广东省2022年中考数学总复习讲练课件：培优突破练2 分类讨论的思想方法

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4．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB＝12，CD＝16，则AB和CD的距离为(　　)A．14B．2　C．14或2D．14或8
②当AB，CD在圆心O的同侧时，如图2，同理得EF＝OF－OE＝8－6＝2．综上所述，AB和CD的距离为14或2．故选C．
5．如图，在矩形纸片ABCD中，长AD＝8 cm，宽AB＝4 cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其他线段，当图中存在30°角时，AE的长为(　　)
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(　　)A．4B．5　C．6D．7
【解析】①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则△BCD是等腰三角形；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，则△ACE是等腰三角形；③以点C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，则△BCF是等腰三角形；
④以点C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点G，则△BCG是等腰三角形；⑤作AC的垂直平分线交AB于点H，则△ACH是等腰三角形；⑥作AB的垂直平分线交AC于点I，则△AIB是等腰三角形；⑦作BC的垂直平分线交AB于点J，则△BCJ是等腰三角形．共有7个等腰三角形，故选D．
则△ABP为等腰三角形，可分为三种情况：①当AB＝BP时，以B点为圆心，AB长为半径作圆，与抛物线交于C，M，N三点；②当AB＝AP时，以A点为圆心，AB长为半径作圆，与抛物线交于C，M两点；③当AP＝BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C，M两点．∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数为3．故选A．
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是______________．
(－3,0)或(－5,0)　
15．在矩形纸片ABCD中，AB＝9，BC＝6，在矩形边上有一点P，且DP＝3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF的长为____________．
16．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为___________．
②如图2，当DB′＝CD时，则DB′＝16(易知点F在BC上且不与点C，B重合)；③当CB′＝CD时，∵EB＝EB′，CB＝CB′，∴点E，C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．
17．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______________．
三、解答题(本大题共2小题，共22分)18．(10分)如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是37°时，求∠EFC的度数．
(1)证明：如图1，过点E分别作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q．∴∠EQF＝∠EPD＝∠QEP＝90°．由题意得∠DCA＝∠BCA＝45°，∴EQ＝EP．∵四边形DEFG为矩形，∴∠FED＝90°．∴∠QEF＋∠PEF＝∠PED＋∠PEF＝90°．∴∠QEF＝∠PED．
(2)解：①如图2，DE与AD的夹角为37°时，即∠ADE＝37°．∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝53°．∵∠EDC＋∠DEF＋∠EFC＋∠FCD＝360°，∴∠EFC＝360°－90°－90°－53°＝127°．
②如图3，令EF交DC于点H．当DE与DC的夹角为37°时，即∠EDC＝37°．∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EHD＝∠CHF，∴∠EDC＝∠EFC＝37°．综上，可得∠EFC＝37°或∠EFC＝127°．
19．(12分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3,0)，顶点C的坐标为(1,4)．
解：(1)∵抛物线的顶点C的坐标为(1,4)，∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋4．∵点B(3,0)在该抛物线上，∴0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1．∴抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3．
∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，∴点D坐标为(0,3)．∴可设直线BD解析式为y＝kx＋3，把点B坐标代入可得3k＋3＝0，解得k＝－1，∴直线BD的解析式为y＝－x＋3．
(3)存在．如图，过点Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于点H，设Q(x，－x2＋2x＋3)，则G(x，－x＋3)，∴QG＝|－x2＋2x＋3－(－x＋3)|＝|－x2＋3x|．易得△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°．∴∠HGQ＝∠BGE＝45°．