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福建省泉州实验中学重点达标名校2021-2022学年中考联考数学试题含解析
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这是一份福建省泉州实验中学重点达标名校2021-2022学年中考联考数学试题含解析,共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁,下列计算正确的是等内容,欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.如图,钓鱼竿AC长6m,露在水面上的鱼线BC长m,某钓者想看看鱼钓上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B′C′为m,则鱼竿转过的角度是( )
A.60° B.45° C.15° D.90°
2.把不等式组的解集表示在数轴上,下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E是AB边上一动点(不与A、B重合),且∠EDF=∠A,则下列结论错误的是( )
A.AE=BF B.∠ADE=∠BEF
C.△DEF是等边三角形 D.△BEF是等腰三角形
4.若(x﹣1)0=1成立,则x的取值范围是( )
A.x=﹣1 B.x=1 C.x≠0 D.x≠1
5.如图,⊙O的直径AB=2,C是弧AB的中点,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,以E为圆心,AE为半径作扇形EAB,π取3,则阴影部分的面积为( )
A.﹣4 B.7﹣4 C.6﹣ D.
6.如图所示,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=2,正方形DEFG边长也为2,且AC与DE在同一直线上,△ABC从C点与D点重合开始,沿直线DE向右平移,直到点A与点E重合为止,设CD的长为x,△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.某工厂计划生产210个零件,由于采用新技术,实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍,因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个,依题意列方程为( )
A. B.
C. D.
8.2017年我国大学生毕业人数将达到7490000人,这个数据用科学记数法表示为( )
A.7.49×107 B.74.9×106 C.7.49×106 D.0.749×107
9.下列计算正确的是( )
A.﹣5x﹣2x=﹣3x B.(a+3)2=a2+9 C.(﹣a3)2=a5 D.a2p÷a﹣p=a3p
10.如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.如果两个相似三角形的面积的比是4:9,那么它们对应的角平分线的比是_____.
12.如图所示是一组有规律的图案,第l个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,……,第n(n是正整数)个图案中的基础图形个数为_______ (用含n的式子表示).
13.在线段 AB 上,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果,那么点 C 叫做线段AB 的黄金分割点.若点 P 是线段 MN 的黄金分割点,当 MN=1 时,PM 的长是_____.
14.已知平面直角坐标系中的点A (2,﹣4)与点B关于原点中心对称,则点B的坐标为_____
15.已知,,,是成比例的线段,其中,,,则_______.
16.已知点A(2,4)与点B(b﹣1,2a)关于原点对称,则ab=_____.
17.已知实数m,n满足,,且,则= .
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(10分)如图所示,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD.求证:BC=DE.
19.(5分)如图,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90°,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90°,连结AE、BF.
求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF.
20.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,BD是对角线,∠ADB=90°,E、F分别为边AB、CD的中点.
(1)求证:四边形DEBF是菱形;
(2)若BE=4,∠DEB=120°,点M为BF的中点,当点P在BD边上运动时,则PF+PM的最小值为 ,并在图上标出此时点P的位置.
21.(10分)某快餐店试销某种套餐,试销一段时间后发现,每份套餐的成本为5元,该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本). 若每份套餐售价不超过10元,每天可销售400份;若每份套餐售价超过10元,每提高1元,每天的销售量就减少40份.为了便于结算,每份套餐的售价(元)取整数,用(元)表示该店每天的利润.若每份套餐售价不超过10元.
①试写出与的函数关系式;
②若要使该店每天的利润不少于800元,则每份套餐的售价应不低于多少元?该店把每份套餐的售价提高到10元以上,每天的利润能否达到1560元?若能,求出每份套餐的售价应定为多少元时,既能保证利润又能吸引顾客?若不能,请说明理由.
22.(10分)如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在OA,OC上.
(1)给出以下条件;①OB=OD,②∠1=∠2,③OE=OF,请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO;
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下,添加AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.
23.(12分)如图,∠BCD=90°,且BC=DC,直线PQ经过点D.设∠PDC=α(45°<α<135°),BA⊥PQ于点A,将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°,与直线PQ交于点E.当α=125°时,∠ABC= °;求证:AC=CE;若△ABC的外心在其内部,直接写出α的取值范围.
