数学2.5 等腰三角形的轴对称性课时练习

这是一份数学2.5 等腰三角形的轴对称性课时练习，共58页。
2.5 等腰三角形的轴对称性

1．（2022·江苏·射阳县第六中学八年级期末）等腰三角形的底角等于，则该等腰三角形的顶角度数为（          ）
A． B． C．或 D．或
2．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的高．若∠CBD=20°，则∠BAC的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2022·江苏·南京市金陵汇文学校八年级期末）若等腰三角形的一个内角为92°，则它的顶角的度数为（   ）
A．92° B．88° C．44° D．88°或44°
4．（2022·江苏南通·八年级期末）等腰三角形的一个内角是，则它的一个底角的度数是（     ）
A． B．
C．或 D．或
5．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（     ）

A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16 cm
6．（2022·江苏淮安·八年级期末）三角形的三边长，，满足，那么这个三角形一定是（       ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．钝角三角形
7．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在中，∠ACB=90°，为的中点，点在上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠CDE的大小为（       ）

A．70° B．75° C．80° D．85°
8．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
9．（2022·江苏常州·八年级期末）等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是
A．9cm B．12 cm C．12 cm或15 cm D．15 cm
10．（2022·江苏扬州·八年级期末）若a，b为等腰△ABC的两边，且满足，则△ABC的周长为（       ）
A．11 B．13 C．11或13 D．9或15
11．（2022·江苏江苏·八年级期末）如图，在中，，，，则的度数为（       ）

A．87° B．88° C．89° D．90°
12．（2022·江苏苏州·八年级期末）苏州素有“园林之城”美誉，以拙政园、留园为代表的苏州园林“咫尺之内再造乾坤”，是中华园林文化的翘楚和骄傲．如图，某园林中一亭子的顶端可看作等腰，其中，若是边上的一点，则下列条件不能说明是角平分线的是（       ）

A．点到，的距离相等 B．
C． D．
13．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．（2022·江苏苏州·八年级期末）在中，为边上的中线，，．下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④，其中正确结论的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）

A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
16．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且有下列结论：①；②为等边三角形；③；④其中正确的结论是（ ）

A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
17．（2022·江苏镇江·八年级期末）如图，在中，，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若，点是的中点，为边上一动点，则的最小值为（       ）

A．1 B． C． D．2
18．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（       ）

A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④
19．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的一个底角的度数为_____．
20．（2022·江苏省南京二十九中教育集团致远中学八年级期末）若等腰三角形的底角为55°，则这个等腰三角形的顶角是________°．
21．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为____________．

22．（2022·江苏扬州·八年级期末）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是______．
23．（2022·江苏扬州·八年级期末）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 _____cm．
24．（2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为______．

25．（2022·江苏·南京市第一中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，则∠ABD＝______°．

26．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF，将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC=_________°．

27．（2022·江苏扬州·八年级期末）在等腰三角形ABC中，，则的度数为______．
28．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在中，，D，E是内的两点，AE平分，，若BD=6cm，DE=4cm，则BC的长是______cm．


29．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB，AC于M，N，则的周长为_______


30．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，在锐角△ABC中，∠A=80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为_______°．

31．（2022·江苏·南京市金陵汇文学校八年级期末）如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是______海里．

32．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为_____cm．

33．（2022·江苏南京·八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______．
34．（2022·江苏盐城·八年级期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成．两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E在槽中滑动，若∠BDE＝84°．则∠CDE是_________ °．

35．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上．

（1）求证：∠EAC＝∠BAD；
（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数．
36．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．

37．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）（1）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，与相等吗？请你给出证明；
（2）变式拓展：如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：
①与还相等吗？为什么？
②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．

38．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，AB = 2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留作图痕）
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线;
（2）在图2中，若BA = BD，画出△ABD的∠ABD的角平分线.


