数学北师大版 (2019)6.1 余弦定理与正弦定理优秀巩固练习

6.1基本立体图形北师大版（   2019）高中数学必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 正四面体的棱长为，为棱的中点，过作其外接球的截面，则截面面积的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，将正四棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影四棱锥”下列关于该“倒影四棱锥”的说法中，所有正确结论的编号是(    )
    

平面；平面；若在同一球面上，则也在该球面上；若该“倒影四棱锥”存在外接球，则

A.  B.  C.  D.

3. 棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，则图中三角形正四面体的截面的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 一个空心球玩具里面设计一个棱长为的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，园林建筑以某校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为 (    )

A.  B.  C.  D.

6. 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术即“积层造型法”过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等已知利用打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上，圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为取，精确到

A.  B.  C.  D.

7. 已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列结论正确的是(    )

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知正方体的棱长为，给出下列四个命题，其中正确命题的选项为(    )

A. 对角线被平面和平面三等分
B. 正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表面积之比为
C. 以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是
D. 正方体与以为球心，为半径的球的公共部分的体积是

10. 在正四棱柱中，，，则下列说法正确的是(    )

A. 以为球心，为半径的球与侧面的交线长为
B. 以为球心，为半径的球与侧面的交线长为
C. 把正四棱柱分割为体积相等的两部分的平面有无数个
D. 存在平面，使得截四棱柱所得截面为七边形

11. 已知一圆锥底面圆的直径为，高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在圆锥内可以任意转动，则的值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下列命题正确的是(    )

A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B. 棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体
C. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
D. 球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知一圆锥纸盒母线长为，其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为的正方体，若正方体可在纸盒内任意转动，则的最大值为          ．
14. 学生小雨欲制作一个有盖的圆柱形容器，满足以下三个条件：可将八个半径为的乒乓球分两层放置在里面；每个乒乓球都和其相邻的四个球相切；每个乒乓球与该容器的底面或上盖及侧面都相切，则该容器的高为          ．
15. 如图，正四面体的棱长为，点是该正四面体内切球球面上的动点，点是上的动点，则的取值范围为          ．

16. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥内接正方体的棱长为          

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

在如图所示的空间几何体中，平面平面，与均是等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．

求证：平面；

求多面体的体积．

18. 本小题分
    已知圆锥的底面半径为，高为，正方体内接于圆锥，求这个正方体的棱长．
19. 本小题分
    正三棱锥的高为，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，求：
    棱锥的表面积；
    内切球的半径．
20. 本小题分

求正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱称为正棱柱的内切圆柱，以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱称为正棱柱的外接圆柱．

21. 本小题分

已知正三棱锥的高为，底面边长为，其内有一个球，球心到该三棱锥的四个面的距离都相等。求

棱锥的表面积

球的半径最大值．

22. 本小题分

 我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”
利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；

下图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥如下图，从而求得该帐篷的体积为

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．
根据题意，将四面体放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径，当球心到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．
【解答】
解：将四面体放置于正方体中，如图所示

可得正方体的外接球就是四面体的外接球，
正四面体的棱长为，
正方体的棱长为，
可得外接球半径满足，，
为棱的中点，过作其外接球的截面，当球心到截面的距离最大时，截面圆的面积最小，
此时球心到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，
得到截面圆的面积最小值为．
故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查几何体的结构特征以及多面体外接球的问题，属于中档题．
根据几何体以及球的几何特征逐项判断即可求解．
【解答】
解：由“倒影四棱锥”的几何特征可知四边形为菱形，所以，平面，平面，
所以平面，正确；
由“倒影四棱锥”的几何特征可知平面，正确；
当，，，，在同一球面上时，若正方形的外接圆不是球的最大圆，则点不在该球面上，错误；
若该“倒影四棱锥”存在外接球，则其外接球的球心为正方形的中心，
设外接球半径为，则，，则，正确；
故选D．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正四面体与其外接球的关系、截面面积的求法，属于中档题．
由题意可得球的内接正四面体，画出图形是解题的关键，的面积即为所求截面的面积可求得，又，由三角形的面积公式即可求解．

【解答】

解：由题意可得球的内接正四面体如图所示，
的面积即为所求截面的面积．
由图可知，
又，所以的面积为，
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查截面圆的面积，简单组合体及其结构特征，考查计算能力，确定截面圆的半径是关键，属于中档题．
棱长为的内接正四面体的高为，外接球的半径为，求出球心到截面的距离，可得截面圆的半径，即可求出截面圆的面积．

