2023湖北省“宜荆荆恩”高三9月起点考试数学试题含答案

“宜荆荆恩”2023届高三起点考试数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，若，则实数的取值范围为   (    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知为虚数单位，复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

4. 已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知数列是公差不为零的等差数列，为等比数列，且，，，设，则数列的前项和为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 我国古代名著张丘建算经中记载：今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何大致意思：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是注：丈尺(    )

A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺

7. 已知，，，是自然对数的底数，若，，，则有(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一个袋子中装有形状大小完全相同的个小球，其中个黑球，个白球第一步从袋子里随机取出个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中第二步：再从袋子里随机取出个球，计第二步取出的个球中白球的个数为，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列说法正确的是   (    )

A. 数据，，，，，，，的第百分位数为
B. 若∽，，则
C. 已知，，若，则，相互独立
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过

10. 已知函数，则(    )

A. 的最大值为
B. 在上单调递增
C. 在上有个零点
D. 把的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称

11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则(    )

A. 椭圆的离心率的取值范围是
B. 当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C. 存在点使得
D. 的最小值为

12. 函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有(    )

A. 函数的图象关于直线对称
B. 若的导函数为，定义域为，则
C. 的图象关于点中心对称
D. 设数列为等差数列，若，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在中，是边上的点，且，设，则          ．
14. 已知展开式中各项系数和为，则展开式中的第项为          ．
15. 已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于，两点，则面积的取值范围是          ．
16. 在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知数列前项和为，且，．
求
设，求数列的前项和．
 

18. 本小题分

如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，其轴截面是正三角形，点是上一点，，点，是底面圆上不同的两点，是的中点，直线与圆锥底面所成角满足．
求证：
求二面角的正弦值．
 

19. 本小题分

在中，内角，，满足C.
求证：
求最小值．

20. 本小题分

设某种植物幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示：

根据以上数据判断与哪一个更适宜作为关于的经验回归方程给出判断即可，不需说明理由
根据的判断，建立关于的经验回归方程，估计第天幼苗的高度估计的高度精确到小数点后第二位
在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机选取其中的个点，记这个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．
附：对于一组数据，，，，其经验回归直线方程的斜率的最小二乘估计为．

21. 本小题分

已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点．
求双曲线的标准方程
已知，，是双曲线上不同于的两点，且，于，证明：存在定点，使为定值．
 

22. 本小题分

已知函数，是自然对数的底数．
当时，设的最小值为，求证：
求证：当时，

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查含参数的并集计算，属于基础题．

【解答】

解：已知集合，若，
则有，解得实数的取值范围为．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的除法运算，乘方运算，以及复数的模的求解，属于基础题．
由复数的运算法则先化简复数，再求，再求模即可．
 

【解答】

解：因为，
所以，则．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间平面平行垂直的判定，线面平行和垂直的判定与性质，属于基础题．

【解答】

解：对于，若，，则或与相交，A错误

若，，则或，相交或异面，B错误，C正确；
若，，则或或与相交均可能，故D错误．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式的应用，属于基础题．

【解答】

解：，所以，因为，
即：，解得．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列与等比数列的综合应用，等差数列的通项公式及前项和，等比数列的通项公式及前项和，属于中档题．

【解答】

解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则由，，，得即解得，，
所以数列的前项和．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查棱台的体积公式，属中档题．
由题意及∽，先求得棱锥的高，继而求体积即可．

【解答】

解：由题意可知正四棱锥的高为，所截得正四棱台的下底面边长为，上底面边长为．
设棱台的高，单位均为尺
由∽可得，解得，
可得正四棱台体积立方尺，
故选B．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数比大小，属于中档题．

【解答】

解：由，，得，，，
构造函数，求导得令，得．
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
，所以，
又，，，所以．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，属于拔高题．

【解答】

解：计第一步取出两个白球为事件，则，，；
计第一步取出两球为一黑一白为事件，则，，，；
计第一步取出两个黑球为事件，则，，，，
故由全概率公式，，
同理，，．
另解：在第一步完成之后，服从超几何分布，故E．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查百分位数，正态分布的概率，相互独立事件的判断，独立性检验等知识，属于综合性题目．

【解答】

解：将数据，，，，，，，按从小到大排序，为，，，，，，，，因为，
这组数据的第百分位数为，选项A不正确；对于，若∽，，则，B正确；若，即，则，相互独立，C正确；，不能判断与有关且犯错误的概率不超过，D错误．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦型函数图像和性质，属于中档题．

