2021-2022学年江西省抚州市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省抚州市八年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

3. 一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，已知，，以，两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，连接与相交于点，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，点，，在一条直线上，和是等边三角形，连接和交于点，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，分别是，，的中点，交于点下列结论：；；；成立的个数有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 分解因式：            ．
8. 已知分式的值为，则的值为______．
9. 若分式方程有增根，则的值是______．
10. 如图，在中，，，，，则的长为______．
11. 如图，等腰的底边，面积为，点是边上的一个动点，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则的最小值为______．

12. 如图所示，在平行四边形中，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时，、同时停止运动，设运动时间为且，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的所有可能值为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. 本小题分
    计算：解不等式组：；
    解方程：．
14. 本小题分
    如图，在中，，为边的中点，于点，于点，求证：是等边三角形．

15. 本小题分
    已知，求的值．
16. 本小题分
    如图所示：在图中画出先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到的图形．
    在图中画出绕点逆时针旋转后得到的图形．

17. 本小题分
    已知为整数，且为整数，求所有符合条件的的值．
18. 本小题分
    如图，点是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形．
    求证：四边形是平行四边形．
    如果，，，求的长．

19. 本小题分
    在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了、两种不同型号的口罩，已知型口罩的单价比型口罩的单价多元，且用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同．
    、两种型号口罩的单价各是多少元？
    根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买型口翠的数量是型口罩数量的倍，若总费用不超过元，则增加购买型口翠的数量最多是多少个？
20. 本小题分
    在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
    例题：若，求和的值；
    解：由题意得：，
    
    ，解得请解决以下问题：
    若，求的值；
    若，，是的边长，满足，是的最长边，且为偶数，则可能是哪几个数？
21. 本小题分
    如图，在平行四边形中，过点作交于点，连接，且平分．
    求证：；
    如图，过点作交于点，连接，，猜想的形状并证明．
     

22. 本小题分
    定义运算，当时，；当时，；如：；；根据该定义运算完成下列问题：
    ______，当时，______；
    如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出的取值范围是______．
    在的基础上，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，求的面积．

23. 本小题分
    阅读理解：如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
    解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证≌，得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断：，，之间的等量关系为______；
    问题探究：如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论；
    问题解决：如图，，与交于点，且点是的中点，点在线段上，且，若，，求的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意：由题意：，
解得
故选：．
根据一次函数的性质构建不等式组即可解决问题．
本题考查一次函数的图象与系数的关系，不等式组的解集等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：设这个多边形是边形，由题意得：
，
解得：，
故选：．
根据多边形的内角和公式与外角和的关系找出等量关系，构建方程即可求解．
本题考查多边形的内角和与外角和，解题关键是记住内角和的公式与外角和的性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，为线段的垂直平分线，
，
，，
的周长为．
故选：．
由题意可得，为线段的垂直平分线，则，则的周长为．
本题考查作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：和是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
，
，
即，
，
故选：．
利用证明≌，得，再根据三角形外角的性质即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，证明≌是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，四边形是平行四边形
，，，，，

点为中点
，故正确；
，，分别是，，的中点，
，
，

，故正确；
，
四边形是平行四边形

即，故正确；
∽
，
，，
，

，
，

，

，
，故正确；
故选：．
由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得；由三角形中位线定理可证得，进而可得，再根据、分别是、中点，可得，即可得．
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形性质等；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上中线等于斜边一半等性质是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练运用平方差公式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：分子且分母，
所以．
解得．
故答案为：．
根据分式值为的条件，分子为，分母不为，进行计算即可解答．
本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式值为的条件是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．
故答案为：．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
又，
，
，
在中，，，
，
故答案为：．
根据三角形内角和可得，进而得出，得到，中，由，，可求出即可．
本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图作于，连接．

垂直平分线段，
，
，
当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长，
，
，
根据垂线段最短，
当时最小，
的值最小为．
故答案为：．
如图作于，连接由垂直平分线段，推出，推出，可得当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长．
本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，
点的运动路线是，
则，
解得：，不符合题意；
点的运动路线是，
则，
解得：；
点的运动路线是，
则，
解得：；
点的运动路线是，
则，
解得：；
综上所述，或或时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：或或．
当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
此题考查了平行四边形的判定与性质等知识，求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
 

13.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

14.【答案】证明：为的中点，
．
，，
．
在和中，
，
≌，
，
，
，

是等边三角形． 

【解析】证明≌得到，则，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
 

15.【答案】解：由题意可知：，
原式


． 

【解析】根据题意可知，然后代入原式即可求出答案．
本题考查分式的值，解题的关键是将代入原式，本题属于基础题型．
 

16.【答案】解：如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求． 

【解析】将三个顶点分别向上平移个单位，再向右平移个单位后得到其对应点，继而首尾顺次连接即可；
将点、分别绕点逆时针旋转后得到其对应点，再首尾顺次连接即可．
本题主要考查作图旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质．
 

17.【答案】解：原式，
，
，
．
原式为整数，
或，
或或或． 

【解析】将原式化简成，由原式为整数可得出或，解之即可得出结论．
本题考查了分式的加减法以及分式的化简求值，将原式化简成是解题的关键．
 

18.【答案】证明：、分别是、的中点，
，，
、分别是、的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形；
解：过作，交于点，

在中，由，，
，
，
在中，由，，
得，
，
． 

【解析】根据三角形中位线的性质可得，，，，进而可得，，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
过作，交于点，再根据勾股定理求出的长，即可求出．
此题主要考查了中点四边形和三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
 

19.【答案】解：设型口罩的单价是元，则型口罩的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：型口罩的单价是元，型口罩的单价是元．
设增加购买型口罩的数量是个，则增加购买型口罩数量是个，
依题意得：，
解得：．
答：增加购买型口罩的数量最多是个． 

【解析】设型口罩的单价是元，则型口罩的单价是元，根据数量总价单价，结合用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同，列出分式方程分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设增加购买型口罩的数量是个，则增加购买型口罩数量是个，根据总价单价数量，结合总价不超过元，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】解：，
，
，
，，
解得，，
；

已知等式整理得：，
解得：，，
由中最长的边是，
，
为偶数，
可能是或． 

【解析】先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出和的值，然后代入代数式计算即可；
已知等式整理后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出与的值，即可确定出的值．
本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，利用完全平方公式配方成平方和的形式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
又平分，
，
，
，
；
是等腰直角三角形，
证明：，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
即，
是等腰直角三角形． 

【解析】依据平行四边形的性质即可得到，依据，即可得出，进而得到；
判定≌，即可得到，，进而得出，即可得到是等腰直角三角形．
本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的判定，解决问题的关键是掌握平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．
 

22.【答案】     

【解析】解：根据定义，得，
当时，，
故答案为：，；
，
根据图象，可得的取值范围：．
故答案为：．
直线与相交于点，
，，
，，
，，
直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，
，，，
，
．
根据的定义，即可求解；
根据图象，结合的定义即可；
利用待定系数法求得两直线的解析式，然后求得、、的坐标，然后根据求得即可．
本题是两直线相交问题，考查了新定义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，能够求得交点坐标并理解新定义的含义是解决本题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：延长交的延长线于点，
，
，，
点是的中点，
，
≌，
，
是的平分线，
，
，
，
故答案为：；

，理由：如图，
延长，相交于点，
同的方法得，≌，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
；

如图，
延长，相交于，
同的方法得，≌，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
过点作于，
，，，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
在和中，
，
≌，
．
先判断出≌，得出，得出，进而得出，，即可得出结论；
同的方法，即可得出结论；
同的方法判断出，进而求出，再求出，最后≌，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．