2021学年第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质当堂检测题

2022-2023学年度人教版初中八年级数学课堂提升训练试卷

班级             姓名         

第十二章　全等三角形

12.3　角的平分线的性质

一、选择题

1.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=9,DE=2,AB=5,则边AC的长是(　　)

A.3　　B.4　　C.5　　D.6

2.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是(　　)

A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D.以上均不正确

3.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,

连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为(　　)

A.4　　B.3　　C.2　　D.1

4.如图,P是△ABC的三条角平分线的交点,连接PA、PB、PC,若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3,则(　　)

A.S1<S2+S3　　　　B.S1=S2+S3

C.S1>S2+S3　　　　D.无法确定S1与(S2+S3)的大小

5.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为(　　)

A.8　　 B.7.5　　

C.15　　D.无法确定

6.在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AC,垂足为点E,若BD=3,则DE的长为(　　)

A.3　　B.　　

C.2　　D.6

7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB于点E,DE平分∠ADB,则∠DBA等于(　　)

A.22.5°　　B.30°　　

C.25°　  　D.40°

8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,DC=AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于(　　)

A.4　　B.3　　

C.2　　D.1

9.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是(　　)

A.24　　B.30　　

C.36　　D.42

二、填空题

10.如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等,若∠A=70°,则∠BOC=　　　　. 

11.在△ABC中,AB=5,BC=8,AC=6,AD平分∠BAC,

则S△ABD∶S△ACD=　　　　. 

12.如图,已知△ABC的周长是16,BM和CM分别平分∠ABC和∠ACB,过点M作BC的垂线交BC于点D,且MD=4,则△ABC的面积是　　　　. 

13.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB于点E,且AB=6 cm,则△DEB的周长为　　　　. 

三、解答题

14.如图,DE⊥直线AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF,求证:AD平分∠BAC.

15.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG垂直平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.

(1)求证:BE=CF;

(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.

16.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.

(1)求证:CF=EB;

(2)若AB=12,AF=8,求CF的长.

答案全解全析

一、选择题

1.答案　B　如图,过D作DF⊥AC于F,

∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,

∴DF=DE=2,

∵S△ADB=AB·DE=×5×2=5,S△ABC=9,

∴△ADC的面积为9-5=4,

∴AC·DF=4,∴AC×2=4,

∴AC=4.

2.答案　A　如图所示,过两把直尺的交点P作PE⊥AO,PF⊥BO,

∵两把长方形直尺完全相同,∴PE=PF,

∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).

3.答案　A　当DP⊥BC时,DP的长最小,

∵BD⊥CD,∴∠BDC=90°,

∵∠A=90°,∠ADB=∠C,∠A+∠ADB+∠ABD=180°,∠BDC+∠C+∠CBD=180°,

∴∠ABD=∠CBD,∴当DP⊥BC时,DP=AD,

∵AD=4,∴DP长的最小值是4.

4.答案　A　过P点作PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,如图,

∵P是△ABC的三条角平分线的交点,∴PD=PE=PF,

∵S1=AB·PD,S2=BC·PF,S3=AC·PE,

∴S2+S3=(AC+BC)·PD,

∵AB<AC+BC,∴S1<S2+S3.故选A.

5. 答案　B　过D点作DE⊥BC于E,如图,

∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,∠A=90°,

∴DE=DA=3,

∴△BCD的面积=×5×3=7.5.故选B.

6. 答案　A　∵∠B=90°,∴DB⊥AB,

又∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,∴DE=BD=3,故选A.

7. 答案　B　在△ABC中,∠C=90°,AD是∠CAB的平分线,

DE⊥AB,∴CD=ED.

在Rt△ACD和Rt△AED中,

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴∠ADC=∠ADE.

∵∠ADC+∠ADE+∠EDB=180°,DE平分∠ADB,

∴∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°.

∵∠B+∠EDB=90°,∴∠B=30°.故选B.

8. 答案　C　如图,过点D作DE⊥AB于点E,

∵AC=8,DC=AD,∴CD=8×=2,

∵∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB,

∴DE=CD=2,即点D到AB的距离为2.故选C.

9. 答案　B　如图,过D作DH⊥AB交BA的延长线于H,

∵BD平分∠ABC,∠BCD=90°,∴DH=CD=4,

∴四边形ABCD的面积

=S△ABD+S△BCD=AB·DH+BC·CD=×6×4+×9×4=30,故选B.

二、填空题

10.答案　125°

解析　∵在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等,

∴O为△ABC的三条内角平分线的交点,

∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,

∵∠A=70°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°,

∴∠OBC+∠OCB=55°,

∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=125°.

11.答案　5∶6

解析　如图,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,

∵AD平分∠BAC,∴DE=DF,

设DE=DF=a>0,

∵S△ABD=AB·DE=×5×a=a,S△ACD=AC·DF=×6×a=3a,

∴S△ABD∶S△ACD=∶(3a)=5∶6.

12.答案　32

解析　如图,连接AM,过M作ME⊥AB于E,MF⊥AC于F,

∵MD⊥BC,BM和CM分别平分∠ABC和∠ACB,MD=4,

∴ME=MD=4,MF=MD=4,

∵△ABC的周长是16,∴AB+BC+AC=16,

∴△ABC的面积

=S△ABM+S△BCM+S△ACM=AB·ME+BC·MD+AC·MF

=×AB×4+×BC×4+×AC×4=2AB+2BC+2AC=2(AB+BC+AC)

=2×16=32,

故答案为32.

13. 答案　6 cm

解析　∵AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,

∴CD=DE,

在Rt△ACD和Rt△AED中,

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),

∴AC=AE,

∴△DEB的周长

=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB,

∵AB=6 cm,

∴△DEB的周长为6 cm.

三、解答题

14.证明　∵DE⊥直线AB,DF⊥AC,∴∠E=∠DFC=90°,

在Rt△BDE和Rt△CDF中,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),

∴DE=DF,∴AD平分∠BAC.

15.解析　(1)证明:如图,连接BD,CD,

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,

∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,

∵DG垂直平分BC,∴∠BGD=∠CGD=90°,BG=CG,

又∵DG=DG,∴△BGD≌△CGD,∴BD=CD,

在Rt△BED与Rt△CFD中,

∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF.

(2)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,

在△AED和△AFD中,

∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF,

设BE=x,则CF=x,

∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF,

∴5-x=3+x,解得x=1,

∴BE=1,∴AE=AB-BE=5-1=4.

16.解析　(1)证明:∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,∴DE=DC.

在Rt△CDF与Rt△EDB中,

∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),∴CF=EB.

(2)设CF=EB=x,则AE=12-x,AC=8+x,

由(1)知DE=DC.

在Rt△ACD与Rt△AED中,

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),

∴AC=AE,即8+x=12-x,解得x=2,∴CF=2.