39．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，已知．用三种不同的方法作等于．要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法．

40．（2022·江苏·南京市金陵汇文学校八年级期末）如图，已知，用三种不同的方法画出的平分线．要求：（1）画图工具：带有刻度的直角三角板；（2）保留画图痕迹，简要写出画法．

41．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在中，，于点D．
（1）若，求的度数；
（2）若点E在边AB上，交AD的延长线于点F．求证：．

42．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证：
（1）△ACD≌△BEC；       
（2）CF⊥DE．

43．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）如图，在和中，，，，，垂足为．连接，连接并延长交的延长线于点．


（1）求证；
（2）若，求证．
44．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，F是BC的中点．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求BC的长．
45．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边．求证．

46．（2022·江苏南通·八年级期末）在等边中，线段为边上的中线．动点在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结BE．
（1）若点在线段上时（如图），则 （填“＞”、“＜”或“=”），　 　度；

（2）设直线BE与直线的交点为O.
①当动点在线段的延长线上时（如图），试判断与的数量关系，并说明理由；

②当动点在直线上时，试判断是否为定值？若是，请直接写出的度数；若不是，请说明理由．
47．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，E、F分别是边AB、AC上的点，且AE＝CF，且CE、BF交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若PG＝1，求EP的长度．

48．（2022·江苏连云港·八年级期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC=10，求△ODE的周长．

49．（2022·江苏南通·八年级期末）如图1，在中，，，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．

(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；
(2)若与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出的度数：
(3)翻折后，当和的重叠部分为等腰三角形时，直接写出的度数．
50．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．

(1)发现：如图1，连接CE，则△BCE的形状是_______________，∠CDB=____________°；
(2)探索：如图2，点P为线段AC上一个动点，当点P在CD之间运动时，连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ，即△BPQ是等边三角形；
思路：在线段BD上截取点H，使DH=DP，得等边△DPH，由∠DPQ=∠HPB，PD=PH，∠QDP=∠BHP，易证△PDQ≌△PHB（ASA），得PQ=PB，即△BPQ是等边三角形．
试判断线段DQ、DP、AD之间的关系，并说明理由；
(3)类比：如图3，当点P在AD之间运动时连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ．
①试判断△BPQ的形状，并说明理由；
②若AD=2，设AP=x，DQ=y，请直接写出y与x之间的函数关系式．
51．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F．

（1）连接CE，求证：∠CAE＝∠CEA
（2）当BD＜AD时，求∠AFC的大小；
（3）若AD＝AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明．
52．（2022·江苏苏州·八年级期末）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图①是一块边长为的等边三角形学具，是边上一个动点，由点向点运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．

(1)【问题】填空：_____；
(2)【问题】当时，求的值；
(3)【探究】如图②，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
53．（2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，∠AOB＝30°，点M，N在边OA上，点N在点M的上方，MN＝2，点M从O开始沿着射线OA移动，移动距离为x，点P是边OB上的点．

(1)利用直尺和圆规在图1确定点P，使得PM＝PN；
(2)在整个移动过程中，使P、M、N构成等腰三角形的点P最少有 个，最多有 个；当x＝2时，这样的点P有 个．
(3)若使P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有3个，写出x满足的条件．

参考答案
1．B
【解析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角即可．
解：∵三角形为等腰三角形，且底角为50°，
∴顶角＝180°﹣50°×2＝80°．
故选：B．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，题目比较简单，理解等腰三角形两个底角相等是解题关键．
2．B
【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
解：∵BD为△ABC的高，
∴∠BDC=90°．
∵∠CBD=20°，
∴∠C=90°-∠CBD=90°-20°=70°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=70°，
又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°．
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB
=180°-70°-70°=40°．
故选：B．
本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题．
3．A
【解析】已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论．
解：（1）若等腰三角形一个底角为92°，因为92°+92°=184°＞180°，所以这种情况不可能出现，舍去；
（2）等腰三角形的顶角为92°．
因此这个等腰三角形的顶角的度数为92°．
故选A.
本题考查了等腰三角形的性质.如果已知等腰三角形的一个内角要求它的顶角，需要分该内角是顶角和这个内角是底角两种情况讨论.本题能根据92°角是钝角判断出92°只能是顶角是解题关键.
4．A
【解析】由题意知， 100°的内角为等腰三角形的顶角，进而可求底角．
解：∵在一个内角是 100°的等腰三角形中，该内角必为顶角
∴底角的度数为
故选A．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于明确该三角形为钝角等腰三角形．
5．A
【解析】根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵BD＝CD，
∴DE=AB，
∵△ABC的周长为20，即AB+BC+AC=20cm，
∴△CDE的周长＝DE＋CD＋CE＝（AB+BC+AC）=10cm，
故选：A．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6．B
【解析】由，可得且且 可得于是可得结论.
解：
且且
且且

