2021-2022学年重庆市江津区七年级（下）期末数学试卷（A卷）（含解析）

2021-2022学年重庆市江津区七年级（下）期末数学试卷（A卷）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各图中，与是对顶角的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列选项中，属于无理数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列各点中，在第二象限的点是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 下列事件中适合采用抽样调查的是(    )

A. 对乘坐飞机的乘客进行安检
B. 学校招聘教师，对应聘人员进行面试
C. 在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测
D. 对端午节期间市面上粽子质量情况的调查

6. 如图，数轴上点表示的数可能是(    )
    

A.  B.  C.  D.

7. 如图，下列条件中，不能判断直线的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 若，则下列各式中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，已知，，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 九章算术是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中卷第八方程记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 若使得关于的不等式组有且只有个整数解，且使得关于的一元一次方程的解为整数，则满足条件的所有整数之和为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 对实数，依次进行以下运算：，，，，，，，若点，其中为正整数．下列说法中正确的有(    )
    ；
    中，与的系数之和为；
    点的坐标为．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 的立方根是______．
14. 若方程组的解满足，则的取值范围为______．
15. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是______．
16. 今年端午节前某超市分两次购进蛋黄、鲜肉、腊肉三种馅的粽子，第一次购进三种粽子数量之比为：：根据销量，超市调整进货方案，第一次与第二次购进蛋黄粽数量之比为：，且第二次购进蛋黄粽数量为第二次购进总量的为使两次购进鲜肉粽和腊肉粽数量之比为：，则第二次购进鲜肉粽和腊肉粽数量之比为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：；
    解不等式：．
18. 本小题分
    解方程组：；
    解不等式组：．
19. 本小题分
    如图，已知，，，经过平移可以得到，中任意一点平移后的对应点为．
    写出点、、的坐标；
    画出；
    求的面积．

20. 本小题分
    如图，已知，，，
    求证：；
    求．
    证明：，，
    ______．
    ______
    ，
    ______两直线平行，内错角相等．
    ，
    ．
    ______内错角相等，两直线平行．
    ______两直线平行，同位角相等．
    ，
    ．

21. 本小题分
    近来，健身操本草纲目火爆全网，掀起全民健身热潮．为了解江津某中学学生对四种健身项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果整理后绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息解答下列问题．
    
    本次调查共调查了______名学生，表示“跑步”的扇形圆心角度数为______；
    补全条形统计图；
    若该校共有人，根据抽样调查结果，请估计全校喜爱“游泳”的学生人数．
22. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点、、，满足．
    求的面积；
    在坐标轴上是否存在点不与点重合，使，若存在，请直接写出所有符合题意的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．

23. 本小题分
    一个三位正整数，百位、十位、个位上的数字分别为、、，如果满足，那么称这个三位数为“开心数”．
    三位正整数中，最小的“开心数”为______，最大的“开心数”为______．
    如果一个“开心数”满足百位为，且能被整除，那么称这个“开心数”为“顺利开心数”，请求出所有的“顺利开心数”．
24. 本小题分
    年北京冬季奥运会和冬季残奥会备受关注，吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”随之大卖，购买个“冰墩墩”和个“雪容融”共需元，购买个“冰墩墩”和个“雪容融”共需元．
    分别求出“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价．
    若每个“冰墩墩”制作成本为元，每个“雪容融”制作成本为元，准备制作两种吉祥物共个，总成本不超过元，且销售完该批次吉祥物，利润不低于元，请问有哪几种制作方案？
25. 本小题分
    已知，如图，，点、分别为直线、上的点，点在两平行线与之间，连接、，的角平分线交于点．
    
    如图，当时，求；
    如图，的角平分线的反向延长线交于点，
    求证：；
    请直接写出与的数量关系．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故此选项符合题意；
C、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：．
根据对顶角的概念判断即可．
本题考查了对顶角的定义．解题的关键是掌握对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像相邻两个中间依次多个，等有这样规律的数．
 

3.【答案】 

【解析】解：、在第一象限，故此选项不符合题意；
B、在第二象限，故此选项符合题意；
C、在第三象限，故此选项不符合题意；
D、在第四象限，故此选项不符合题意．
故选：．
根据第二象限的点的坐标特征判断即可．
本题考查了点的坐标，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
 