24.(14分)某蔬菜加工公司先后两次收购某时令蔬菜200吨,第一批蔬菜价格为2000元/吨,因蔬菜大量上市,第二批收购时价格变为500元/吨,这两批蔬菜共用去16万元.
(1)求两批次购蔬菜各购进多少吨?
(2)公司收购后对蔬菜进行加工,分为粗加工和精加工两种:粗加工每吨利润400元,精加工每吨利润800元.要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍.为获得最大利润,精加工数量应为多少吨?最大利润是多少?
参考答案
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1、C
【解析】
试题解析:∵sin∠CAB=
∴∠CAB=45°.
∵,
∴∠C′AB′=60°.
∴∠CAC′=60°-45°=15°,
鱼竿转过的角度是15°.
故选C.
考点:解直角三角形的应用.
2、C
【解析】
求得不等式组的解集为x<﹣1,所以C是正确的.
【详解】
解:不等式组的解集为x<﹣1.
故选C.
【点睛】
本题考查了不等式问题,在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
3、D
【解析】
连接BD,可得△ADE≌△BDF,然后可证得DE=DF,AE=BF,即可得△DEF是等边三角形,然后可证得∠ADE=∠BEF.
【详解】
连接BD,∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,∠ADB=∠ADC,AB∥CD,
∵∠A=60°,
∴∠ADC=120°,∠ADB=60°,
同理:∠DBF=60°,
即∠A=∠DBF,
∴△ABD是等边三角形,
∴AD=BD,
∵∠ADE+∠BDE=60°,∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°,
∴∠ADE=∠BDF,
∵在△ADE和△BDF中,
,
∴△ADE≌△BDF(ASA),
∴DE=DF,AE=BF,故A正确;
∵∠EDF=60°,
∴△EDF是等边三角形,
∴C正确;
∴∠DEF=60°,
∴∠AED+∠BEF=120°,
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°,
∴∠ADE=∠BEF;
故B正确.
∵△ADE≌△BDF,
∴AE=BF,
同理:BE=CF,
但BE不一定等于BF.
故D错误.
故选D.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
4、D
【解析】
试题解析:由题意可知:x-1≠0,
x≠1
故选D.
5、A
【解析】
∵O的直径AB=2,
∴∠C=90°,
∵C是弧AB的中点,
∴,
∴AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,
∴∠EAB=∠EBA=22.5°,
∴∠AEB=180°− (∠BAC+∠CBA)=135°,
连接EO,
∵∠EAB=∠EBA,
∴EA=EB,
∵OA=OB,
∴EO⊥AB,
∴EO为Rt△ABC内切圆半径,
∴S△ABC=(AB+AC+BC)⋅EO=AC⋅BC,
∴EO=−1,
∴AE2=AO2+EO2=12+(−1)2=4−2,
∴扇形EAB的面积==,△ABE的面积=AB⋅EO=−1,
∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积−△ABE的面积=,
∴阴影部分的面积=O的面积−弓形AB的面积=−()=−4,
故选:A.
6、A
【解析】
此题可分为两段求解,即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点,列出面积随动点变化的函数关系式即可.
【详解】
解:设CD的长为与正方形DEFG重合部分图中阴影部分的面积为
当C从D点运动到E点时,即时,.
当A从D点运动到E点时,即时,,
与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应.
故选A.
【点睛】
本题考查的动点变化过程中面积的变化关系,重点是列出函数关系式,但需注意自变量的取值范围.
7、A
【解析】
设原计划每天生产零件x个,则实际每天生产零件为1.5x个,根据提前5天完成任务,列方程即可.
【详解】
设原计划每天生产零件x个,则实际每天生产零件为1.5x个,
由题意得,
故选:A.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程即可.
8、C
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】
7490000=7.49×106.
故选C.
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
9、D
【解析】
直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和整式的乘除运算法则分别计算即可得出答案.
【详解】
解:A.﹣5x﹣2x=﹣7x,故此选项错误;
B.(a+3)2=a2+6a+9,故此选项错误;
C.(﹣a3)2=a6,故此选项错误;
D.a2p÷a﹣p=a3p,正确.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和整式的乘除运算,正确掌握运算法则是解题的关键.
