河南省郑州实验外国语中学2022-2023学年上学期九年级开学考试数学试卷（Word版含答案）

这是一份河南省郑州实验外国语中学2022-2023学年上学期九年级开学考试数学试卷（Word版含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州实验外国语中学九年级（上）开学
数学试卷（含答案与解析）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）在下列四个标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣＝2021 B．x （x+6）＝0 C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2
4．（3分）解分式方程﹣2＝，去分母得（　　）
A．1﹣2（x﹣1）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣1）＝3
C．1﹣2x﹣2＝﹣3 D．1﹣2x+2＝3
5．（3分）某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取成绩好且稳定的一名选手参赛，经测试，他们的成绩如表，综合分析应选（　　）
成绩
甲
乙
丙
丁
平均分（单位：米）
6.0
6.1
5.5
4.6
方差
0.8
0.2
0.3
0.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（　　）

A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10
C．AC⊥BD D．∠1＝∠2
7．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为（　　）

A．4 B．4.5 C．5.5 D．6
8．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为6，则▱ABCD的周长为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
10．（3分）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）因式分解：x3﹣9x＝　 　．
12．（3分）已知△ABC∽△A'B'C′，AD和A'D是它们的对应角平分线，若AD：A'D′＝4：3，△ABC的周长为16，则△A'B′C′的周长是 　 　．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，按如下步骤操作：①以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；②再分别以点B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于一点P；③连接AP并延长交BC于点E，连接EF．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为　 　．

14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 　 　．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 　 　．

三、解答题（本题7个大题，满分55分）
16．（6分）先化简，再求值，其中a＝．
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣7x+1＝0；
（2）2（2x﹣1）＝3（1﹣2x）．
18．（8分）2022年8月14日，青海玉树杂多县发生5.9级地震，为救助灾区，某校学生会向全校学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有 　 　人，扇形统计图中m＝　 　．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）本次调查获取的样本数据的众数是 　 　，中位数是 　 　．
（4）若该校有1800名学生，根据以上信息，估计全校本次活动捐款金额为10元的学生有多少人．
19．（8分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．
（1）求实数a的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
20．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为　 　时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为　 　时，四边形AMDN是菱形．

21．（8分）某商场购进甲、乙两种空调共40台，已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价多0.2万元；用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？
（2）若商场预计投入资金不多于11.5万元用于购买甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少14台，商场有哪几种购进方案？
22．（9分）△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：　 　．
②BC，CD，CF之间的数量关系为　 　；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知BC＝4，CD＝1，请直接写出GE的长．

2022-2023学年河南省郑州实验外国语中学九年级（上）开学
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）在下列四个标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式解集的四种情况，求出其公共解集即可．
【解答】解：根据大小小大中间找得出解集为﹣1＜x≤1，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
3．（3分）下列是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣＝2021 B．x （x+6）＝0 C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【解答】解：A．x2﹣＝2021是分式方程，故本选项不合题意；
B．x （x+6）＝0是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D．未知数是最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
4．（3分）解分式方程﹣2＝，去分母得（　　）
A．1﹣2（x﹣1）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣1）＝3
C．1﹣2x﹣2＝﹣3 D．1﹣2x+2＝3
【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母x﹣1得到结果，即可作出判断．
【解答】解：分式方程整理得：﹣2＝﹣，
去分母得：1﹣2（x﹣1）＝﹣3，
故选：A．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
5．（3分）某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取成绩好且稳定的一名选手参赛，经测试，他们的成绩如表，综合分析应选（　　）
成绩
甲
乙
丙
丁
平均分（单位：米）
6.0
6.1
5.5
4.6
方差
0.8
0.2
0.3
0.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】分别从平均成绩和方差两个方面判断．
【解答】解：从平均数看，甲和乙的平均成绩较好，
从方差看，乙和丁的成绩比较稳定，
则成绩好且稳定的是乙，
故选：B．
【点评】本题考查的是方差和平均数，掌握平均数的性质、方差的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（　　）

A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10
C．AC⊥BD D．∠1＝∠2
【分析】根据矩形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．
B、正确．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，
∴AB2+BC2＝62+82＝102，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形．
C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形，
D、正确，∵∠1＝∠2，
∴AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．
7．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为（　　）