【解答】

 解：棱长为的内接底面外接圆半径为，
正四面体的高为，
设外接球半径为，则，
解得，
过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，
球心到截面的距离，
截面圆的半径为，
截面圆的面积是．
故选A．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正四棱锥的侧面积以及内切球的问题，属于中档题．
设正四棱锥的底面边长为，侧面的等腰三角形的高为，内切球的半径为，建立它们之间的比值关系即可求解．

【解答】

解：由于正四棱锥，底面是正方形，侧面为个全等的等腰三角形，
设正四棱锥的底面边长为，则底面积为，所以该正四棱锥的侧面积为，
设该正四棱锥侧面的等腰三角形的高为，则有，则，
设内切球的半径为，如图，

与相似，有，所以，
由于，化简得，
则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为
故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆锥和正方体体积的计算问题，属于中档题．
作出几何体的轴截面，求出正方体的棱长，进而求出模型的体积．
【解答】
解：如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为，所以半径为．

因为母线与底面所成角的正切值为，所以圆锥的高为．

设正方体的棱长为，则，解得，

所以该模型的体积为．

所以制作该模型所需原料的质量为．
故选C．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了棱锥的外接球的体积，涉及二面角知识，属于中档题．
先作两个三角形所在平面的垂线得到外接球的球心，结合二面角及三角形全等得到，进而求出外接球的半径即可解答．
【解答】
解：设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过这两点分别作平面、平面
的垂线，交于点，则就是外接球的球心取中点，连接，，，，

因为，，所以，
因为和是正三角形，所以，
由得，所以由，
即球半径为，所以球体积为．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了简单几何体的结构特征的应用，结合柱体、椎体和台体的结构特征，考查了空间想象能力，属于中档题．
通过简单几何体和直观图说明和B错误，根据正六棱锥的过中心和顶点的截面知C错误，由圆锥的母线进行判断知D正确． 

【解答】

解：、如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；
B、如图所示，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；
C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由过中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；
D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．
故选D．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查与正方体有关的组合体的结构特征及表面积，体积的计算，属于中档题．
对各选项逐一分析，即可得到答案．

【解答】

解：对于，假设对角线与平面相交于点，
可得平面，由，可得 ，
解得，因此对角线被平面和平面三等分，正确；
对于，易得正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径分别为，，，因此表面积之比为，正确；
对于，以，，，为顶点的三棱锥的体积，不正确；
对于，正方体与以为球心，为半径的球的公共部分的体积，正确．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查四棱柱与淾的关系及截面问题，是中档题，作出图形，由对称性可得答案．
【解答】
解：如图，设球交棱，于点，，
连接，，，则球与侧面的交线为，
由，得，，
故，所以，
侧面与侧面相对球心有对称性，
所以交线长也为，故A项正确，项错误：
过上，下底面中心的连线的所有截面均可平均分割四棱柱，
这样的截面有无数个，故 C项正确
四棱柱共有六个面，故不可能截出七边形，故 D项错误．
故选AC项．
  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆锥的切接球问题，属于一般题．
当最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球，求出此时球半径，求出圆锥的外接球时的最大值，结合选项即可判断．
【解答】
解：根据题意可知，当最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球．
设圆锥内切球的圆心为，半径为，圆锥的底面圆心为，半径为，顶点为，作出轴截面，连接，，
如图所示．

因为，，所以，
所以为等边三角形，且为的中心，
则．
结合正方体的外接球问题，易知棱长为的正四面体的外接球半径为，
故，解得．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查简单多面体棱柱、棱锥、棱台及球的结构特征．
根据棱柱、棱锥、棱台及球的结构特征逐一进行判断，可得答案．
【解答】
解：对于，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但是不一定棱柱，如图
故A错误；
对于，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何
体是棱锥，正确
对于，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面
与底面平行，错误
对于，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面，正确：
故选：．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查简单组合体的结构特征，属于基础题．
由题意得当取最大值时，该正方体的各个顶点都位于该圆锥纸盒的内切球上，求出内切球半径，即可解得的最大值．

【解答】

解：因为正方体可在纸盒内任意转动，
所以当取最大值时，该正方体的各个顶点都位于该圆锥纸盒的内切球上，
因为圆锥纸盒的母线长为，其轴截面为正三角形，
则内切球半径，
此时，即，解得，
所以的最大值为．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查简单组合体的结构特征，考查空间想象能力与运算能力，属于中档题．
由已知，上下层四个球的球心、、、和、、、分别是上下两个边长为
的正方形的顶点，同时，点在下底面的射影必是劣弧的中点，然后利用边角关系进行求解．