10、C
【解析】
试题分析:由题意可得BQ=x.
①0≤x≤1时,P点在BC边上,BP=3x,则△BPQ的面积=BP•BQ,解y=•3x•x=;故A选项错误;
②1<x≤2时,P点在CD边上,则△BPQ的面积=BQ•BC,解y=•x•3=;故B选项错误;
③2<x≤3时,P点在AD边上,AP=9﹣3x,则△BPQ的面积=AP•BQ,解y=•(9﹣3x)•x=;故D选项错误.
故选C.
考点:动点问题的函数图象.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11、2:1
【解析】
先根据相似三角形面积的比是4:9,求出其相似比是2:1,再根据其对应的角平分线的比等于相似比,可知它们对应的角平分线比是2:1.
故答案为2:1.
点睛:本题考查的是相似三角形的性质,即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比;面积的比等于相似比的平方.
12、3n+1
【解析】
试题分析:由图可知每个图案一次增加3个基本图形,第一个图案有4个基本图形,则第n个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个
考点:规律型
13、
【解析】
设PM=x,根据黄金分割的概念列出比例式,计算即可.
【详解】
设PM=x,则PN=1-x,
由得,,
化简得:x2+x-1=0,
解得:x1=,x2=(负值舍去),
所以PM的长为.
【点睛】
本题考查的是黄金分割的概念和性质,把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割.
14、(﹣2,4)
【解析】
根据点P(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)即可得解.
【详解】
解:∵点A (2,-4)与点B关于原点中心对称,
∴点B的坐标为:(-2,4).
故答案为:(-2,4).
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质,正确掌握横纵坐标的关系是解题关键.
15、
【解析】
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段.根据定义ad=cb,将a,b及c的值代入即可求得d.
【详解】
已知a,b,c,d是成比例线段,
根据比例线段的定义得:ad=cb,
代入a=3,b=2,c=6,
解得:d=4,
则d=4cm.
故答案为:4
【点睛】
本题主要考查比例线段的定义.要注意考虑问题要全面.
16、1.
【解析】
由题意,得
b−1=−1,1a=−4,
解得b=−1,a=−1,
∴ab=(−1) ×(−1)=1,
故答案为1.
17、.
【解析】
试题分析:由时,得到m,n是方程的两个不等的根,根据根与系数的关系进行求解.
试题解析:∵时,则m,n是方程3x2﹣6x﹣5=0的两个不相等的根,∴,.
∴原式===,故答案为.
考点:根与系数的关系.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18、证明见解析.
【解析】
试题分析:由可得则可证明,因此可得
试题解析:即,在和中,
考点:三角形全等的判定.
19、见解析
【解析】
(1)可以把要证明相等的线段AE,CF放到△AEO,△BFO中考虑全等的条件,由两个等腰直角三角形得AO=BO,OE=OF,再找夹角相等,这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果,所以相等,由此可以证明△AEO≌△BFO;
(2)由(1)知:∠OAC=∠OBF,∴∠BDA=∠AOB=90°,由此可以证明AE⊥BF
【详解】
解:(1)证明:在△AEO与△BFO中,
∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形,
∴AO=OB,OE=OF,∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF,
∴△AEO≌△BFO,
∴AE=BF;
( 2)延长AE交BF于D,交OB于C,则∠BCD=∠ACO
由(1)知:∠OAC=∠OBF,
∴∠BDA=∠AOB=90°,
∴AE⊥BF.
20、(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,以及平行四边形的对边相等证明四边形DEBF的四边相等即可证得;
(2)连接EM,EM与BD的交点就是P,FF+PM的最小值就是EM的长,证明△BEF是等边三角形,利用三角函数求解.
【详解】
(1)∵平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB=90°.
∵△ABD中,∠ADB=90°,E时AB的中点,∴DE=AB=AE=BE.
同理,BF=DF.
∵平行四边形ABCD中,AB=CD,∴DE=BE=BF=DF,∴四边形DEBF是菱形;
(2)连接BF.
∵菱形DEBF中,∠DEB=120°,∴∠EFB=60°,∴△BEF是等边三角形.
