初中数学人教版七年级上册第二章 整式的加减综合与测试导学案

第6讲 一元一次方程的实际应用

1和差倍分问题

一．   列方程解应用题的步骤：

1．  审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系；

2．  设：设未知数（一般求什么，就设什么为）；

3．  找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；

4．  列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；

5．  解：解所列出的方程，求出未知数的值；

6．  答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）．

二．   设未知数的方法：

1．  直接设未知数：指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况；

2．  间接设未知数：指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用；

3．  引入辅助未知数：为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程．

4．  辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去．

三．   和差倍分类常用关系式：

1．     比多，则；

2．     比少，则；

3．     是的倍，则；

4．     是的，则．

【例】（2018•开远市一模）甲班有45人，乙班有39人．现在需要从甲、乙班各抽调一些同学去参加歌咏比赛．如果从甲班抽调的人数比乙班多1人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍．请问从甲、乙两班各抽调了多少参加歌咏比赛？

【解答】解：设从甲班抽调了x人，那么从乙班抽调了（x﹣1）人，

由题意得，45﹣x=2[39﹣（x﹣1）]，

解得：x=35，

则x﹣1=35﹣1=34．

答：从甲班抽调了35人，从乙班抽调了34人．

【例】（2018•沾益县一模）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：

（1）这两种水果各购进多少千克？

（2）若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？

【解答】解：（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140﹣x）千克，根据题意得：

5x+9（140﹣x）=1000，

解得：x=65，

∴140﹣x=75．

答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；

（2）3×65+4×75=495（元）

答：利润为495元．

【练习】（2017秋•越城区期末）为了提升绍兴城市环境品质，以杭州G20环境提升为标准，我市最近进行景观环境改造提升，学校也积极响应，组织学生植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人取支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多3人，应调往甲、乙两处各多少人？

【解答】解：设调往乙处x人，则调往甲处（20﹣x）人，

根据题意得：2（17+x）+3=23+20﹣x，

解得：x=2，

∴20﹣x=18．

答：应调往甲处18人，调往乙处2人．

【练习】（2017秋•淮南期末）用大小两台拖拉机耕地，每小时共耕地30亩．已知大拖拉机的效率是小拖拉机的1.5倍，问小拖拉机每小时耕地多少亩？

【解答】解：设小拖拉机每小时耕地x亩，则大拖拉机每小时耕地（30﹣x）亩，

根据题意得：30﹣x=1.5x，

解得：x=12．

答：小拖拉机每小时耕地12亩．　

2工程问题

1．     工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间，三者的关系式为：

①工作量=工作效率×工作时间；

②工作时间=；

③工作效率=．

2．     工程问题中，一般常将全部工作量看作整体，如果完成全部工作的时间为，则工作效率为

【例】（2017秋•黄石期末）一项工程，由甲、乙、丙三人完成，甲单独做需10天完成，乙单独做需12天完成，丙单独需15天完成．现计划7天完成，乙、丙先合做3天后，乙有事，由甲、丙完成剩下工程，问：能否按计划完成？

【解答】解：设甲、丙完成剩下工程需要x天，

根据题意得：=1，

15+12+6x+4x=60，

10x=33，

x=3.3，

∵3.3+3＜7，

∴能按计划完成．

【例】（2017秋•怀柔区期末）七（1）班芳华和虹霖在做室内值日时，芳华单独做15分钟完成，虹霖单独做9分钟完成，若芳华先单独做3分钟后，虹霖才到，剩下的由两人共同完成，问还需要几分钟才能做完？如果5分钟后要上课了，她们能在上课前做完吗？

【解答】解：设还需要x分钟完成，根据题意列方程，得

，．

解这个方程，得x=4.5．

答：还需要4.5分钟才能做完，因为4.5＜5，所以，如果5分钟后要上课了，她们能在上课前做完．

【练习】（2017•海口模拟）现有180件机器零件需加工，任务由甲、乙两个小组合作完成．甲组每天加工12件，乙组每天加工8件，结果共用20天完成任务．求甲、乙两组分别加工机器零件多少个．

【解答】解：设甲组加工机器零件x件，那么乙组加工机器零件（180﹣x）件，

根据题意得：，

解得：x=60，

∴180﹣x=120，

答：设甲组加工机器零件60件，那么乙组加工机器零件120件．

3行程问题—相遇

一．  行程问题中的三个基本量及其关系：

路程速度时间： ．

时间路程速度：．

速度路程时间：．

（其中为路程，为速度，为时间）

二．  相遇问题：快行距慢行距原距：．

（快速慢速）时间距离： ．

【例】（2017秋•拱墅区期末）甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方同时出发，8分钟后甲第一次追上乙．

