重庆市大足区邮亭中学2021-2022学年八年级上学期第二次课堂作业数学试卷 （含答案）

这是一份重庆市大足区邮亭中学2021-2022学年八年级上学期第二次课堂作业数学试卷 （含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市大足区邮亭中学2021-2022学年八年级上学期第二次课堂作业数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共有12道选择题，每小题只有一个选项是最符合题意的，请将此选项选出并涂在答题卡相应位置。每小题4分，共48分）
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，4cm B．5cm，6cm，12cm
C．4cm，6cm，8cm D．2cm，3cm，5cm
2．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．x2•x2＝x4 B．a3+a2＝a5 C．（2b）2＝2b 2 D．a7÷a4＝a4
4．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（2，﹣4） D．（2，4）
5．若单项式﹣8xayb和3xy的积为﹣24x5y6，则ab的值为（　　）
A．30 B．20 C．﹣15 D．15
6．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（　　）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两锐角相等
7．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　）

A．47° B．49° C．84° D．96°
8．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝5、CE＝3，则线段DE的长为（　　）

A．6 B．12 C．10 D．8
9．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值等于（　　）

A．BD B．CD C．CE D．AC
10．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④S△ADE＝S△CDE，其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3…）．则图6中挖去三角形的个数（　　）

A．729 B．364 C．362 D．121
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，已知AD＝3，CD＝8．求阴影部分面积为（　　）

A．12 B．24 C．18 D．20
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．计算m（3m﹣n）＝　 　．
14．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为　 　cm．

15．如果多边形的每个外角都是45°，那么这个多边形的边数是　 　．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，CD是高，∠A＝30°，若AB＝4，则BD＝　 　．

17．AD是△ABC的一条高，如果∠BAD＝65°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝　 　．
18．△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，在AB上取点D，使AD＝BC，则∠BDC＝　 　．
三、解答题（共8小题，19、20、21、22、23、24、25题10分，26题8分，本大题共78分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）．
20．（10分）先化简再求值：（x+y）2﹣（x+y）（x﹣2y），已知x＝1，y＝﹣2．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点坐标；
（2）求出△ABC的面积．

22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．

23．（10分）如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AE＝CF，求证：AB∥CD．

24．（10分）已知：如图，等边△ABC的边长为8，D为AC上的一个动点，延长AB到点E，使BE＝CD，连接DE交BC于点P．
（1）求证：DP＝EP；
（2）若D为AC的中点，求BP的长．

25．（10分）阅读下列材料：某同学在计算3×（4+1）（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式计算：3×（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）•（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1．他受到启发，后来在求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）的值时，又仿照此法，将乘积式前面乘1，且把1写为（2﹣1），得
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•…•（21024+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
…
＝（21024﹣1）（21024+1）
＝22048﹣1
回答下列问题：
（1）请借鉴该同学的经验，计算：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）；
（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：．
26．（8分）如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE＝6厘米．
（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有12道选择题，每小题只有一个选项是最符合题意的，请将此选项选出并涂在答题卡相应位置。每小题4分，共48分）
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，4cm B．5cm，6cm，12cm
C．4cm，6cm，8cm D．2cm，3cm，5cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得，
A．1+2＝3＜4，不能组成三角形，故该选项不合题意；
B．5+6＝11＜12，不能够组成三角形，故该选项不合题意；
C．4+6＝10＞8，能够组成三角形，故该选项符合题意；
D．3+2＝5，不能组成三角形，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．下列运算正确的是（　　）
A．x2•x2＝x4 B．a3+a2＝a5 C．（2b）2＝2b 2 D．a7÷a4＝a4
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法和积的乘方的法则计算即可．
【解答】解：A、x2•x2＝x4，故符合题意；
B、a3•a2＝a5，故不符合题意；
C、（2b）2＝4b2，故不符合题意；
D、a7÷a4＝a3，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法和幂的乘方，解题的关键熟记法则并灵活运用．
4．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（2，﹣4） D．（2，4）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（﹣2，﹣4）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
5．若单项式﹣8xayb和3xy的积为﹣24x5y6，则ab的值为（　　）
A．30 B．20 C．﹣15 D．15
【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可．
【解答】解：﹣8xayb×3xy＝﹣24xa+1yb+1＝﹣24x5y6，
∴a+1＝5，b+1＝6，
解得a＝4，b＝5，
∴ab＝4×5＝20，
故选：B．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
6．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（　　）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两锐角相等
【分析】根据全等三角形的判定方法对A、B、C、D选项逐个分析是否可求证两三角形全等，然后即可得出正确选项．
【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，
那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确．
如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，
那么根据AAS也可判断两三角形全等，故选项B正确．
如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，
那么根据HL也可判断两三角形全等，故选项C正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等得判定的理解和掌握，解得此题的关键是根据A、B、C选项给出的已知条件都可判断出三角形全等，所以答案就很明显了．
7．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　）