A．4 B．4.5 C．5.5 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数值即可求出BD．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AC＝6，CE＝3，DF＝2，
∴，
∴BD＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟记平行线分线段成比例“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例“是解决问题的关键．
8．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
【分析】写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＞﹣3时，y＜0，
所以不等式kx+b＜0的解集是x＞﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为6，则▱ABCD的周长为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AF＝FC，那么由△ABF的周长为6可得AB+BC＝6，再根据平行四边形的性质可得AD＝BC，DC＝AB，进而可得答案．
【解答】解：∵对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，
∴AF＝CF，
∵△ABF的周长为6，
∴AB+BF+AF＝AB+BF+CF＝AB+BC＝6．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DC＝AB，
∴▱ABCD的周长为2（AB+BC）＝12．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，平行四边形对边相等．
10．（3分）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出BH，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：延长AM交BC于H点，

∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，BG＝，BC＝3，
∴BF＝BG＝2，AB＝AD＝CD＝BC＝3，
∵点F，B，C在同一直线上，
∴AD∥CF，
∴∠DAM＝∠FHM，∠ADM＝∠HFM，
∵M是DF中点，
∴DM＝FM，
在△ADM和△HFM中，
，
∴△ADM≌△HFM（AAS），
∴AD＝FH＝3，AM＝HM＝AH，
∴BH＝FH﹣BF＝1，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝，
∴AM＝AH＝，
故选：A．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）因式分解：x3﹣9x＝　x（x+3）（x﹣3）　．
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【解答】解：x3﹣9x，
＝x（x2﹣9），
＝x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．
12．（3分）已知△ABC∽△A'B'C′，AD和A'D是它们的对应角平分线，若AD：A'D′＝4：3，△ABC的周长为16，则△A'B′C′的周长是 　12　．
【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C′，AD和A'D是它们的对应角平分线，AD：A'D′＝4：3，
∴△ABC与△A'B'C′的相似比为4：3，
∴，
∵△ABC的周长为16，
∴，
解得：L△A'B'C'＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，按如下步骤操作：①以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；②再分别以点B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于一点P；③连接AP并延长交BC于点E，连接EF．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为　8　．

【分析】通过证明四边形ABEF是菱形，可得AO＝EO，BO＝FO＝3，AE⊥BF，由勾股定理AO＝4，即可求AE的长．
【解答】解：由尺规作图的过程可知，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE＝∠BAE，
∴AF＝AB，EF＝EB，
∵AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BA＝BE，
∴BA＝BE＝AF＝FE，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AO＝EO，BO＝FO＝3，AE⊥BF
∴AO＝＝＝4
∴AE＝2AO＝8
故答案为8
【点评】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，证明四边形ABEF是菱形是解题的关键．
14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 　1　．

【分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，PC的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝，
∴AP＝AD﹣PD＝，
∴PE＝＝＝2，
∵点G，H分别是EC，CP的中点，
∴GH＝EP＝1；
方法二：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF＝＝，
∵点G，H分别是EC，PC的中点，
∴CG＝FH＝，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠FCO＝∠CDO，
∵∠DCF＝∠COF＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴＝，
∴CF2＝OF•DF，
∴OF＝＝＝，
∴OH＝，OD＝，
∵∠COF＝∠COD＝90°，
∴△COF∽△DCF，
∴，
∴OC2＝OF•OD，
∴OC＝＝，
∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，
∴HG＝＝＝1，
故答案为：1．

【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 　或　．

【分析】分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
【解答】解：如图：

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，
∵点D为AB的中点，
∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，
∵∠ADQ＝90°，
∴点C、D、Q在同一条直线上，
由旋转得：
CQ＝CP＝CQ′＝1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，
∴AQ＝＝＝，
当点Q在DC的延长线上，
在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，
∴AQ′＝＝＝，
综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，
故答案为：或．

【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
三、解答题（本题7个大题，满分55分）
16．（6分）先化简，再求值，其中a＝．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝，
当a＝时，原式＝﹣2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣7x+1＝0；
（2）2（2x﹣1）＝3（1﹣2x）．
【分析】（1）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（2）先移项合并得到﹣5（1﹣2x）＝0，然后解方程即可．
【解答】解：（1）Δ＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（2）2（2x﹣1）﹣3（1﹣2x）＝0，
﹣5（1﹣2x）＝0，
解得x＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解一元一次方程．
18．（8分）2022年8月14日，青海玉树杂多县发生5.9级地震，为救助灾区，某校学生会向全校学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有 　50　人，扇形统计图中m＝　32　．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）本次调查获取的样本数据的众数是 　15元　，中位数是 　10元　．
（4）若该校有1800名学生，根据以上信息，估计全校本次活动捐款金额为10元的学生有多少人．
【分析】（1）从两个统计图中可以得到捐款5元的4人占调查人数的8%，即可求出调查人数，捐款10元的百分比就是16人占50人的百分比；
（2）计算出捐款15元的人数，即可补全统计图；
（3）根据众数、中位数的意义，可以得出中位数、众数；
（4）1800人学生中捐款在10元的人数占32%．
【解答】解：（1）4÷8%＝50人，16÷50＝32%，
故答案为：50，32；
（2）50×24%＝12人，补全条形统计图如图所示：
（3）捐款10元有16人，出现次数最多，因此众数为10元，从大到小排列后处在第25、26位的数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15元，10元；
（4）1800×32%＝576人，
答：该校有1800名学生中捐款金额为10元的学生有576人．