∵M是BF的中点,∴EM⊥BF.
则EM=BE•sin60°=4×=2.
即PF+PM的最小值是2.
故答案为:2.
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质以及图形的对称,根据菱形的对称性,理解PF+PM的最小值就是EM的长是关键.
21、(1)①y=400x﹣1.(5<x≤10);②9元或10元;(2)能, 11元.
【解析】
(1)、根据利润=(售价-进价)×数量-固定支出列出函数表达式;(2)、根据题意得出不等式,从而得出答案;(2)、根据题意得出函数关系式,然后将y=1560代入函数解析式,从而求出x的值得出答案.
【详解】
解:(1)①y=400(x﹣5)﹣2.(5<x≤10),
②依题意得:400(x﹣5)﹣2≥800, 解得:x≥8.5,
∵5<x≤10,且每份套餐的售价x(元)取整数, ∴每份套餐的售价应不低于9元.
(2)依题意可知:每份套餐售价提高到10元以上时,
y=(x﹣5)[400﹣40(x﹣10)]﹣2,
当y=1560时, (x﹣5)[400﹣40(x﹣10)]﹣2=1560,
解得:x1=11,x2=14,为了保证净收入又能吸引顾客,应取x1=11,即x2=14不符合题意.
故该套餐售价应定为11元.
【点睛】
本题主要考查的是一次函数和二次函数的实际应用问题,属于中等难度的题型.理解题意,列出关系式是解决这个问题的关键.
22、(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
试题分析:(1)选取①②,利用ASA判定△BEO≌△DFO;也可选取②③,利用AAS判定△BEO≌△DFO;还可选取①③,利用SAS判定△BEO≌△DFO;
(2)根据△BEO≌△DFO可得EO=FO,BO=DO,再根据等式的性质可得AO=CO,根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.
试题解析:
证明:(1)选取①②,
∵在△BEO和△DFO中,
∴△BEO≌△DFO(ASA);
(2)由(1)得:△BEO≌△DFO,
∴EO=FO,BO=DO,
∵AE=CF,
∴AO=CO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
点睛:此题主要考查了平行四边形的判定,以及全等三角形的判定,关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
23、(1)125;(2)详见解析;(3)45°<α<90°.
【解析】
(1)利用四边形内角和等于360度得:∠B+∠ADC=180°,而∠ADC+∠EDC=180°,即可求解;
(2)证明△ABC≌△EDC(AAS)即可求解;
(3)当∠ABC=α=90°时,△ABC的外心在其直角边上,∠ABC=α>90°时,△ABC的外心在其外部,即可求解.
【详解】
(1)在四边形BADC中,∠B+∠ADC=360°﹣∠BAD﹣∠DCB=180°,
而∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠ABC=∠PDC=α=125°,
故答案为125;
(2)∠ECD+∠DCA=90°,∠DCA+∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠ECD,
又BC=DC,由(1)知:∠ABC=∠PDC,
∴△ABC≌△EDC(AAS),
∴AC=CE;
(3)当∠ABC=α=90°时,△ABC的外心在其斜边上;∠ABC=α>90°时,△ABC的外心在其外部,而45°<α<135°,故:45°<α<90°.
【点睛】
本题考查圆的综合运用,解题的关键是掌握三角形全等的判定和性质(AAS)、三角形外心.
24、(1)第一次购进40吨,第二次购进160吨;(2)为获得最大利润,精加工数量应为150吨,最大利润是1.
【解析】
(1)设第一批购进蒜薹a吨,第二批购进蒜薹b吨.构建方程组即可解决问题.
(2)设精加工x吨,利润为w元,则粗加工(100-x)吨.利润w=800x+400(200﹣x)=400x+80000,再由x≤3(100-x),解得x≤150,即可解决问题.
【详解】
(1)设第一次购进a吨,第二次购进b吨,
,
解得 ,
答:第一次购进40吨,第二次购进160吨;
(2)设精加工x吨,利润为w元,
w=800x+400(200﹣x)=400x+80000,
∵x≤3(200﹣x),
解得,x≤150,
∴当x=150时,w取得最大值,此时w=1,
答:为获得最大利润,精加工数量应为150吨,最大利润是1.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用与一次函数的应用,解题的关键是熟练的掌握二元一次方程组的应用与一次函数的应用.