A．47° B．49° C．84° D．96°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠2＝84°，再根据全等三角形的对应角相等解答．
【解答】解：根据三角形内角和定理可得，∠2＝180°﹣49°﹣47°＝84°．
∵如图是两个全等三角形，
∴∠1＝∠2＝84°．
故选：C．

【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝5、CE＝3，则线段DE的长为（　　）

A．6 B．12 C．10 D．8
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，再利用平行线的性质可得∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，从而可得∠ABF＝∠DFB，∠ACF＝∠EFC，然后利用等角对等边可得DB＝DF，EF＝EC，即可解答．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，
∴∠ABF＝∠DFB，∠ACF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∵BD＝5，CE＝3，
∴DE＝DF+EF
＝BD+CE
＝5+3
＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行的性质可证等腰三角形是解题的关键．
9．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值等于（　　）

A．BD B．CD C．CE D．AC
【分析】从已知条件结合图形认真思考，利用对称性和三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
【解答】解：如图，在BA上截取BF'＝BF，
∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
∴EF＝EF'．
∴CE+EF＝CE+EF'≥CF'．
当CF'⊥AB时（此时F'与H重合），即CF'＝CH时，CF'取最小值，此时CF'＝CH＝BD．
即CE+EF＝CH＝BD．
故选：A．

【点评】本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把CE+EF进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．
10．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④S△ADE＝S△CDE，其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可．
【解答】解：①AO是△ABE的角平分线．AO平分∠BAE，正确；
②BO是△ABD的中线．中线是顶点与对边中点的连线，O不是AD的中点，错误；
③DE是△ADC的中线，中线是顶点与对边中点的连线，E点是AC的中点，正确；
④S△ADE＝S△CDE，这两个三角形等底等高，面积相等，正确．
∴有3个是正确的
故选：C．
【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和三角形的面积，正确理解基础概念是关键．
11．观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3…）．则图6中挖去三角形的个数（　　）

A．729 B．364 C．362 D．121
【分析】根据题意找出图形的变化规律，根据规律计算即可．
【解答】解：图1挖去中间的1个小三角形，
图2挖去中间的（1+3）个小三角形，
图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，
…
则图6挖去中间的（1+3+32+33+34+35）个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，
故选：B．
【点评】本题考查的是图形的变化，正确找出图形的变化规律是解题的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，已知AD＝3，CD＝8．求阴影部分面积为（　　）

A．12 B．24 C．18 D．20
【分析】根据角平分线性质得到四边形BFDE为正方形，根据正方形的边长和三角形的面积得到关于阴影面积的等式，最后求出阴影部分的面积．
【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为正方形，
设边长为x，
由勾股定理可知，
AB2+BC2＝AC2，
（AE+x）2+（x+FC）2＝（8+3）2，
AE2+x2+2AEx+x2+FC2+2FCx＝121，
AD2+2AEx+CD2+2FCx＝121，
32+82+4S阴影＝121，
∴S阴影＝12，
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质和勾股定理，确定四边形BFDE为正方形是关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．计算m（3m﹣n）＝　3m2﹣mn　．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝3m2﹣mn．
故答案为：3m2﹣mn．
【点评】此题考查的是单项式乘多项式，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
14．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为　23　cm．