是等边三角形.
故选B
本题考查的是非负数的性质，等边三角形的判定，掌握“则”是解本题的关键.
7．B
【解析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE=∠AEC=45°，求得∠CAB=60°，得到∠B=30°，根据直角三角形的性质得到CD=BD=AD=AB，得到△ADC是等边三角形，∠DCB=∠B=30°，于是得到结论．
解：∵∠ACB=90°，CE=AC，
∴∠CAE=∠AEC=45°，
∵∠BAE=15°，
∴∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=AD=AB，
∴△ADC是等边三角形，∠DCB=∠B=30°，
∴AC=DC=CE，
∴∠CDE=∠CED=×（180°-30°）=75°，
故选：B．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．C
【解析】分类讨论2是腰与底，根据三角形三边关系验证即可．
解：当2为腰时，三角形的三边是2，2，5，因为2+2＜5，所以不能组成三角形；
当2为底时，三角形的三边是2，5，5，所以三角形的周长=12，
故选C．
本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系，掌握等腰三角形的性质、三角形的三边关系．
9．D
解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．

当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm．
故选D．
10．C
【解析】根据非负数的意义求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．
解：根据题意得a-3=0，b-5=0，解得a=3，b=5，
（1）若5是腰长，则三角形的三边长为：5、5、3，
能组成三角形，周长为5+5+3=13；
（2）若5是底边长，则三角形的三边长为：3、3、5，
能组成三角形，
周长为3+3+5=11．
故选：C．
本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程式正确解答本题的关键．
11．A
【解析】延长DB至E，使BE＝AB，连接AE，则DE＝CD，从而可求得∠C＝∠E＝31°，再根据三角形内角和可求度数．
解：延长DB至E，使BE＝AB，连接AE，
∴∠BAE＝∠E，
∵，
∴∠BAE＝∠E＝31°，
∵AB+BD＝CD
∴BE+BD＝CD
即DE＝CD，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∴∠C＝∠E＝31°，
∴；
故选：A．

此题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识点的综合运用．恰当作出辅助线是正确解答本题的关键．
12．D
【解析】根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可判断选项A，根据等腰三角形的性质（三线合一）即可判断选项B、选项C，选项D．
解：A．∵点D到AB、AC的距离相等，
∴AD是∠BAC的角平分线，故本选项不符合题意；
B．∵∠ADB=∠ADC，∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，故本选项不符合题意；
C．∵BD=CD，AB=AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，故本选项不符合题意；
D．AD=BC不能推出AD是△ABC的角平分线，故本选项符合题意；
故选：D．
本题考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质和角平分线的性质是解此题的关键．
13．A
解：∵，∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②，③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确．
故选A．

14．C
【解析】由题意得出AD=BD=CD，由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，由三角形内角和定理得出∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，即可判断结论①正确；由BD=CD=BC=3，可得△BCD是等边三角形，即可判断结论②，③正确；在Rt△ABC中，求出AC=AB =，即可判断结论④错误．
解：∵CD是AB边上的中线，AB=6，
∴AD=BD=AB=3，
∵CD=3，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，
∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
即∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，故①正确；
∵BD=CD=BC=3，
∴△BCD是等边三角形，故②正确；

故③正确；

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，
∴AC=AB=，
∵BC=3，
∴AC=BC，故④错误．
故选：C．
本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．A
【解析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．
解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF
＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．

本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．C
【解析】连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求∠PEA+∠PAE＝120°，可得 可判断②；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，由“SAS”可证△P′AC≌△∠EAC，延长至，使则点P关于AB的对称点P′，连接P′A，根据对称性质即可判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，由三角形的面积的和差关系可判断④．
解：如图，连接BP，


∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长至，使则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，


∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，

∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴．
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，


∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝AB＝AD，
∵S△ACB＝CB×AF＝（EC+CP）×AF＝EC×AF+CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC．故④正确．
所以其中正确的结论是①②④．
故选：C．
本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，垂直平分线的定义与性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
17．C
【解析】过作于，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质可得，再两点之间线段最短、垂线段最短可得的最小值为，利用勾股定理求出即可．
解：如图，过作于，过点作于，连接，