【点评】此题主要考查条形统计图、扇形统计图的制作方法和特点、众数、中位数的意义，以及样本估计总体的统计方法，理解统计图中数量之间的关系是解决问题的关键．
19．（8分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．
（1）求实数a的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可；
（2）求出根的判别式Δ＝（a+1）2+4＞0，据此可得答案；
【解答】（1）解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．
∴1+a+3+a+1＝0，
解得a＝﹣2.5；
（2）证明：∵Δ＝（a+3）2﹣4（a+1）
＝a2+6a+9﹣4a﹣4
＝a2+2a+5
＝（a+1）2+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
20．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为　1　时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为　2　时，四边形AMDN是菱形．

【分析】（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；
（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA＝90°，所以AM＝AD＝1时即可；
②当平行四边形AMND的邻边AM＝DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，
又∵点E是AD边的中点，
∴DE＝AE，
∴△NDE≌△MAE，
∴ND＝MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝2．
∵AM＝AD＝1，
∴∠ADM＝30°
∵∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝90°，
∴平行四边形AMDN是矩形；
故答案为：1；
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AM＝2，
∴AM＝AD＝2，
∴△AMD是等边三角形，
∴AM＝DM，
∴平行四边形AMDN是菱形，
故答案为：2．

【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．
21．（8分）某商场购进甲、乙两种空调共40台，已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价多0.2万元；用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？
（2）若商场预计投入资金不多于11.5万元用于购买甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少14台，商场有哪几种购进方案？
【分析】（1）设甲空调每台的进价为x万元，则乙空调每台的进价为（x﹣0.2）万元，根据“用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍”列出方程，解之可得；
（2）设购进甲种空调m台，则购进乙种空调（40﹣m）台，由“投入资金不多于11.5万元”列出关于m的不等式，解之求得m的取值范围，继而得到整数m的可能取值，从而可得所有方案．
【解答】解：（1）设甲空调每台的进价为x万元，则乙空调每台的进价为（x﹣0.2）万元，
根据题意，得：＝4×，
解得：x＝0.4，
经检验：x＝0.4是原分式方程的解，
答：甲空调每台的进价为0.4万元，则乙空调每台的进价为0.2万元；
（2）设购进甲种空调m台，则购进乙种空调（40﹣m）台，
根据题意，得：0.4m+0.2（40﹣m）≤11.5，
解得：m≤17.5，
又m≥14，
∴14≤m≤17.5，
则整数m的值可以是14，15，16，17，
所以商场共有四种购进方案：
①购进甲种空调14台，乙种空调26台；
②购进甲种空调15台，乙种空调25台；
③购进甲种空调16台，乙种空调24台；
④购进甲种空调17台，乙种空调23台．
【点评】本题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
22．（9分）△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：　BC⊥CF　．
②BC，CD，CF之间的数量关系为　BC＝CF+CD　；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知BC＝4，CD＝1，请直接写出GE的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示，由△ADH≌△DEM（AAS），推出EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，推出CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，由△BCG是等腰直角三角形，推出CG＝BC＝4，推出GN＝CG﹣CN＝1，再由勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）①∵正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠B＝∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，即BC⊥CF；
故答案为：BC⊥CF；
②∵△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CF+CD；
故答案为：BC＝CF+CD；

（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
∴CF⊥BC．
∵CD＝DB+BC，DB＝CF，
∴CD＝CF+BC．

（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：

∵∠BAC＝90°，BC＝4，
∴AB＝AC＝2，
∵AH⊥BC，
AH＝BC＝BH＝CH＝2，
∴DH＝CH+CD＝3，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE＝CM，EM＝CN，
∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，
∴∠ADH+∠EDM＝∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠ADH＝∠DEM，
∴△ADH≌△DEM（AAS），
∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，
∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGC＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BC＝4，
∴GN＝1，
在Rt△EGN中，EG＝＝．
【点评】本题考查了四边形综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．