB的度数；
（2）如图，OD平分∠BOC，∠AOC=2∠BOD，求∠AOD的度数．
【解答】解：（1）设∠AOB的度数为x，
可得：180﹣x=6（90﹣x）
解得：x=72，
答：∠AOB的度数为72°；
（2）∵OD平分∠BOC，设∠BOD=∠BOC=x°，
∵∠AOC=2∠BOD，
∴∠AOC=∠BOC=2x°，
可得：2x+2x+72=360，
解得：x=72，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=144°，
答：∠AOD的度数为144°．
【例】（2017秋•汶上县期末）如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）填空：与∠AOE互补的角是______；
（2）若∠AOD=36°，求∠DOE的度数；
（3）当∠AOD=x°时，请直接写出∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠COE；
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE+∠COE=180°，
∴与∠AOE互补的角是∠BOE、∠COE；
故答案为∠BOE、∠COE；
（2）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠COD=∠AOD=36°，∠COE=∠BOE=∠BOC，
∴∠AOC=2×36°=72°，
∴∠BOC=180°﹣72°=108°，
∴∠COE=∠BOC=54°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°；
（3）当∠AOD=x°时，∠DOE=90°．
总述
讨论一下：对于一个锐角，它的的余角与补角有什么数量关系，举例说明
综合应用
一．选择题（共4小题）
1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（ ）
A．90°﹣α﹣β B．90°﹣α+β C．90°+α﹣β D．α﹣β
【解答】解：如图：
解：∵∠BOD＝90°﹣∠1＝90°﹣α，
∠EOC＝90°﹣∠2＝90°﹣β，
又∵∠3＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，
∴∠3＝90°﹣α+90°﹣β﹣90°＝90°﹣α﹣β．
故选：A．
2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．60°
【解答】解：∵一张长方形纸片沿BC、BD折叠，
∴∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，
而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°，
∴∠A′BC+∠E′BD＝180°×＝90°，
即∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠DBE＝55°．
故选：A．
3．如图，射线OA表示（ ）
A．南偏东70° B．北偏东30° C．南偏东30° D．北偏东70°
【解答】解：如图：OA北偏东30°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△DAE，则∠BAE+∠DAC＝（ ）度．
A．90+2α B．180+α C．180﹣α D．180
【解答】解：由旋转的性质知：∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝∠BAC+∠CAE+∠DAC＝90°+90°＝180°，
故选：D．
二．填空题（共3小题）
5．如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝ 41°52′ ．
【解答】解：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝72°32′﹣30°40′＝41°52′，
故答案为：41°52′．
6．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝27°，则∠AOC＝ 15°或135° ．
【解答】解：分两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝27°，
∴5x+4x＝27，
解得：x＝3，
∴∠AOC＝15°；
②如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，又∠AOB＝27°，
∴5x＝27+4x，
解得：x＝27
∴∠AOC＝135°，
故答案为：15°或135°．
7．如图，将三个相同正方形的一个顶点重合放置，且∠COE＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOD＝ 20 °．
【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°
∠EOC＝90°﹣∠EOF＝90°﹣40°＝50°
又∵∠AOD＝∠BOD+EOC﹣∠BOE
∴∠AOD＝60°+50°﹣90°＝20°
故答案为：20
三．解答题（共2小题）
8．如图，射线OC端点O在直线AB上，∠AOC＝∠DOC，OE平分∠DOB．
（1）当∠AOC＝110°时，求∠BOE的度数；
（2）OC与OE有怎样的位置关系？为什么？
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣110°＝70°，
∵∠COD＝∠AOC＝110°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝110°﹣70°＝40°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×40°＝20°；
（2）OC与OE的位置关系是垂直．
理由：∵∠COD＝∠AOC，
∴∠COD＝（360°﹣∠AOD），
∵OE平分∠DOB，
∴∠DOE＝∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE
＝（360°﹣∠AOD）﹣∠BOD
＝（360°﹣∠AOD﹣∠BOD）
＝[360°﹣（∠AOD+∠BOD）]
＝×180°＝90°，
∴OC⊥OE．
9．如图1，点O在直线NN上，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．
（1）若∠AOC＝30°20′，则∠BOC＝ 59°40′ ，∠AOM＝ 29°20′ ，∠BON＝ 60°40′ ；
（2）若∠AOC＝α，则∠BON＝ 2α （用含有α的式子表示）；
（3）将∠AOB绕着点O顺时针转到图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α（α为钝角），求∠BON的度数（用含α的式子表示）．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°20′，
∴∠BOC＝59°40′，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝119°20′，
∴∠AOM＝∠BOM﹣∠AOB＝119°20′﹣90°＝29°20′，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝60°40′，
故答案为：59°40′，29°20′，60°40′；
（2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝180°﹣2α，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝2α；
故答案为：2α；
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝α﹣90°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（α﹣90°）＝2α﹣180°，
∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝180°﹣（2α﹣180°）＝360°﹣2α，
故∠BON的度数为360°﹣2α．
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