甘肃省白银市靖远县2022-2023学年高三上学期开学考试数学（理）试题（Word版含答案）

这是一份甘肃省白银市靖远县2022-2023学年高三上学期开学考试数学（理）试题（Word版含答案），共15页。试卷主要包含了已知函数，则不等式的解集是等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前高三数学考试（理科）（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，且，则（    ）A．1 B． C．2 D．2．设，则（    ）A． B． C． D．3．函数在上的图象大致为（    ）A． B． C． D．4．设正项等比数列的前4项和为90，且，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．45．某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的身高都在，，，，五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则所给叙述正确的是（    ）女生身高频率分布直方图    男生身高分布扇形图      A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多B．估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多6．已知函数，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．7．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（    ）A． B．8 C． D．108．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为（    ）A．4 B．3 C．2 D．19．已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．10．6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（    ）A．105种 B．144种 C．150种 D．210种11．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与轴垂直的直线交的右支于，两点，若，且，则的离心率为（    ）A． B． C． D．12．已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。13．设是等差数列，且，，则________．14．已知向量，满足，且，则________．15．已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为________．16．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段至点，使得，延长线段至点，使得，以此类推得到点，，，，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知，，，则由生成的康威圆的半径为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）的内角，，的对边分别是，，，且．（1）求；（2）若的面积为，且，求的周长．18．（12分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城．某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛．参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题．（1）学生甲恰好答对两题的概率是多少？（2）求学生甲答对的题数的分布列和数学期望．19．（12分）在四棱锥中，点是棱上一点，，，，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的右顶点是，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数有两个零点，．（1）求的取值范围；（2）证明：．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（2）若直线过点且与直线平行，直线交曲线于，两点，求的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，，均为正数，且，证明：（1）；（2）．  高三数学考试参考答案（理科）1．C【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．因为，，所以，解得．2．A【解析】本题考查复数的四则运算，考查数学运算的核心素养．设，，因为，所以，解得，，则．3．B【解析】本题考查函数的图象和性质，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．因为，所以是奇函数，排除A，D，当时，，，所以，排除C，故选B．4．C【解析】本题考查等比数列的通项公式及求和公式，考查数学运算的核心素养．设公比为，由题设知，即，又，所以，解得或（舍去），所以，从而．5．B【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析与数学运算的核心素养．设女生身高频率分布直方图中的组距为，由，得，所以女生身高频率分布直方图中层次频率为20%，层次频率为30%，层次频率为25%，层次频率为15%，层次频率为10%．因为男、女生样本数未知，所以层次中男、女生人数不能比较，即选项A错误；同理，层次女生在女生样本数中频率与层次男生在男生样本数中频率相等，都是15%，但因男、女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C错误；设女生人数为，男生人数为，但因男、女生人数可能不相等，则层次的学生数为，层次的学生数为，因为不确定，所以与可能不相等，即D错误；女生，两个层次的频率之和为50%，所以女生的样本身高中位数为，层次的分界点，男生，两个层次的频率之和为35%，显然中位数落在层次内，所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B正确．6．A【解析】本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养．因为，所以是偶函数，当时，是增函数．又因为，所以可化为，解得．7．D【解析】本题考查三视图，考查直观想象与数学运算的核心素养．如图，这是所求多面体的直观图，它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成，所以体积．8．C【解析】本题考查三角函数的性质，考查数学运算与直观想象的核心素养．由题意，，因为为奇函数，所以，解得，又，所以当时，取得最小值2．9．B【解析】本题考查三棱锥中线面角的正弦值的计算，考查直观想象与数学建模的核心素养．设，的中点为，连接，（图略），易知是直线与平面所成的角，因为，所以．10．D【解析】本题考查排列组合的知识，考查数学抽象与数学建模的核心素养．