【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），
∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm，
∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．
故答案为23．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
15．如果多边形的每个外角都是45°，那么这个多边形的边数是　8　．
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数是：＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，CD是高，∠A＝30°，若AB＝4，则BD＝　1　．

【分析】根据直角三角形的性质可知BC＝AB＝×4＝2，因为CD是△ABC的高，所以∠CDA＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，故∠BCD＝∠A＝30°，BD＝BC＝×2＝1．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝×4＝2，
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDA＝∠ACB＝90°，
∠B＝∠B，
故∠BCD＝∠A＝30°，
∴在Rt△BCD中，BD＝BC＝×2＝1，
∴BD＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解题关键是利用30°角所对的直角边等于斜边的一半解决问题．
17．AD是△ABC的一条高，如果∠BAD＝65°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝　95°或35°　．
【分析】此题要分情况考虑：当AD在三角形的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
当AD在三角形的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD．
【解答】解：当AD在三角形的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝65°+30°＝95°；
当AD在三角形的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝65°﹣30°＝35°．
故答案为：95°或35°．

【点评】此题主要考查了三角形的高线，注意高可能在三角形内部，也可能在三角形的外部，要分两种情况讨论．
18．△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，在AB上取点D，使AD＝BC，则∠BDC＝　30°　．
【分析】以AC为一边在△ABC外侧作正三角形△ACE，连接DE，根据已知可求得∠ABC的度数，再根据等边三角形的性质可求得∠EAD的度数，从而利用SAS判定△ABC≌△EAD，由全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可求得∠ADE，∠EDC的度数，再根据三角形的外角的性质即不难求解．
【解答】解：以AC为一边在△ABC外侧作正三角形△ACE，连接DE．

∵AB＝AC，顶角∠A＝20°，
∴∠ABC＝80°，
∵△ACE是正三角形，
∴AC＝AE＝CE，∠EAC＝60°，
∴∠EAD＝80°，
∵AB＝AC，AC＝AE＝CE．
∴AE＝AB，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
∴∠EDA＝∠ACB＝80°，∠AED＝∠BAC＝20°，ED＝AC，
∴∠DEC＝40°，DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝70°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣80°﹣70°＝30°．
故答案为：30°
【点评】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难度．
三、解答题（共8小题，19、20、21、22、23、24、25题10分，26题8分，本大题共78分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）．
【分析】（1）先计算乘方、绝对值、零指数幂、开方运算，再合并同类项即可；
（2）利用完全平方公式、平方差公式分别计算，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝9+9+1+2
＝21；
（2）原式＝a2﹣2ab+b2+a2﹣b2
＝2a2﹣2ab．
【点评】此题考查的是平方差公式、完全平方公式及实数的计算，掌握其公式结构是解决此题的关键．
20．（10分）先化简再求值：（x+y）2﹣（x+y）（x﹣2y），已知x＝1，y＝﹣2．
【分析】直接利用完全平法公式以及多项式乘多项式计算，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣（x2﹣2xy+xy﹣2y2）
＝x2+2xy+y2﹣（x2﹣xy﹣2y2）
＝x2+2xy+y2﹣x2+xy+2y2
＝3xy+3y2，
当x＝1，y＝﹣2时，
原式＝3×1×（﹣2）+3×（﹣2）2
＝﹣6+12
＝6．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点坐标；
（2）求出△ABC的面积．

【分析】（1）根据轴对称的性质作图，可得出△A1B1C1各点坐标．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．

