高中数学北师大版 (2019)必修 第二册7.1 正切函数的定义精品练习题

1.7正切函数北师大版（   2019）高中数学必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列说法中正确的有个(    )
   
   角是第一象限角．
   若，，则．
   角终边上一点的坐标为，则．
   角的集合，集合中含有两类终边不相同的角．

A.  B.  C.  D.

2. 设是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. ，，，，，大小关系(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，将函数图象向右平移个单位得到的图象，若点为函数图象的一个对称中心，为图象的一个对称中心，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知命题函数在定义域上为减函数，命题在中，若，则，则下列命题为真命题的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 给出下面四个结论，其中正确的是(    )

A. 函数是奇函数，且的最小正周期为
B. 函数，的最大值为，当且仅当，时，为偶函数
C. 函数的单调递增区间是，
D. 函数，的单调递减区间是

10. 下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是  (    )

A.  B.
C.  D.

11. 下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知函数，则(    )

A. 的最小正周期时
B. 的值域为
C. 当且仅当时，
D. 的单调递增区间为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 给出下列四个命题：

函数的图象关于点对称

函数是最小正周期为的周期函数

设是第二象限角，则，且

函数的最小值为．

其中正确的命题是          填序号．

14. 已知函数的图象与函数的图象交于点，点到轴的距离为，则          ．
15. 函数的单调递减区间为          ．
16. 已知函数的图象与轴的交点为，且在上没有零点，则的取值范围为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知函数的图象与轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点．

求的解析式；

求满足的取值范围．

18. 本小题分

已知函数．

    求的最小正周期和单调递减区间；

    试比较与的大小．

19. 本小题分

在同一平面直角坐标系中，画出函数和，的图象，依据图象回答以下问题：
写出这两个函数图象的交点坐标
写出使成立的的取值范围
写出使成立的的取值范围
写出使成立的的取值范围
写出使这两个函数有相同的单调性的区间．

20. 本小题分

在中，内角，，所对的边分别为，，，且B.求：

的取值范围．

21. 本小题分
    已知下凸函数在定义域内满足若函数在上是下凸函数，那么在锐角中，求的最小值．
22. 本小题分

在中，设角，，所对的边分别为，，，且．

求角的大小；

若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查终边相同的角，轴线角，象限角及任意角的三角函数的综合应用，属于中档题．
根据终边相同的角，轴线角，象限角及任意角的三角函数的定义，逐项判断即可得出答案．

【解答】

解：因为角终边经过点，，所以，，解得，所以，故正确；
时，为第三象限角，故错误；
因为 ，，所以，故错误；
由三角函数的定义，，，，故错误；
的角可以分为类，即终边与角，角，角，角的终边相同的角，故错误．
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题．
由条件利用任意角的三角函数的定义，求得的值，可得的值．

【解答】

解：由题意可得，，
求得，
则，
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了比较大小、任意角的三角函数以及诱导公式，熟练掌握任意角的三角函数以及诱导公式是解题的关键．
首先根据任意角的三角函数以及诱导公式对、、进行化简，然后比较大小即可．

【解答】

解：根据题意可得：，
，
，
又，
，
故选D．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用诱导公式化简三角函数式，难度一般．
利用诱导公式化简即可得结果．

【解答】

解：
．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了诱导公式，三角函数图像的运用，属于基础题．
根据，，再根据，结合三角函数图象比较大小即可．

【解答】

解：由题意，易知，，
，
结合三角函数图象可得：，即，
故选C．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值．
根据诱导公式和特殊角的三角函数值化简求值再比较大小即可．

【解答】

解：，
，
，
．
故选A．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的图象变换规律，正切函数的图象的对称性，属于中档题．
先对函数进行变形，再根据图象的变换规律即可得解．

【解答】

解：由题意，对称中心为，
又因为将函数图象向右平移个单位得到的图象，
所以，则对称中心为，
则，
，，，
当，有最小值，
即 ．
故选A ．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查复合命题的真假判定，涉及三角函数的单调性，属基础题，
注意正切型函数在定义域的每一个连续区间上单调，但在整个定义域内不单调，命题可通过举反例进行否定，然后根据复合命题的真假法则进行判定，注意：或命题中至少有一个正确，才是正确的，且命题中只要有假，即是假命题．
【解答】
解：命题是错误的，函数在定义域的每一个连续区间上单调递减，但在整个定义域内不单调，比如和时函数值相等；
命题是错误的，事实上，但是，
为假命题，为真命题，为假命题，为假命题．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的性质，属于基础题．
利用诱导公式、正切函数的性质判断；利用正弦型函数的性质判断；利用正切函数的性质判断；化简函数解析式，然后结合正弦函数的单调性可判断．