4.【答案】 

【解析】解：不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：

故选：．
先解不等式组的解集，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示，熟练求得不等式组的解集是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、对乘坐飞机的乘客进行安检，适合采用全面调查，故A不符合题意；
B、学校招聘教师，对应聘入员进行面试，适合采用全面调查，故B不符合题意；
C、在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测，适合采用全面调查，故C不符合题意；
D、对端午节期间市面上粽子质量情况的调查，适合采用抽样调查，故D符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点，判断即可．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图可得：
数轴上点表示的数在和之间，
A、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
，
，
故C符合题意；
D、，
，
，
，
故D不符合题意；
故选：．
由图形可得数轴上点表示的数在和之间，然后估算出每一个选项中无理数的值，即可解答．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方运算是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，不能判定，故A符合题意；
，
，
故B不符合题意；
，
，
故C不符合题意；
，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据垂线的定义得出，再由直角三角形的性质求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：．
故选：．
根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有钱”，列出二元一次方程组解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
解不等式组得：，
该不等式组有且仅有个整数解，
不等式组的解集是：，
，
解得：，
，
解得：，
关于的一元一次方程的解为整数，
或或，
．
故选：．
解关于的不等式组，根据“该不等式组有且仅有个整数解”，得到关于的不等式，解之，解一元一次方程，根据解为整数，得到的取值，取所有符合题意的整数，即可得到答案．
本题考查了一元一次方程的解和一元一次不等式组的整数解，正确掌握解一元一次方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，故正确；
，
由以上规律可知，
，
中，与的系数之和为故正确；
点，，，
点的坐标为故不正确．
故选：．
根据题目中所给计算，分别代入计算，依次判断即可．
本题属于式子的探索规律，根据给出迭代计算，得出第个式子的表达是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以
故答案为：．
根据立方根的定义求解即可．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
得：，
，
，
解得，
故答案为：．
由已知可得，根据可得关于的不等式，即可解得答案．
本题考查解二元一次方程组及一元一次不等式，由已知得到是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，

，
，
，
，
而，
，
．
故答案为．
过点作，利用平行线的性质得，所以，，加上，易得．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

16.【答案】： 

【解析】解：令第一次购进腊肉的量是，则第一次购进鲜肉为，蛋黄为，第二次购进蛋黄为，
则第二次购进三种粽子的和为：，
设第二次购进鲜肉的量为，则第二次购进腊肉的量为，
根据题意得：，
解得：，
则，
：：，
故答案为：：．
先令第一次购进腊肉的量是，则其他量都可以用来表示，再通过设未知数列方程求解．
本题考查了一元一次方程得应用，用参数表示量是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；
，
，
，
，
． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，得，
解得．
把代入，得，
解得．
原方程组的解为；
，
解得：，
解得：，
则不等式组的解集是：． 

【解析】方程利用加减消元法解答即可；
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查了解二元一次方程组解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答的关键．
 

19.【答案】解：点、、；
如图，即为所求；
的面积．
 

【解析】根据坐标变化规律写出坐标即可．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用割补法求三角形面积．
 

20.【答案】  同旁内角互补，两直线平行       

【解析】证明：，，
．
同旁内角互补，两直线平行．
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；
，
两直线平行，内错角相等．
，
．
内错角相等，两直线平行．
两直线平行，同位角相等．
，
．
故答案为：；；．
根据对顶角的性质可知，根据已知可证得，根据同旁内角互补，两直线平行可得；
根据平行线的性质可得，等量代换证得，从而证得，进而求出．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
 

21.【答案】   

【解析】解：本次被调查的学生有：名，
表示“跑步”的扇形圆心角度数为，
故答案为：，；
本次被调查的喜爱健身操的人数：名，
补全的条形统计图如图所示，

人，
答：估计全校喜爱“游泳”的学生有人．
根据喜爱跳绳的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数，乘以喜爱“跑步”的所占比例即可计算出“跑步”的扇形圆心角度数；
根据中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出喜爱健身操的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出全校喜爱“游泳”的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：，
，，
，，
，，
，
，
的面积为：；
当点有轴上时，如图，

设，则，
，
，
舍或，
；
当点在轴上时，如图，

设，则，
，

舍或，
或；
综上，在坐标轴上是否存在点，使，其点的坐标为或或． 

【解析】根据非负数的性质求得、的值，进而根据三角形的面积公式求得结果；
分两种情况：点在轴上，点在轴上，分别根据面积关系列出方程进行解答．
本题主要考查了直角坐标系中点的特征，三角形的面积公式，非负数的性质，关键是数形结合，根据点的坐标求出三角形的底边与高．
 

23.【答案】   

【解析】解：因为三位数的百位数字最小是，
所以最小的“开心数”为，
因为三位数的百位数字最大是，
所以最大的“开心数”为；
故答案为：，；
由题意得：百位为“开心数“为：，，，，，，，
其中能被整除的有：，，，，
所以所有的“顺利开心数”为：，，，，
利用题中新定义求解
利用题中新定义，先求“开心数”，再求“顺利开心数”．
本题考查了因式分解的应用，正确理解新定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：设“冰墩墩”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：“冰墩墩”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元．
设制作个“冰墩墩”，则制作个“雪容融”，
依题意得：，
解得：，
为正整数，
的值为、、，
有种制作方案：
制作个“冰墩墩”，个“雪容融”；
制作个“冰墩墩”，个“雪容融”；
制作个“冰墩墩”，个“雪容融”． 

【解析】设“冰墩墩”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元，由题意：购买个“冰墩墩”和个“雪容融”共需元，购买个“冰墩墩”和个“雪容融”共需元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设制作个“冰墩墩”，则制作个“雪容融”，由题意：总成本不超过元，且销售完该批次吉祥物，利润不低于元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

25.【答案】解：，
，
平分，
，
，
；
证明：，
，
，
，
，
；
解：如图，过点作，

，
，
，，
，
平分，平分，
，，
设，，
，，
． 

【解析】当时，，根据角平分线的定义求出，根据平行线的性质即可求出；
根据平行线的性质可知，根据外角的性质即可证得结论；
设，，表示出和即可解答．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．