【解答】

解：如图，
由已知，上下层四个球的球心、、、和、、、分别是上下两个边长为
的正方形的顶点，且以它们的外接球和为上下底面构成圆柱，同时，点在下底面的射影必是劣弧的中点，在中，
设的中点为，
则，
又，，
所以，
所以该容器的高为．



 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查四面体内切球，考查空间中的距离问题，属于中档题．
由正四面体内切球球心的位置特征求内切球半径、，及到的最短距离，进而可得的取值范围．

【解答】

解：由正四面体棱长为，则正四面体的体高为，

若其内切球球心为，半径为，则，

又，可得，则，

所以到的最短距离为．

综上，的取值范围为，即

故答案为

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查弧长公式及圆锥的几何特征，属中档题．
设此圆锥的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理得，设正方体的棱长为，则有解方程即可．

【解答】

解：设此圆锥的底面半径为，高为，母线为，

圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，
，得，
解之得，
因此，此圆锥的高．
设正方体的棱长为，则有，代入数据解得．
故答案为．

17.【答案】证明：如图所示：

取中点，  连接，  ．
由题意，为的平分线，且，．
设点是点在平面上的射影，
由已知得，点在上，连接，则平面．
平面平面，平面平面，平面，，
平面，同理可得平面，
又平面， ．
和平面所成的角为，即， ，
四边形为平行四边形，，  平面．
解：，
，
又面，  ，
，
，
． 

【解析】本题考查空间几何体的结构特征，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定与性质定理，以及空间几何体体积的求法，属于拔高题．
取中点，连接、，等边三角形中，，结合面面垂直的性质，得平面，平面再过作平面，利用，和平面所成的角为，可以证出四边形是平行四边形，得，结合线面垂直的性质定理与判定定理，可证平面；
利用割补法，所求几何体的体积：，所以分别求出三棱锥和三棱锥的体积，即可解决问题．
 

18.【答案】解：由题意，作出圆锥的轴截面，如图所示：

设正方体的棱长为，
则，，，
可知：，，
可得∽，
，即，
，
所以正方体的棱长为．

【解析】本题主要考查圆锥与棱柱的结构特征，属于中档题．
由题意，可得∽，求出，即可得解．
 

19.【答案】解：如图，过点作平面于，
连结并延长交于，连结，是正三角形，

是边上的高和中线，为的中心．
，
，，．
．
；
设球的半径为，以球心为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
，
，
则由等体积可得． 

【解析】本题考查棱锥的全面积和体积的求法，考查等积法求球的半径，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．
过点作平面于，连结并延长交于，连结，是正三角形，是边上的高和中线，为的中心．由此能求出棱锥的全面积；
求出棱锥的体积，设球的半径为，以球心为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此能求出球的半径．
 

20.【答案】解：设正三棱柱的底面边长为，高为，
如图是垂直于高的截面图，

再设内切圆柱的底面半径为，外接圆柱的底面半径为，
由正弦定理可得：，则，外接圆柱的体积为；
由等面积法可得：，则，内切圆柱的体积为．
正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比为． 

【解析】本题考查正三棱柱的内切圆柱与外接圆柱体积的求法，训练了正弦定理及等面积法求圆的半径，是中档题．
设正三棱柱的底面边长为，高为，作出垂直于高的截面图，把正三棱柱底面三角形的内切圆与外接圆的半径分别用底面边长表示，求出正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积，则答案可求．
 

21.【答案】解：底面正三角形中心到一边的距离为，

则正棱锥侧面的斜高为．

．

．

如图所示，设球的半径为，由题可得，．

【解析】本题考查棱锥的全面积和体积的求法，考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
过点作平面于，连接并延长交于，连结，是正三角形，是边上的高和中线，为的中心．由此能求出棱锥的全面积．
设球的半径为，列式计算即可．
 

22.【答案】解：由图可知，图几何体的为半径为的半球，
图几何体为底面半径和高都为的圆柱中挖掉了一个圆锥，
与图截面面积相等的图形是圆环如阴影部分，

证明如下
在图中，设截面圆的圆心为，易得截面圆的面积为，
在图中，截面截圆锥得到的小圆的半径为，所以，圆环的面积为，
所以，截得的截面的面积相等．
由“祖暅原理”可知，帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
底面正方形对角线为，正方形边长为，
所以，． 

【解析】本题考查了几何体的面积与体积计算，属于中档题．
先求出截面圆的面积，再球出圆环的面积，即可证明二者面积相等；
由“祖暅原理”，通过，求解即可．