（1）求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？

（2）若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？

【解答】解：（1）设乙的速度为x米/分钟，则甲的速度为1.5x米/分钟，

根据题意得：8×（1.5x﹣x）=400，

解得：x=100，

∴1.5x=150．

答：乙的速度为100米/分钟，甲的速度为150米/分钟．

（2）设经过t分钟两人恰好第五次相遇，

根据题意得：（150+100）t=400×5，

解得：t=8．

答：经过8分钟两人恰好第五次相遇．

【练习】（2017秋•延边州期末）小刚和小强从A、B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后2h两人相遇，相遇时小刚比小强多行进24km，相遇后0.5h小刚到达B地，两人的行进速度分别是多少？相遇后经过多少时间小强到达A地？

【解答】解：设小刚的速度为xkm/h，

则相遇时小刚走了2xkm，小强走了（2x﹣24）km，

由题意得，2x﹣24=0.5x，

解得：x=16，

则小强的速度为：（2×16﹣24）÷2=4（km/h），

2×16÷4=8（h）．

答：两人的行进速度分别是16km/h，4km/h，相遇后经过8h小强到达A地．

【练习】（2017秋•句容市期末）如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm．点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→D→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了3cm，并沿B→C→D→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，3s后两点在长方形ABCD某一边上的E点处第二次相遇后停止运动．设点P原来的速度为xcm/s．

（1）点Q的速度为　2x　cm/s（用含x的代数式表示）；

（2）求点P原来的速度．

（3）判断E点的位置并求线段DE的长．

【解答】解：（1）2x．

故答案是：2x；

（2）根据题意得：

3（x+3）+3×2x=24（5分）

解得x=

 答：点P原来的速度为cm/s；

（3）此时点E在AD边上，且DE=2．

4行程问题—追及

一．  行程问题中的三个基本量及其关系：

路程速度时间： ．

时间路程速度：．

速度路程时间：．

（其中为路程，为速度，为时间）

二．  追及问题：快行距慢行距原距：．

              （快速慢速）时间距离：．

【例】（2017秋•永新县期末）某中学学生步行到郊外旅行．七年级（1）班学生组成前对，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．

（1）后队追上前队需要多长时间？

（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？

（3）两队何时相距2千米？

【解答】解：（1）设后队追上前队需要x小时，

由题意得：（6﹣4）x=4×1，

解得：x=2．

故后队追上前队需要2小时；

（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程就是在这2小时内所走的路，

所以10×2=20（千米）．

答：后队追上前队时间内，联络员走的路程是20千米；

（3）要分三种情况讨论：

①当（1）班出发半小时后，两队相距4×=2（千米）

②当（2）班还没有超过（1）班时，相距2千米，

设（2）班需y小时与（1）相距2千米，

由题意得：（6﹣4）y=2，

解得：y=1；

所以当（2）班出发1小时后两队相距2千米；

③当（2）班超过（1）班后，（1）班与（2）班再次相距2千米时

（6﹣4）y=4+2，

解得：y=3．

答当0.5小时或1小时后或3小时后，两队相距2千米．

【练习】（2017秋•建平县期末）甲、乙两人在300米环形跑道上练习长跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是7米/秒．

（1）如果甲、乙两人同地背向跑，乙先跑2秒，再经过多少秒两人相遇？

（2）如果甲、乙两人同地同向跑，乙跑几圈后能首次追上甲？

【解答】解：（1）设再经过x秒甲、乙两人相遇．

根据题意，得7×2+7x+6x=300

解得x=22

答：再经过22秒甲、乙两人相遇；

（2）设经过y秒，乙能首次追上甲．

根据题意，得7y﹣6y=300

解得y=300

因为乙跑一圈需秒，所以300秒乙跑了300÷=7圈，

答：乙跑7圈后能首次追上甲．

【练习】（2017秋•滕州市期末）如图，在长方形ABCD中，AB=14cm，AD=8cm，动点P沿AB边从点A开始，向点B以1cm/s的速度运动；动点Q从点D开始沿DA→AB边，向点B以2cm/s的速度运动．P，Q同时开始运动，当点Q到达B点时，点P和点Q同时停止运动，用t（s）表示运动的时间．