【解答】

解：
对于：易知最大值为；
对于：令解出范围易知B错误．
对于：，，结合图象易知C正确．
对于：的图象向右平移个单位长度得到，，所以D正确．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，向量的数量积，属于较难题．

【解答】

解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上定点为，，由于，
所以存在点使得，故C正确；

，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，故D正确．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的几何意义与函数图象的关系，奇偶函数的图形特征，函数图象的平移，等差数列的性质，属于较难题．

【解答】

解：由导数的几何意义及的对称性，在和处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故，是偶函数，对称轴为，错
由的对称性，在和处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故，为奇函数，又定义域为，，对
，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向量平移而得，故C对
由选项知，当时，，由等差数列性质，，以此类推倒序相加，D正确．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量中三点共线，属于基础题．

【解答】

解：中，是边上的点，且，所以，
．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题．
利用赋值法求，再利用展开式的通项公式即可求解．

【解答】

解：令，得，解得，
所以的展开式的通项．
则展开式的第项为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．
根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论．

【解答】

解：圆心，半径，点在圆内部，
设到距离为，则，，
，
当时取到最大值，
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查外接球问题，属于中档题．

【解答】

解：正中，为的中点，则，
而平面，平面，即，
而，，平面，则平面，
平面，有，又，
因此，与的斜边中点到点，，，的距离相等，
即三棱锥外接球球心为中点，
从而，点是三棱锥外接球球心，
设球的半径为，有，
的外接圆圆心为的中点，设为，连接，则平面，如图，
则有，即到平面的距离为，因此到平面距离的最大值为，又，
即有，解得，，，
所以球的体积为．
 

17.【答案】解：，
，
数列为等差数列，且，
又时，，，

，，
，
，
两式相减得，
． 

【解析】本题考查等差数列的判定及其通项公式，数列的前项和与的关系，错位相减求和的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意，，，取的中点，连接，。
则，且，
平面，平面，即为直线与平面所成角，
，从而，由勾股定理得，
在中，，所以，
平面，，
由，且，故平面，所以．
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系

则，，，，
得，，，
设平面、的法向量分别为，，
由，令得，
由，令得，
所以，，
则二面角的正弦值为． 

【解析】本题考查线面垂直的判定及性质，考查二面角，考查利用空间向量求二面角，考查空间思维能力与计算能力，属于中档题．
利用线面垂直的判定性质可证得平面，再根据线面垂直的性质证得即可
建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面的法向量为，平面的一个法向量，即可求得求二面角的正弦值．
 

19.【答案】解：由正弦定理有，从而，
则，
所以，
即有，
由，有，
则，
故，
当且仅当，即，时取等。
所以的最小值为 

【解析】本题考查正余弦定理解三角形和基本不等式求最值，属于中档题．
 

20.【答案】解：．
令，则，根据已知数据表得到如下表：

，，
，
，
故关于的经验回归方程，
令，．
这天中幼苗高度大于的有天，服从超几何分布，其中，，，
，，，，
所以随机变量的分布列为：

随机变量的期望值． 

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查回归方程，属于中档题．
由数据分析更适宜作为关于的经验回归方程；
令，则，列出数据表，代入公式从而得到，回归直线过点，得到，从而得到经验回归方程，令，求出的值；
从这天中任取天，所以这个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为，，，，利用超几何分布分别求出概率，列出分布列，从而求出期望．
 

21.【答案】解：因为双曲线与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的标准方程为，
代入点坐标，解得，
所以双曲线的标准方程为．
当直线斜率存在时，设，
设，联立与双曲线，
化简得，
，即，则有
又，
因为，
所以，
所以，
化简，得，即所以，，
且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点，
当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线，与双曲线方程联立解得，此时也过点
综上，直线过定点．
由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值． 

【解析】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与双曲线的位置关系 ，考查圆锥曲线中的定点、定值问题 ，考查化简整理的运算能力，属于难题．
 

22.【答案】解：当时，，
由于，，故存在，使得
由基本初等函数性质知，在递增，所以当时，，递减当时，，递增，
所以
设函数，，，
故在递减，，所以．
方法一：
当时，由基本初等函数性质知，在递增，
，
所以存在使得，即：
，
当时，，递减当时，，递增

因为，故，，
方法二：，由于，所以，
故只需证，即，设，，
在单增，且，故时，单减时，单增，
所以，，原不等式成立． 

【解析】本题考查导数证明不等式，属于难题．