数学人教版第二章 整式的加减综合与测试导学案及答案

第4讲  整式的加减

1代数式

一．  代数式

1．   代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：，，等．

单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：，等．

2．代数式书写规范：

（1）  数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”．

           如：，，

（2）  数字通常写在字母前面．

           如：，

（3）  带分数与字母相乘时要化成假分数．

    如：，切勿错误写成“ ”

（4）  当字母前面的数字为或时，把数字省略．

           如：，

（5）  除法常写成分数的形式．

           如：

【例】（2017秋•万州区期末）在式子x2+2x，﹣1，a+，2xy，t＞1中，整式有　_____个．

【解答】解：式子x2+2x，﹣1，a+，2xy，t＞1中，整式有：x2+2x，﹣1，2xy，共3个．

故答案为：3．

2单项式

一．  单项式

1. 概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
2. 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

             字母是圆周率，当做数字来看待．

3. 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

     对于单独一个非零的数，规定它的次数为．

二．  单项式系数易错点

1．   圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是．

2．   当一个单项式的系数是或时，通常省略不写数字“”，如，等．

3．   代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成．

【例】（2017秋•铜梁区期末）的系数次数分别为（　　）

A．，7 B．，6 C．，8 D．5π，6

【解答】解：的系数为，次数为6，

故选：B．

【例】（2017秋•建平县期末）下列关于单项式﹣的说法中，正确的是（　　）

A．系数是1，次数是2 B．系数是﹣，次数是2

C．系数是，次数是3 D．系数是﹣，次数是3

【解答】解：该单项式的系数为：，次数为3，注意π是一个数，

故选：D．

【例】（2017秋•鸠江区期中）若3xmyn是含有字母x和y的5次单项式，求mn的最大值．

【解答】解：因为3xmyn是含有字母x和y的五次单项式

所以m+n=5

所以m=1，n=4时，mn=14=1；

m=2，n=3时，mn=23=8；

m=3，n=2时，mn=32=9；

m=4，n=1时，mn=41=4，

故mn的最大值为9．

3多项式与整式

一．  多项式

1. 概念：几个单项式的和叫做多项式．
2. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．

其中，不含字母的项叫做常数项．

3. 多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
4. 降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小

（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．

二．  整式：单项式与多项式统称整式．

【例】（2017秋•红桥区期末）已知多项式（m﹣1）x4﹣xn+2x﹣5是三次三项式，则（m+1）n=______．

【解答】解：由题意得：m=1，n=3，

则（m+1）n=8．

故答案为：8

【例】（2017秋•柘城县期末）如果多项式（﹣a﹣1）x2﹣xb+x+1是关于x的四次三项式，那么这个多项式的最高次项系数是_____，2次项是_____

【解答】解：由题意得：b=4，﹣a﹣1=0，

解得：a=﹣1，

∴多项式﹣x4+x+1这个多项式的最高次项系数是﹣，2次项是0，

故答案为：﹣；0．

【例】（2017秋•柘城县期中）已知关于x的多项式x4﹣（m﹣2）x3+6x2﹣（n+1）x+3不含三次项和一次项，求m2n+mn2的值．

【解答】解：∵关于x的多项式x4﹣（m﹣2）x3+6x2﹣（n+1）x+3不含三次项和一次项，

∴，

∴解得：，

∴m2n+mn2=22×（﹣1）+2×（﹣1）2                    

=﹣4+2

=﹣2．

4同类项

一．  同类项

1. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项．
2. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项．
3. 合并同类项的法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变．

二．  去括号合并同类项

1. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
2. 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

【例】（2017秋•蓝田县期末）已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，那么m﹣n的值是（　　）

A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4

【解答】解：∵﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，

∴m﹣1=1，2n﹣3=n+3．解得：m=2，n=6，

∴m﹣n=2﹣6=﹣4．

故选：D．

【例】（2017秋•黄梅县期末）若3xm+5y2与x3yn的和是单项式，则mn的值为（　　）

A．﹣4 B．4 C．﹣ D．

【解答】解：由题意得：3xm+5y2与x3yn是同类项，

则m+5=3，n=2，

解得m=﹣2，n=2，

则mn=（﹣2）2=4．

【例】（2017秋•榆树市期末）已知单项式﹣m2x﹣1n9和m5n3y是同类项，求代数式x﹣5y的值．

【解答】解：∵单项式﹣m2x﹣1n9和m5n3y是同类项，

∴2x﹣1=5，3y=9，

∴x=3，y=3，

∴x﹣5y=×3﹣5×3=﹣13.5．

【例】（2016秋•饶平县期末）若2x2y2b+3与xa+1y是同类项，求a，b的值．

【解答】解：由题意可知：a+1=2，2b+3=b﹣1

∴a=1，

∵2b+3=b﹣1

∴6b+9=2b﹣3

∴b=﹣3

即a=1，b=﹣3

5整式的加减

一．  整式加减的法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．

二．  整体代入思想，整式加减法，去括号和添括号的综合应用．

【例】（2017秋•襄城区期末）一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则另一边长为（　　）

A．4a+5b B．a+b C．a+5b D．a+7b

【解答】解：由题意可知：长方形的长和宽之和为：=3a+4b，

∴另一边长为：3a+4b﹣（2a﹣b）=3a+4b﹣2a+b=a+5b，

故选：C．

【练习】（2018•固镇县一模）先化简下式，再求值：

2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．

【解答】解：原式=2x2+x2﹣2xy+2y2﹣2x2+2xy﹣4y2=x2﹣2y2，

当x=，y=﹣1时，原式=﹣2=﹣1．

　【例】（2017秋•甘井子区期末）先化简，再求值：（2x2﹣1+3x）+4（1﹣3x﹣2x2），其中x=﹣1．

【解答】解：（2x2﹣1+3x）+4（1﹣3x﹣2x2），

=2x2﹣1+3x+4﹣12x﹣8x2，

=﹣6x2﹣9x+3，

把x=﹣1代入﹣6x2﹣9x+3=﹣6+9+3=6．

【练习】（2017秋•吉州区期末）先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中 a=﹣1，b=﹣2．