【解答】

解：对于、是奇函数，且的最小正周期为，故A正确；
对于、函数， 的最大值为，当且仅当， 时为偶函数，故B正确；
对于、函数，没有单调增区间，故C错误；
对于、函数，
令，则，
若，则的单调减区间是，故D正确，
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的周期性与单调性的理解，属于基础题．
根据三角函数的图象，利用函数图象的变换得到对应函数的图像，结合图象与三角函数的性质进行判断即可．

【解答】

解：项，当 时， ，由于 在 时单调递减，且 ，
故 在 上单调递增． 的周期为， 的周期为 ，故A符合题意；
项， 以 为周期，在 上单调递减，故B不符合题意；
项， 的周期为，故C不符合题意；
项， 以 为周期 ，在区间单调递增，故D符合题意．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了比较函数值大小问题，诱导公式，正余弦函数的单调性，正切函数的单调性，属于中档题．
利用正弦函数的单调性可判断选项的正误；利用正切函数的单调性可判断选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断选项的正误．

【解答】

解：对于选项，因为正弦函数在上单调递增，
且，则，故A正确；
对于选项，因为余弦函数在上单调递减，
，
，
，则，即，故B错误；
对于选项，当时，正切函数单调递增，
因为，所以，，故C错误；
对于选项，因为正弦函数在上单调递增，
因为，所以，故D正确．
故选AD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查分段函数的性质：值域，单调性，周期，属于中档题．
根据三角函数的性质可得当时，；当时，，结合图象逐一判断即可．

【解答】

解：当，即时，；
当，即时，．
结合的图象可知的最小正周期是，故A正确；
的值域为，故B正确；
当时，，故C错误；
函数的单调递增区间是和，故D错误．

故本题选AB．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题以命题的真假判断为载体，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，及最值，考查三角函数的化简和求值，属于中档题．
结合函数的奇偶性、周期性和对称性，及最值，对各个选项逐一验证即可．

【解答】

解：点，是函数图象的对称中心，所以正确
不是周期函数，所以错误
因为为第二象限角，所以，
当时，，所以错误
，
所以当时，，所以正确．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象与性质，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
由和求得，则．

【解答】

解：由题意，得，
则，
又，则，
解得，
故，
故答案为  ．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正切型复合函数的单调性，考查计算能力，属基础题．
由根式内部的代数式大于等于，求解三角不等式得定义域，再考虑单调性即可得到答案．

【解答】

解：由得，
，
又正切函数在上递增，
故函数在定义域 上递减，
所以函数的单调递减区间为．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，属于中等题．
根据余弦型函数的图象与性质，列出不等式组求得的取值范围．

【解答】

解：因为，且，所以，
所以
因为，所以
因为在上没有零点，所以
，解得，
由，得．
又因为，
当时，不等式组无解，
当时，，
当时，．
则的取值范围为．
故答案为．

17.【答案】解：由题意，的周期，
，
则，
，，即，，
，，
又的图象过点，，得，

由得，即，
，即，，
解得，，
即满足的取值范围为． 

【解析】本题考查正切型函数的图象与性质，属于中档题．
根据正切型函数与轴交点可知周期，求得；再根据正切型函数所经过的点的坐标求出和，即可得到解析式；
根据正切型函数的性质即可解不等式．
 

18.【答案】解：，

    函数的最小正周期为．

    令，

    得，

    函数的单调增区间为，

    函数的单调减区间为，

    ，

    ．

    ，且在上单调递增，

    ，即．

【解析】本题考查正切函数的图象与性质的应用，属于中档题目．
借助正切函数的图象与性质求出函数的最小正周期及单调性求解即可；
化简与利用函数的单调性求解即可．
 

19.【答案】解：两函数的图象如下图：

由图象可知：
这两个函数图象交点的坐标为，
使成立的的取值范围为，
使成立的的取值范围为，
使成立的的取值范围为，
使这两个函数具有相同的单调性的区间：，． 

【解析】本题考查正弦函数与正切函数的图象，属于基础题．
作出函数和，的图象，根据图象即可得到相应的结论．
 

20.【答案】解因为，所以，
因为，，，，，，
因为，，．
由正弦定理，
．
，
因为，所以，所以，
所以，所以的取值范围是． 

【解析】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正切函数的性质，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由，由正弦定理得到，由二倍角公式可求得角．
由正弦定理，，再由正切函数的性质得到取值范围．
 

21.【答案】解：因为在上是下凸函数，
则 ，
即，当且仅当，
即时，取等号，
所以的最小值为． 

【解析】本题考查新定义及正切函数的性质．
根据题意利用新定义可得 ，进而即可求得结果．
 

22.【答案】解：因为，

 由正弦定理知，，即．

 则由余弦定理知，，

在中，，所以．

由正弦定理知，，得．

故．

由为锐角三角形，得，所以．

 从而，所以．

所以的面积的取值范围是．

【解析】本题考查了正余弦定理的应用，三角恒等变换，以及三角函数性质，属于中档题．
利用正弦定理将题干中的式子化简为，结合余弦定理即可求解；
利用正弦定理以及三角形面积公式可得，根据的范围即可求解．