2021-2022学年河南省商丘市夏邑县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省商丘市夏邑县八年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各数中，与的积仍为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知矩形的面积为，一条边长为，则相邻的另一边长为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在正方形中，以对角线为一边作菱形，连接菱形的对角线，则的度数等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，为菱形的对角线的交点，，，若，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，工作人员测得米，米，米，在测出米后，测量工具坏了，使得的长无法测出，请你想办法求出的长度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，若，，则下列结论：
   ，；
   ≌；
   四边形是菱形；
   ：：．
   其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 已知，那么的值是______．
10. 如图所示，在四边形中，，，于，，，则的度数等于______．

11. 直角三角形纸片的直角边的长分别为和，按图中那样折叠纸片，使点与点重合，折痕为，则：等于______．

12. 如图，在中，，，，为斜边上一点，以、为边作平行四边形，当______时，平行四边形为菱形．

13. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为______．

14. 如图，在正方形中，点在边上，点在正方形外部，且满足，，连接，，取的中点，连接，，交于点，线段，，之间应满足的等量关系是______．

三、解答题（本大题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    计算：
    ；
     
16. 本小题分
    如图，已知中，，，，求：
    的面积；
    求斜边上的高．

17. 本小题分
    如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
    在网格中画线段且使，连接；
    是直角三角形吗？为什么？
    求四边形的面积．

18. 本小题分
    如图，▱的对角线，相交于点，且，，．
    
    求证：四边形是菱形；
    若，则当四边形的形状是______时，四边形的面积取得最大值是______．
19. 本小题分
    如图，已知四边形为平行四边形，于，于．
    求证：；
    若、分别为边、上的点，且，试判断四边形的形状不必说明理由．

20. 本小题分
    如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
    求证：矩形是正方形；
    求的值；
    若恰为的中点，连接，求点到的距离．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项中，，故不符合题意；选项中，，故不符合题意；选项中，，故不符合题意．
选项中，，符合题意．
故选：．
分别将四个选项代入计算即可．
本题考查了二次根式的乘除法，熟练二次根式乘除法是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，即，
．
故选：．
根据矩形的面积公式计算即可．
本题考查二次根式的应用，解题关键是掌握矩形面积公式．
 

3.【答案】 

【解析】解：，分别为，边的中点，
，
，为边的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，
四边形是菱形，
，
，
故选：．
根据正方形的性质可得，根据菱形的性质可得，即可求出．
本题考查了正方形的性质和菱形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
在菱形中，，，
，，
，
在矩形中，，
故选：．
先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，根据菱形的对角线互相平分求出、，再根据勾股定理列式求出，然后根据矩形的对角线相等求解．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
又，
，且，
四边形为平行四边形，
A、，，
，
，
▱为矩形，故本选项不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C、，
，
▱为矩形，故本选项不符合题意；
D、，
，
▱为矩形，故本选项不符合题意；
故选：．
先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定进行解答即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
是直角三角形，且，
，
米，
米，
的长是米，
故选：．
先通过计算并且根据勾股定理的逆定理证明，则是直角三角形，所以，即可根据勾股定理求得的长，再由求出的长．
此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、解直角三角形等知识与方法，根据勾股定理的逆定理证明是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是矩形，
，、互相平分，
为中点，
也过点，
，
，，
是等边三角形，
，，
在与中

≌，
与关于直线对称，
，；
正确，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
易证≌，
，
，
四边形是菱形，
正确，
≌≌，
≌B错误．
错误，
，，
，，
，
：：，
正确；
故选：．
根据已知得出≌，可求得与关于直线对称，进而求得，；
因为≌≌，故不会全等于．
先证得，再证得，进而证得，因为、互相平分，即可证得四边形是菱形；
根据三角函数求得，，根据即可求得：：．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：
根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式，本题属于基础题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
解得：，
，，
，
是直角三角形，
即，
故答案为：．
根据三角形的面积求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
 

11.【答案】： 

【解析】解：在中，，，
，
沿使与重合，
，，
，
设，则，，
在中，
，即，
，
，
，
在中，
，
，
，
：：．
故答案为：：．
在中利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得到，，设，则，，在中根据勾股定理计算出，利用三角形面积公式计算出，在中利用勾股定理计算出，利用三角形面积公式计算出，然后求出两面积的比．
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了勾股定理．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点．

中，，，，
．
若平行四边形为菱形，
则，，．
，
．
在中，根据勾股定理得，，
．
故答案为：．
根据勾股定理求得，再由菱形的性质得，，然后由勾股定理求出的长，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：如图中，当，，共线时，．

四边形是矩形，
，
，
，
，设，则，
在中，，
，
，

如图中，当点落在上时，，

此时四边形是正方形，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
分两种情形：如图中，当，，共线时，如图中，当点落在上时，，分别求解即可．
本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，
，
四边形是正方形，
，，
，
在中，是的中点，则，
又，
是的垂直平分线，
是的中点，，
是的中位线，
，
在中，，则，即，
．
故答案为：．
连接，首先利用直角三角形的性质得到，进而得到是的垂直平分线，再利用勾股定理和中位线可得，，从而可得出结论．
本题主要考查正方形的性质、直角三角形的性质、中位线、勾股定理等知识，熟知相关知识、添加适当辅助线是解题关键．
 

15.【答案】解：


；


． 

【解析】先化简，再算加减即可；
先算除法及乘法，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

16.【答案】解：


；
设斜边上的高为，
由勾股定理得：，
则，即，
解得：，
答：斜边上的高为． 

【解析】根据三角形的面积公式、二次根式的乘法法则、平方差公式计算即可；
根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、二次根式的乘法，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

17.【答案】解：如图，线段，即为所求；


结论：是直角三角形．
理由：，，，
，
，
是直角三角形；

． 

【解析】根据要求作出图形即可；
利用勾股定理的逆定理证明即可；
根据求解即可．
本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
．
，
．
平行四边形是矩形，
．
．
平行四边形是菱形；
正方形 

【解析】

【分析】
此题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，解本题的关键是根据平行四边形的性质和菱形的判定解答．
根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；
根据正方形的判定和性质解答即可．
【解答】
解：见答案；
，，
当四边形的形状是正方形时，
则，即矩形为正方形，
此时正方形的面积取得最大值是．
故答案为：正方形，．  

19.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，
于，于，
，
≌，
；

四边形是平行四边形．
证明：由可知：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据平行四边形的性质和已知条件证明≌即可得到；
根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形的形状．
本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性质．
 

20.【答案】证明：如图，作于，于．

四边形是正方形，
，
于，于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形．

解：四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，
．

解：连接，

四边形是正方形，
，，
是中点，
，
，
点到的距离． 

【解析】如图，作于，于只要证明≌即可解决问题；
只要证明≌，可得即可解决问题；
求出的长，由正方形的面积公式可得出答案．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．