广东省2022年中考数学总复习讲练课件：培优突破练6 开放探索性问题

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1．(12分)我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x－2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为|x＋1|＝|x－(－1)|，所以|x＋1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
(1)发现问题：代数式|x＋1|＋|x－2|的最小值是多少？(2)探究问题：如图，点A，B，P分别表示数－1,2，x，AB＝3．∵|x＋1|＋|x－2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3．∴|x＋1|＋|x－2|的最小值是3．
(3)解决问题：①|x－4|＋|x＋2|的最小值是________；②利用上述思想方法解不等式：|x＋3|＋|x－1|＞4； ③当a为何值时，代数式|x＋a|＋|x－3|的最小值是2．
解：①|x－4|＋|x＋2|的最小值是6．故答案为6．②如图，满足|x＋3|＋|x－1|＞4的x范围为x＜－3或x＞1． ③由题意得|－a－3|＝2，∴－a－3＝2或－a－3＝－2，解得a＝－5或a＝－1，即当a为－1或－5时，代数式|x＋a|＋|x－3|的最小值是2．
2．(12分)综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD＞90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
操作发现(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；
实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D′，画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
(1)解：如图1，由题意可得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4，故AC′∥CE，AC∥C′E，则四边形ACEC′是平行四边形，又AC＝AC′，故四边形ACEC′的形状是菱形．故答案为菱形．
(3)如图1，线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x＝2时，y＝1，即－4＋8＋n＝1，解得n＝－3．
如图2，线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有2个公共点∵抛物线y＝x2－4x－n与y轴交点纵坐标为1，∴－n＝1，解得n＝－1，∴当－3＜n≤－1时，线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3，线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝－x2＋4x＋n经过点(0,1)，∴n＝1．
(2)⊙T的圆心为(t,0)，半径为3，直线y＝x＋2与x，y轴分别交于E，F两点，P为⊙T上一点，若线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．
②如图，点D为点O关于线段AB的折转点，则在线段AB上存在点C，使得∠ODC＝90°，即点D在以OC为直径的圆上(不含O，C点)，因此，当点C在AB上运动时，所有可能的D点组成的图形为：以(1,0)为圆心，半径为1的圆，和以(2,0)为圆心，半径为2的圆及其之间的部分(不含x轴上的点)．直线y＝－x与内圆交于点E，与外圆交于点F，线段EF即为直线上D点可能的位置，
过点E作EH⊥x轴于点H，连接BE，则∠OEB＝90°，因为直线y＝－x，∠AOE＝45°，因此△OEB为等腰直角三角形，OE＝BE．由三线合一，知OH＝HB，H为(1,0)，即E点横坐标为1，同理可得，F点横坐标为2，∴点D的横坐标取值范围是1≤xD≤2．
(2)根据题意，记线段EF上的点是Q，当⊙T上存在一点C，使∠PQC＝90°，则线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”．∵“折转三角形”是等腰直角三角形，∴Q点一定在线段PC的垂直平分线上，∵P，C都是圆上的点，线段PC是⊙T的弦，∴圆心T也在线段PC的垂直平分线上，∴点T和点Q是共线的，且它们之间的距离是固定的．