（1）当点Q在DA边上运动时，t为何值，使AQ=AP？

（2）当t为何值时，AQ+AP等于长方形ABCD周长的？

（3）当t为何值时，点Q能追上点P？

【解答】解：（1）当点Q在DA边上运动，运动时间为ts时，AQ=（8﹣2t）cm，AP=tcm，

根据题意得：8﹣2t=t，

解得：t=．

答：t为时，AQ=AP．

（2）当点Q在DA边上运动时（0≤t≤4），此时AQ=（8﹣2t）cm，AP=t，

根据题意得：8﹣2t+t=2×（14+8）×，

解得：t=；

当点Q在AB边上运动时（4≤t≤11），此时AQ=（2t﹣8）cm，AP=t，

根据题意得：2t﹣8+t=2×（14+8）×，

解得：t=．

综上所述：当t为或时，AQ+AP等于长方形ABCD周长的．

（3）根据题意得：2t﹣8=t，

解得：t=8．

答：当t为8时，点Q能追上点P．

综合练习

一．选择题（共3小题）

1．如图，电子蚂蚁P、Q在边长为1个单位长度的正方形ABCD的边上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作顺时针运动，电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度秒的速度绕正方形作逆时针运动，则它们第2019次相遇在（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D

【解答】解：设两只电子蚂蚁每隔x秒相遇一次，

根据题意得：（+）x＝1×4，

解得：x＝2．

∵电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动，

2秒后它到达B点，即第一次它们相遇在B点，

∴第2次相遇在C点，第3次相遇在D点，第4次相遇在A点，第5次相遇在B点，第6次相遇在C点，…．

又∵2019÷4＝504……3，

∴第2019次相遇和第3次相遇地点相同，即第2019次相遇在点D．

故选：D．

2．已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度和车长分别是（　　）

A．20米/秒，200米 B．18米/秒，180米 

C．16米/秒，160米 D．15米/秒，150米

【解答】解：设火车的速度是x米/秒，

根据题意得：

800﹣40x＝60x﹣800，

解得：x＝16，

即火车的速度是16米/秒，

火车的车长是：60×16﹣800＝160（米），

故选：C．

3．在2019年1月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数（如图，如框出了10，17，24），则这三个数的和可能的是（　　）

A．21 B．27 C．50 D．75

【解答】解：设三个数中间的一个数为x，则另外两个数分别为x﹣7、x+7，

根据题意得：（x﹣7）+x+（x+7）＝21或（x﹣7）+x+（x+7）＝27或（x﹣7）+x+（x+7）＝50或（x﹣7）+x+（x+7）＝75，

解得：x＝7或x＝9或x＝或x＝25，

又∵x＝7或x＝或x＝25不符合题意，

∴这三个数的和只可能是27．

故选：B．

二．填空题（共1小题）

4．春节假期，小陈驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了40分钟，返回时平均速度提高了25千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少了10分钟，求小陈去时的平均速度，设他去时驾车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为　x＝（x+25）　．

【解答】解：设他去时驾车的平均速度为x千米/小时，则返回时驾车的平均速度为（x+25）千米/小时，

依题意，得：x＝（x+25）．

故答案为：x＝（x+25）．

三．解答题（共3小题）

5．甲、乙两人在400米的环形跑道上进行早锻炼，甲慢跑速度为105米/分，乙步行速度为25米/分，两人同时同地同向出发，经过多少时间，两人第一次相遇？（请列一元一次方程求解）

【解答】解：设经过x分钟后两人第一次相遇，

可列方程：105x﹣25x＝400

解得x＝5

答：经过5分钟，两人第一次相遇．

6．用A4纸在某眷印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费1元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.4元，在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.8元，当复印的张数超过20页时，请问答以下问题．

（1）复印张数为多少页时，某眷印社与某图书馆的收费相同？

（2）如何选择更省钱？

【解答】解：（1）设复印张数为x页，（x＞20），列方程得：

20+0.4（x﹣20）＝0.8x

解得：x＝30

答：复印张数为30页时，某眷印社与某图书馆的收费相同．

（2）20+0.4（x﹣20）＞0.8x

解得：x＜30

答：当复印张数大于0小于30页时，选某图书馆；当复印张数为30页时，两店一样；当复印张数大于30页时，选某眷印社．

7．小邢和小华相约放学后去公园跑步，她们一起以4km/h的速度从学校出发，走了15分钟后小邢发现忘了带作业，就以5km/h的速度回学校去拿，到达学校后，又用了6分钟取作业，之后便以同样的速度去追赶小华，结果在距公园3km处追上了小华，试求学校与公园的距离．

【解答】解：根据题意得：

走了15分钟后，二者与学校的距离为：4×＝1（km），

小邢返回学校所用的时间t1＝＝0.2h，

二者分开后小华走的时间为t2＝0.2+＝0.3（h），

二者分开后小华走的距离为：4×0.3＝1.2（km），

设小邢追上小华所用的时间为th，

根据题意得：

5t＝4t+1+1.2，

解得：t＝2.2，

这段时间小华走的距离为：4×2.2＝8.8（km），

学校与公园的距离为：8.8+1+1.2+3＝14（km），

答：学校与公园的距离为14km．