，点是的中点，
，
，
，
为正三角形，
，
，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
即的最小值为的长，
，，
，
，
即的最小值为，
故选：C．
本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确找出当点与点重合时，取得最小值是解题关键．
18．D
【解析】根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C，即可判断①；根据四边形内角和是360°可判断③，根据等腰直角三角形求出AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，求出∠FPC=∠EPA，根据ASA推出△APE≌△CPF，推出AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，再逐个判断②④⑤即可．
解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴∠B=∠C=×（180°-90°）=45°，AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，故①④正确；
根据等腰直角三角形的性质，EF=PE，
所以，EF随着点E、F的变化而变化，
只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故②错误；
在四边形AEPF中，∠BAC=90°，∠EPF=90°，
∴∠AFP+∠AEP=360°-（∠BAC+∠EPF）=180°，
即∠AFP和∠AEP互补，故③正确；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∵BP=CP，
∴S△APC=S△ABC，
∴四边形AEPF的面积=S△APE+S△APF
=S△CPF+S△APF
=S△APC
=S△ABC，故⑤错误，
故选D．
本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，能求出△APE≌△CPF是解此题的关键．
19．或##或
【解析】分情况讨论这个50°的角是顶角还是底角即可得出结果．
解：若50°的角是顶角，则底角是=65°，
∴此时三角形的底角为65°，
若50°的角是底角，则底角为50°
故答案是：50°或65°
本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和，解题的关键是根据等腰三角形的性质分情况讨论．
20．70
【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得．
解：∵等腰三角形的底角为55°，
∴等腰三角形的顶角为，
故答案为：70．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
21．
【解析】要求BE+EF的最小值，需考虑通过作辅助线转化EF，BE的值，从而找出其最小值求解．
解：连接CF，与AD交于点E．

∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴B、C关于AD对称，
∴CF就是BE+EF的最小值．
∵等边△ABC的边长为6，
∴AD=，
当CF⊥AB时，CF的值最小
∴AF=BF=3，
∴CF是AB的垂直平分线，
∴CF=AD=，
∵EF+BE=CF
∴EF+BE的最小值为．
故答案为：．
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是本题的关键．
22．17
【解析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3＋3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7＋7＋3＝17．
故答案为：17．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
23．20
【解析】根据等腰三角形的性质分类讨论，分4cm为腰和底两种情况，再根据构成三角形的条件以及三角形周长公式计算即可．
解：一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则
当4cm的边为腰时，这个三角形的三边分别为4cm ，4cm和8cm，
，不能构成三角形，故此情形不存在，
当4cm的边为底时，这个三角形的三边分别为4cm，8cm和8cm，周长为cm
故答案为：20
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．
24．50°##50度
【解析】由等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，可求解．
解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．
25．36
解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）÷2=72°，
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=36°，
故答案为36．
26．100
【解析】如图：连接BO，CO，根据角平分线性质和中垂线性质可得∠OAB=∠OBA；然后结合三角形内角和定理以及等边对等角可得∠ABC的度数；再证△ABO≌△ACO，进而求得∠OCB的度数；最后根据折叠变换的性质得出EO=EC，由等边对等角以及三角形内角和定理的知识即可求出∠OEC的度数．
解：连接BO，CO，

∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠OAC=25°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=25°，
∴∠OAB=∠ABO=25°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=40°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×40°=100°．
故答案是100．
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的性质、等边对等角的性质以及翻折变换的性质，正确作出辅助线、构造出等腰三角形是解答本题的关键．
27．45°或72°
【解析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可．
解：设，则，
当是顶角时，，
即：，
解得：，
此时；
当是底角时，，
即，
解得：，
此时，
故答案为：或．
本题考查等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解题关键，难度不大．
28．10
【解析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∴BD=DM=BM=6，