2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.如图,钓鱼竿AC长6m,露在水面上的鱼线BC长m,某钓者想看看鱼钓上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B′C′为m,则鱼竿转过的角度是( )
A.60° B.45° C.15° D.90°
2.把不等式组的解集表示在数轴上,下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E是AB边上一动点(不与A、B重合),且∠EDF=∠A,则下列结论错误的是( )
A.AE=BF B.∠ADE=∠BEF
C.△DEF是等边三角形 D.△BEF是等腰三角形
4.若(x﹣1)0=1成立,则x的取值范围是( )
A.x=﹣1 B.x=1 C.x≠0 D.x≠1
5.如图,⊙O的直径AB=2,C是弧AB的中点,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,以E为圆心,AE为半径作扇形EAB,π取3,则阴影部分的面积为( )
A.﹣4 B.7﹣4 C.6﹣ D.
6.如图所示,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=2,正方形DEFG边长也为2,且AC与DE在同一直线上,△ABC从C点与D点重合开始,沿直线DE向右平移,直到点A与点E重合为止,设CD的长为x,△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.某工厂计划生产210个零件,由于采用新技术,实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍,因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个,依题意列方程为( )
A. B.
C. D.
8.2017年我国大学生毕业人数将达到7490000人,这个数据用科学记数法表示为( )
A.7.49×107 B.74.9×106 C.7.49×106 D.0.749×107
9.下列计算正确的是( )
A.﹣5x﹣2x=﹣3x B.(a+3)2=a2+9 C.(﹣a3)2=a5 D.a2p÷a﹣p=a3p
10.如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.如果两个相似三角形的面积的比是4:9,那么它们对应的角平分线的比是_____.
12.如图所示是一组有规律的图案,第l个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,……,第n(n是正整数)个图案中的基础图形个数为_______ (用含n的式子表示).
13.在线段 AB 上,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果,那么点 C 叫做线段AB 的黄金分割点.若点 P 是线段 MN 的黄金分割点,当 MN=1 时,PM 的长是_____.
14.已知平面直角坐标系中的点A (2,﹣4)与点B关于原点中心对称,则点B的坐标为_____
15.已知,,,是成比例的线段,其中,,,则_______.
16.已知点A(2,4)与点B(b﹣1,2a)关于原点对称,则ab=_____.
17.已知实数m,n满足,,且,则= .
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(10分)如图所示,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD.求证:BC=DE.
19.(5分)如图,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90°,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90°,连结AE、BF.
求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF.
20.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,BD是对角线,∠ADB=90°,E、F分别为边AB、CD的中点.
(1)求证:四边形DEBF是菱形;
(2)若BE=4,∠DEB=120°,点M为BF的中点,当点P在BD边上运动时,则PF+PM的最小值为 ,并在图上标出此时点P的位置.
21.(10分)某快餐店试销某种套餐,试销一段时间后发现,每份套餐的成本为5元,该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本). 若每份套餐售价不超过10元,每天可销售400份;若每份套餐售价超过10元,每提高1元,每天的销售量就减少40份.为了便于结算,每份套餐的售价(元)取整数,用(元)表示该店每天的利润.若每份套餐售价不超过10元.
①试写出与的函数关系式;
②若要使该店每天的利润不少于800元,则每份套餐的售价应不低于多少元?该店把每份套餐的售价提高到10元以上,每天的利润能否达到1560元?若能,求出每份套餐的售价应定为多少元时,既能保证利润又能吸引顾客?若不能,请说明理由.
22.(10分)如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在OA,OC上.
(1)给出以下条件;①OB=OD,②∠1=∠2,③OE=OF,请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO;
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下,添加AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.
23.(12分)如图,∠BCD=90°,且BC=DC,直线PQ经过点D.设∠PDC=α(45°<α<135°),BA⊥PQ于点A,将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°,与直线PQ交于点E.当α=125°时,∠ABC= °;求证:AC=CE;若△ABC的外心在其内部,直接写出α的取值范围.