点A1（﹣3，﹣5），B1（﹣2，﹣1），C1（﹣1，﹣3）．
（2）S△ABC＝2×4﹣﹣﹣＝3．
∴△ABC的面积为3．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．

【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝＝77°×＝38.5°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AE＝CF，求证：AB∥CD．

【分析】欲证明AB∥CD，只需证得∠C＝∠A，所以通过Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）证得∠C＝∠A即可．
【解答】证明：如图，∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝EC．
又∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°．
在Rt△ABF与Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴∠C＝∠A，
∴AB∥CD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
24．（10分）已知：如图，等边△ABC的边长为8，D为AC上的一个动点，延长AB到点E，使BE＝CD，连接DE交BC于点P．
（1）求证：DP＝EP；
（2）若D为AC的中点，求BP的长．

【分析】（1）过点D作DF∥AB，可证得△CDF为等边三角形，得到DF＝BE，可由AAS证得△DFP≌△EBP，可得DP＝EP；
（2）若D为AC的中点，则CF＝CD＝4，由全等三角形的性质得出点P是BF的中点，得到BP＝BF＝2．
【解答】（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于点F，

∵DF∥AB，
∴∠CFD＝∠ABC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CFD＝∠ABC＝∠C＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴DF＝CD，
∵BE＝CD，
∴BE＝FD，
∵DF∥AB，
∴∠PEB＝∠PDF，
在△BPE和△FPD中，
，
∴△BPE≌△FPD（AAS），
∴DP＝EP；
（2）∵等边△ABC的边长为8，
∴AC＝BC＝8，
∵点D是AC的中点，
∴CF＝CD＝4，
∴BF＝4，
∵△BPE≌△FPD，
∴BP＝FP，
∴BP＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．（10分）阅读下列材料：某同学在计算3×（4+1）（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式计算：3×（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）•（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1．他受到启发，后来在求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）的值时，又仿照此法，将乘积式前面乘1，且把1写为（2﹣1），得
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•…•（21024+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
…
＝（21024﹣1）（21024+1）
＝22048﹣1
回答下列问题：
（1）请借鉴该同学的经验，计算：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）；
（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：．
【分析】（1）将乘积式前面乘，且把2写为（3﹣1），再利用平方差公式进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算，得出规律，即可得出答案．
【解答】解：（1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
＝×[（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）]
＝×[（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）]
＝×[（34﹣1）（34+1）（38+1）]
＝×[（38﹣1）（38+1）]
＝×（316﹣1）
＝；
（2）
＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）
＝××××××…××
＝×
＝．
【点评】本题考查了数字的变化规律，平方差公式，灵活应用平方差公式进行计算是解决问题的关键．
26．（8分）如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE＝6厘米．
（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？

【分析】正方形的四边相等，四个角都是直角．（1）①速度相等，运动的时间相等，所以距离相等，根据全等三角形的判定定理可证明．②因为运动时间一样，运动速度不相等，所以BP≠CQ，只有BP＝CP时才相等，根据此可求解．
（2）知道速度，知道距离，这实际上是个追及问题，可根据追及问题的等量关系求解．
【解答】解：（1）①∵t＝1秒，
∴BP＝CQ＝4×1＝4厘米，（1分）
∵正方形ABCD中，边长为10厘米
∴PC＝BE＝6厘米，（1分）
又∵正方形ABCD，
∴∠B＝∠C，（1分）
∴△BPE≌△CQP（1分）
②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，
又∵△BPE≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝PC，
而BP＝4t，CP＝10﹣4t，
∴4t＝10﹣4t（2分）
∴点P，点Q运动的时间秒，（1分）
∴厘米/秒．（1分）

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得4.8x﹣4x＝30，（1分）
解得秒．（1分）
∴点P共运动了厘米（1分）
∴点P、点Q在A点相遇，
∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．（1分）
【点评】本题考查正方形的性质，四个边相等，四个角都是直角以及全等三角形的判定和性质．