先选出2名志愿者安排到社区，再把剩下的4名志愿者分成两组，分配到其他两个社区，则不同的安排方法共有种．11．C【解析】本题考查双曲线的性质，考查推理论证能力与数学运算的核心素养．如图，设，则．又，所以，所以．又，所以，由，得，则，而，则，化简得，所以．12．A【解析】本题考查应用导数解决函数问题，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．因为，不等式恒成立，即成立，即，进而转化为恒成立．令，则，当时，，所以在上单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立．因为，，所以，，所以对任意的恒成立，所以恒成立．设，可得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以当时，函数取得最大值，最大值为，此时，所以，解得，即实数的取值范围是．13．81【解析】本题考查等差数列的通项公式，考查数学运算的核心素养．因为，所以，又，所以公差，从而．14．1【解析】本题考查平面向量的垂直以及求模，考查数学运算的核心素养．因为，所以，，则．15．【解析】本题考查抛物线的概念与性质，考查逻辑推理的核心素养．过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，，又，所以，所以，所以．又，所以，所以，则，所以抛物线的方程为．16．【解析】本题考查直线与圆，考查直观想象与数学抽象的核心素养．因为，，所以康威圆的圆心在的平分线上，同理可知康威圆的圆心在的平分线上，即康威圆的圆心为的内心．因为，所以，所以的内切圆的半径，则康威圆的半径．17．解：（1）因为，所以．          2分展开得，整理得，即，          4分又，则，所以．          6分（2）由（1）知，解得，          8分因为，所以，由余弦定理得，10分即，解得，，          11分所以的周长为．          12分评分细则：【1】第一问，写出，得2分，写出，累计得4分，第一问全部正确解出，累计得6分．【2】第二问，用面积公式求出，累计得8分，最后求出正确答案，累计得12分．【3】其他情况根据评分标准按步骤给分．18．解：（1）学生甲恰好答对两题的概率．          4分（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，          5分所以，          6分，          7分由（1）知，          8分，          9分所以的分布列为0123          10分．          12分评分细则：【1】第一问，算出，得本步骤的4分．【2】第二问，写出随机变量的可能取值得1分，每算出一个概率得1分，正确写出期望累计得12分．19．（1）证明：取的中点，连接，，．因为，，，所以，所以，．          2分又，所以平面，从而．          3分因为，，所以平面．          5分（2）解：因为平面，所以，，又，所以．因为，所以．          6分以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．          7分则，，，因为，所以，．          8分设平面的一个法向量为，由，得，令，则，，所以．          10分因为，，所以平面，所以平面的一个法向量为，   11分所以，，即二面角的正弦值为．         12分评分细则：【1】第一问，证出，，得2分，证出，累计得3分，第一问全部证完累计得5分．【2】第二问，建立空间直角坐标系累计得7分，写出相关点和相关向量的坐标，累计得8分，计算出平面的法向量累计得10分，写出平面的一个法向量累计得11分，直至正确求出二面角的正弦值累计得12分．【3】若用传统做法，作出二面角的平面角得1分，简单证明得2分，整个题完全正确得满分．20．解：（1）由右顶点是得，又离心率，所以，          2分所以，所以椭圆的标准方程为．          4分（2）设，，显然直线的斜率存在．设直线的方程为，联立方程组，消去得，由，得，所以，．          6分因为点，所以直线的方程为．          7分又，          8分所以直线的方程可化为，       10分即，          11分所以直线恒过点．          12分评分细则：（方法二）（1）同上（1）．          4分（2）设，，直线的方程为，联立方程组，消去得，由，得或，所以，．          6分因为点，则直线的方程为．          7分又，          8分所以直线的方程可化为，此时直线恒过点，          10分当直线的斜率为0时，直线的方程为，也过点．          11分综上，直线恒过点．          12分说明：第（2）问还可以先猜想出定点在轴上，写出直线的方程，令，求出定点坐标为后再加以证明，也可以得满分．21．（1）解：由题意知，的定义域为，          1分有两个根，等价于方程有两个根．设，即的图象与直线有两个交点．          2分因为，所以在上单调递增，在上单调递减，          3分，当时，，当时，，由图可知，的取值范围是．          5分（2）证明：由（1）知方程的两个根分别为，，则．令，，则，          6分设，，则，易知在上单调递增，在上单调递减，且，．          7分设，则．因为，所以在上单调递增，          9分所以，即，从而．          10分因为，所以，又在上单调递减，所以，即，          11分所以．          12分评分细则：【1】第一问，写出的定义域为，得1分，写出有两个零点的等价条件累计得2分，算出，并得出的单调区间累计得3分，求出参数的取值范围，累计得5分．【2】第二问，写出，累计得6分，写出，累计得7分，推出在上单调递增，累计得9分，推出，累计得10分，直到证出所要求证的不等式，累计得12分．【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．22．解：（1）曲线的普通方程为．          2分由．得，即，因为，，所以直线的直角坐标方程为．          4分（2）因为直线的斜率为，所以的倾斜角为，所以过点且与直线平行的直线的方程可设为（为参数）．          6分设点，对应的参数分别为，，将代入，可得，整理得，则，，．          8分所以．          10分评分细则：【1】第一问，圆的方程没有写成标准方程，不扣分，累计得2分，写出直线的方程，不管哪种形式，不扣分，累计得4分．【2】第二问，写出直线的参数方程，累计得6分，联立方程组并写出，，累计得8分，求出，累计得10分．23．证明：（1）由已知可得，          3分当且仅当时，等号成立．          4分又，，均为正数，所以．          5分（2）因为，当且仅当时，等号成立，          7分所以，整理得，          8分所以，当且仅当时，等号成立．          10分评分细则：（证法二）证明：（1）由柯西不等式得，          3分所以．          4分因为，，均为正数，所以（当且仅当时，等号成立）．      5分（2）          7分          8分，当且仅当时，等号成立．          10分