24.(14分)某蔬菜加工公司先后两次收购某时令蔬菜200吨,第一批蔬菜价格为2000元/吨,因蔬菜大量上市,第二批收购时价格变为500元/吨,这两批蔬菜共用去16万元.
(1)求两批次购蔬菜各购进多少吨?
(2)公司收购后对蔬菜进行加工,分为粗加工和精加工两种:粗加工每吨利润400元,精加工每吨利润800元.要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍.为获得最大利润,精加工数量应为多少吨?最大利润是多少?
参考答案
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1、C
【解析】
试题解析:∵sin∠CAB=
∴∠CAB=45°.
∵,
∴∠C′AB′=60°.
∴∠CAC′=60°-45°=15°,
鱼竿转过的角度是15°.
故选C.
考点:解直角三角形的应用.
2、C
【解析】
求得不等式组的解集为x<﹣1,所以C是正确的.
【详解】
解:不等式组的解集为x<﹣1.
故选C.
【点睛】
本题考查了不等式问题,在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
3、D
【解析】
连接BD,可得△ADE≌△BDF,然后可证得DE=DF,AE=BF,即可得△DEF是等边三角形,然后可证得∠ADE=∠BEF.
【详解】
连接BD,∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,∠ADB=∠ADC,AB∥CD,
∵∠A=60°,
∴∠ADC=120°,∠ADB=60°,
同理:∠DBF=60°,
即∠A=∠DBF,
∴△ABD是等边三角形,
∴AD=BD,
∵∠ADE+∠BDE=60°,∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°,
∴∠ADE=∠BDF,
∵在△ADE和△BDF中,
,
∴△ADE≌△BDF(ASA),
∴DE=DF,AE=BF,故A正确;
∵∠EDF=60°,
∴△EDF是等边三角形,
∴C正确;
∴∠DEF=60°,
∴∠AED+∠BEF=120°,
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°,
∴∠ADE=∠BEF;
故B正确.
∵△ADE≌△BDF,
∴AE=BF,
同理:BE=CF,
但BE不一定等于BF.
故D错误.
故选D.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
4、D
【解析】
试题解析:由题意可知:x-1≠0,
x≠1
故选D.
5、A
【解析】
∵O的直径AB=2,
∴∠C=90°,
∵C是弧AB的中点,
∴,
∴AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,
∴∠EAB=∠EBA=22.5°,
∴∠AEB=180°− (∠BAC+∠CBA)=135°,
连接EO,
∵∠EAB=∠EBA,
∴EA=EB,
∵OA=OB,
∴EO⊥AB,
∴EO为Rt△ABC内切圆半径,
∴S△ABC=(AB+AC+BC)⋅EO=AC⋅BC,
∴EO=−1,
∴AE2=AO2+EO2=12+(−1)2=4−2,
∴扇形EAB的面积==,△ABE的面积=AB⋅EO=−1,
∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积−△ABE的面积=,
∴阴影部分的面积=O的面积−弓形AB的面积=−()=−4,
故选:A.
6、A
【解析】
此题可分为两段求解,即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点,列出面积随动点变化的函数关系式即可.
【详解】
解:设CD的长为与正方形DEFG重合部分图中阴影部分的面积为
当C从D点运动到E点时,即时,.
当A从D点运动到E点时,即时,,
与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应.
故选A.
【点睛】
本题考查的动点变化过程中面积的变化关系,重点是列出函数关系式,但需注意自变量的取值范围.
7、A
【解析】
设原计划每天生产零件x个,则实际每天生产零件为1.5x个,根据提前5天完成任务,列方程即可.
【详解】
设原计划每天生产零件x个,则实际每天生产零件为1.5x个,
由题意得,
故选:A.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程即可.
8、C
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】
7490000=7.49×106.
故选C.
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
9、D
【解析】
直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和整式的乘除运算法则分别计算即可得出答案.
【详解】
解:A.﹣5x﹣2x=﹣7x,故此选项错误;
B.(a+3)2=a2+6a+9,故此选项错误;
C.(﹣a3)2=a6,故此选项错误;
D.a2p÷a﹣p=a3p,正确.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和整式的乘除运算,正确掌握运算法则是解题的关键.
10、C
【解析】
试题分析:由题意可得BQ=x.