【解答】解：原式=﹣a2b+3ab2﹣a2b﹣4ab2+2a2b

=﹣ab2，

当a=﹣1、b=﹣2时，

原式=﹣（﹣1）×（﹣2）2

=1×4

=4．

【练习】（2017秋•常熟市期末）已知：A=x﹣y+2，B=x﹣y﹣1．

（1）求A﹣2B；

（2）若3y﹣x的值为2，求A﹣2B的值．

【解答】解：（1）∵A=x﹣y+2，B=x﹣y﹣1，

∴A﹣2B=x﹣y+2﹣2（x﹣y﹣1）

=﹣x+y+4；

（2）∵3y﹣x=2，

∴x﹣3y=﹣2，

∴A﹣2B=﹣x+y+4=﹣（x﹣3y）+4=﹣×（﹣2）+4=5．

【例】（2017秋•怀柔区期末）先化简，再求值：2（x2﹣2x﹣2）﹣（2x+1），其中x=﹣．

【解答】解：原式=2x2﹣4x﹣4﹣2x﹣1

=2x2﹣6x﹣5

当x=时，

原式===

综合练习

一．选择题（共5小题）

1．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣ C． D．4

【解答】解：∵2x﹣3y2＝3，

∴x﹣y2＝，

则原式＝1﹣（x﹣y2）

＝1﹣

＝﹣，

故选：B．

2．已知式子﹣3xm+1y3与xnym+n是同类项，则m，n的值分别是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知：

∴解得：，

故选：D．

3．当x＝1时，代数式x3+x+m的值是9，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（　　）

A．7 B．5 C．3 D．1

【解答】解：由题意知1+1+m＝9，

则m＝7，

∴当x＝﹣1时，x3+x+m

＝﹣1﹣1+7

＝5，

故选：B．

4．给出下列结论：①单项式﹣的系数为﹣；②x与y的差的平方可表示为x2﹣y2；③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，则m+n＝5．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：①单项式﹣的系数为﹣，故正确；②x与y的差的平方可表示为（x﹣y）2，原说法错误；

③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+，故正确；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，n+1＝4，m＝2，故n＝3，m＝2，m+n＝5，故正确．

故选：C．

5．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）

A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b

【解答】解：由图形可知，

，

，

∵S2＝2S1，

∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），

∴a2﹣4ab+4b2＝0，

即（a﹣2b）2＝0，

∴a＝2b，

故选：B．

二．填空题（共2小题）

6．已知2a﹣3b＝4，则3+6b﹣4a的值为　﹣5　．

【解答】解：∵2a﹣3b＝4，

∴3+6b﹣4a＝3﹣2（2a+3b）＝3﹣2×4＝﹣5．

故答案为：﹣5．

7．若M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7），则M与N的大小关系为：M　＜　N．

【解答】解：∵M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7）

分别展开得，M＝x2﹣10x+16，N＝x2﹣10x+21．

M﹣N＝（x2﹣10x+16）﹣（x2﹣10x+21）＝16﹣21＝﹣5

∴x2﹣10x+16＜x2﹣10x+21．

即M＜N．

故答案为M＜N．

三．解答题（共3小题）

8．先化简，再求值：4x2y﹣[6xy﹣3（4xy﹣2）﹣x2y﹣1]，其中x＝2，y＝﹣．

【解答】解：原式＝4x2y﹣（6xy﹣12xy+6﹣x2y﹣1）

＝4x2y﹣（﹣6xy﹣x2y+5）

＝4x2y+6xy+x2y﹣5

＝5x2y+6xy﹣5

当x＝2，y＝时，

原式＝5×4×（）+6×2×（）﹣5

＝﹣10﹣6﹣5

＝﹣21；

9．先化简，再求值：（4a2﹣2ab+b2）﹣3（a2﹣ab+b2），其中a＝﹣1，b＝﹣．

【解答】解：原式＝4a2﹣2ab+b2﹣3a2+3ab﹣3b2

＝a2+ab﹣2b2，

当a＝﹣1，b＝时，

原式＝1+﹣

＝1．

10．长春市发起了“保护伊通河”行动，某学校七年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款．已知甲班有的学生每人捐了10元，乙班有的学生每人捐了10元，两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x人．

（1）用含x的代数式表示乙班人数：　115﹣x　；

（2）用含x的代数式表示两班捐款的总额；

（3）若x＝60，则两班共捐款多少元？

【解答】解：（1）由题意可得，

乙班人数为：115﹣x，

故答案为：115﹣x；

（2）

＝

＝+805，

即两班捐款的总额是（+805）元；

（3）当x＝60时，

+805＝﹣×60+805＝﹣20+805＝785（元），

答：x＝60时，两班共捐款785元