①0≤x≤1时,P点在BC边上,BP=3x,则△BPQ的面积=BP•BQ,解y=•3x•x=;故A选项错误;
②1<x≤2时,P点在CD边上,则△BPQ的面积=BQ•BC,解y=•x•3=;故B选项错误;
③2<x≤3时,P点在AD边上,AP=9﹣3x,则△BPQ的面积=AP•BQ,解y=•(9﹣3x)•x=;故D选项错误.
故选C.
考点:动点问题的函数图象.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11、2:1
【解析】
先根据相似三角形面积的比是4:9,求出其相似比是2:1,再根据其对应的角平分线的比等于相似比,可知它们对应的角平分线比是2:1.
故答案为2:1.
点睛:本题考查的是相似三角形的性质,即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比;面积的比等于相似比的平方.
12、3n+1
【解析】
试题分析:由图可知每个图案一次增加3个基本图形,第一个图案有4个基本图形,则第n个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个
考点:规律型
13、
【解析】
设PM=x,根据黄金分割的概念列出比例式,计算即可.
【详解】
设PM=x,则PN=1-x,
由得,,
化简得:x2+x-1=0,
解得:x1=,x2=(负值舍去),
所以PM的长为.
【点睛】
本题考查的是黄金分割的概念和性质,把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割.
14、(﹣2,4)
【解析】
根据点P(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)即可得解.
【详解】
解:∵点A (2,-4)与点B关于原点中心对称,
∴点B的坐标为:(-2,4).
故答案为:(-2,4).
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质,正确掌握横纵坐标的关系是解题关键.
15、
【解析】
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段.根据定义ad=cb,将a,b及c的值代入即可求得d.
【详解】
已知a,b,c,d是成比例线段,
根据比例线段的定义得:ad=cb,
代入a=3,b=2,c=6,
解得:d=4,
则d=4cm.
故答案为:4
【点睛】
本题主要考查比例线段的定义.要注意考虑问题要全面.
16、1.
【解析】
由题意,得
b−1=−1,1a=−4,
解得b=−1,a=−1,
∴ab=(−1) ×(−1)=1,
故答案为1.
17、.
【解析】
试题分析:由时,得到m,n是方程的两个不等的根,根据根与系数的关系进行求解.
试题解析:∵时,则m,n是方程3x2﹣6x﹣5=0的两个不相等的根,∴,.
∴原式===,故答案为.
考点:根与系数的关系.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18、证明见解析.
【解析】
试题分析:由可得则可证明,因此可得
试题解析:即,在和中,
考点:三角形全等的判定.
19、见解析
【解析】
(1)可以把要证明相等的线段AE,CF放到△AEO,△BFO中考虑全等的条件,由两个等腰直角三角形得AO=BO,OE=OF,再找夹角相等,这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果,所以相等,由此可以证明△AEO≌△BFO;
(2)由(1)知:∠OAC=∠OBF,∴∠BDA=∠AOB=90°,由此可以证明AE⊥BF
【详解】
解:(1)证明:在△AEO与△BFO中,
∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形,
∴AO=OB,OE=OF,∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF,
∴△AEO≌△BFO,
∴AE=BF;
( 2)延长AE交BF于D,交OB于C,则∠BCD=∠ACO
由(1)知:∠OAC=∠OBF,
∴∠BDA=∠AOB=90°,
∴AE⊥BF.
20、(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,以及平行四边形的对边相等证明四边形DEBF的四边相等即可证得;
(2)连接EM,EM与BD的交点就是P,FF+PM的最小值就是EM的长,证明△BEF是等边三角形,利用三角函数求解.
【详解】
(1)∵平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB=90°.
∵△ABD中,∠ADB=90°,E时AB的中点,∴DE=AB=AE=BE.
同理,BF=DF.
∵平行四边形ABCD中,AB=CD,∴DE=BE=BF=DF,∴四边形DEBF是菱形;
(2)连接BF.
∵菱形DEBF中,∠DEB=120°,∴∠EFB=60°,∴△BEF是等边三角形.
∵M是BF的中点,∴EM⊥BF.
则EM=BE•sin60°=4×=2.
即PF+PM的最小值是2.
故答案为:2.
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质以及图形的对称,根据菱形的对称性,理解PF+PM的最小值就是EM的长是关键.
21、(1)①y=400x﹣1.(5<x≤10);②9元或10元;(2)能, 11元.
【解析】
(1)、根据利润=(售价-进价)×数量-固定支出列出函数表达式;(2)、根据题意得出不等式,从而得出答案;(2)、根据题意得出函数关系式,然后将y=1560代入函数解析式,从而求出x的值得出答案.
【详解】
解:(1)①y=400(x﹣5)﹣2.(5<x≤10),
②依题意得:400(x﹣5)﹣2≥800, 解得:x≥8.5,
∵5<x≤10,且每份套餐的售价x(元)取整数, ∴每份套餐的售价应不低于9元.
(2)依题意可知:每份套餐售价提高到10元以上时,
y=(x﹣5)[400﹣40(x﹣10)]﹣2,
当y=1560时, (x﹣5)[400﹣40(x﹣10)]﹣2=1560,
解得:x1=11,x2=14,为了保证净收入又能吸引顾客,应取x1=11,即x2=14不符合题意.
故该套餐售价应定为11元.
【点睛】
本题主要考查的是一次函数和二次函数的实际应用问题,属于中等难度的题型.理解题意,列出关系式是解决这个问题的关键.
22、(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
试题分析:(1)选取①②,利用ASA判定△BEO≌△DFO;也可选取②③,利用AAS判定△BEO≌△DFO;还可选取①③,利用SAS判定△BEO≌△DFO;
(2)根据△BEO≌△DFO可得EO=FO,BO=DO,再根据等式的性质可得AO=CO,根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.
试题解析:
证明:(1)选取①②,
∵在△BEO和△DFO中,
∴△BEO≌△DFO(ASA);
(2)由(1)得:△BEO≌△DFO,
∴EO=FO,BO=DO,
∵AE=CF,
∴AO=CO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
点睛:此题主要考查了平行四边形的判定,以及全等三角形的判定,关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
23、(1)125;(2)详见解析;(3)45°<α<90°.
【解析】
(1)利用四边形内角和等于360度得:∠B+∠ADC=180°,而∠ADC+∠EDC=180°,即可求解;
(2)证明△ABC≌△EDC(AAS)即可求解;
(3)当∠ABC=α=90°时,△ABC的外心在其直角边上,∠ABC=α>90°时,△ABC的外心在其外部,即可求解.
【详解】
(1)在四边形BADC中,∠B+∠ADC=360°﹣∠BAD﹣∠DCB=180°,
而∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠ABC=∠PDC=α=125°,
故答案为125;
(2)∠ECD+∠DCA=90°,∠DCA+∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠ECD,
又BC=DC,由(1)知:∠ABC=∠PDC,
∴△ABC≌△EDC(AAS),
∴AC=CE;
(3)当∠ABC=α=90°时,△ABC的外心在其斜边上;∠ABC=α>90°时,△ABC的外心在其外部,而45°<α<135°,故:45°<α<90°.
【点睛】
本题考查圆的综合运用,解题的关键是掌握三角形全等的判定和性质(AAS)、三角形外心.
24、(1)第一次购进40吨,第二次购进160吨;(2)为获得最大利润,精加工数量应为150吨,最大利润是1.
【解析】
(1)设第一批购进蒜薹a吨,第二批购进蒜薹b吨.构建方程组即可解决问题.
(2)设精加工x吨,利润为w元,则粗加工(100-x)吨.利润w=800x+400(200﹣x)=400x+80000,再由x≤3(100-x),解得x≤150,即可解决问题.
【详解】
(1)设第一次购进a吨,第二次购进b吨,
,
解得 ,
答:第一次购进40吨,第二次购进160吨;
(2)设精加工x吨,利润为w元,
w=800x+400(200﹣x)=400x+80000,
∵x≤3(200﹣x),
解得,x≤150,
∴当x=150时,w取得最大值,此时w=1,
答:为获得最大利润,精加工数量应为150吨,最大利润是1.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用与一次函数的应用,解题的关键是熟练的掌握二元一次方程组的应用与一次函数的应用.