∵DE=4，
∴EM=6-4=2，
∵△BDM为等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ENM=90°，
∴∠NEM=30°，
∴NM==1，
∴BN=6-1=5，
∴BC=2BN=10（cm），
故答案为10．
此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．
29．6
【解析】根据BE、CE是角平分线和MN//BC可以得出MB=ME，NE=NC，继而可以得出△AMN的周长=AB+AC，从而可以得出答案．
解：∵BE，CE分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠ECB，
∵MN//BC，
∴∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NCE=∠NEC，
∴MB=ME，NC=NE，
∵AB=AC=3，
∴△AMN的周长
=AM+ME+NE+AN
=AM+MB+AN+NC
=AB+AC
=3+3
=6．
故答案为：6．
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出MB=ME，NE=NC是解题的关键．
30．10
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到BD=AD=CD，∠ABD=∠BAD，∠ACD=∠CAD，根据三角形内角和定理结合已知即可求得∠DBC的度数．
∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，
∴BD=AD=CD，
∴∠ABD=∠BAD，∠ACD=∠CAD，∠DBC=∠BCD，
∵∠ABD+∠BAD+∠ACD+∠CAD+∠DBC+∠BCD=180，
∴2(∠BAD+∠CAD+∠DBC) =180，
∵∠BAD+∠CAD=∠A=80°，
∴∠DBC=10°，
故答案为：10．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
31．20
【解析】根据题干所给的角的度数，易证是等腰三角形，而AB的长易求，即可根据等腰三角形的性质，得出BC的值．
解：据题意得，．
∵，即，
∴，
∴．
由题意可知这艘船行驶的时间为（小时）．
∴（海里），
∴（海里）．
故答案为：20．
本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，再用数学知识解决实际问题．
32．6
【解析】过E点作EF⊥AB于点F，根据“AAS”证明△EBF≌△DBC，得出EF＝CD，根据∠CBD＝45°，∠C＝90°，得出∠CDB＝∠CBD＝45°，证明CD＝BC＝6cm，即可得出结果．
解：过E点作EF⊥AB于点F，

∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，
∴BCAB＝6cm，∠ABC＝60°，
∵△BDE为等边三角形，
∴BE＝BD，∠EBD＝60°，
∴∠EBD＝∠ABC＝60°，
∵∠EBF＝∠EBD﹣∠ABD，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD，
∴∠EBF＝∠DBC，
∵在△EBF和△DBC中

，
∴△EBF≌△DBC（AAS），
∴EF＝CD，
∵∠CBD＝45°，∠C＝90°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BC＝6cm，
∴EF＝6cm，
即点E到AB边的距离为6cm．
故答案为：6．
本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识的综合运用，证明EF＝CD是解题的关键．
33．10

解：因为2+2=4，
所以腰长为2时不能构成三角形；
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：4+4+2=10，
答：它的周长是10，
故答案为：10．
34．68
【解析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝84°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝84°，
∴∠ODC＝28°，
∵∠CDE＋∠ODC＝180°−∠BDE＝96°，
∴∠CDE＝96°−∠ODC＝68°．
故答案为：68．
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
35．（1）见解析；（2）42°
【解析】（1）利用边边边证得△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质，可得∠AEC＝∠C＝69°，再由△ABC≌△ADE，可得∠AED＝∠C＝69°，   即可求解．
（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE．       
∴∠BAC＝∠DAE．     
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE．
即∠EAC＝∠BAD；
（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，
∴∠AEC＝∠C＝ ×(180°－∠EAC)＝ ×(180°－42°)＝69°．
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠C＝69°，     
∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质定理是解题的关键．
36．（1）证明见解析；（2）54°．
【解析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC=36°，进而根据等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，∠A=36°，
∴BD=AD，
即△ABD是等腰三角形；
（2）∵点E是AB的中点，
∴AE=EB，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE=90°﹣36°=54°．
此题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解题的关键．
37．（1）相等，见解析；（2）①，见解析；②，见解析
【解析】（1）过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求证；
（2）①过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求解；
②先证得，可得，再由，可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
（1）证明：如图1，过点作于，于．

∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①结论：．理由如下：
如图2，过点作于，于．

∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②结论：．理由如下：
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分上的点到角两边的距离相等；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
38．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）如图，连接交于 则即为所求作的中上的中线；
（2）如图，连接交于 再连接 相交于点 连接 并延长交于 则线段即为所求.
解：（1）如图，即为所求作的中上的中线，


（2）如图，是所求作的中∠ABD的角平分线，


本题考查的是三角形中线，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，同时考查利用图形的性质进行作图，熟练的运用三角形的全等与等腰三角形的性质是解本题的关键.
39．见解析
【解析】可根据五种基本尺规作图-作角、也可根据等腰三角形的等边对等角或线段垂直平分线的性质作等腰三角形即可．
解：如图①、②、③，即为所求．

，
本题考查基本尺规作图-作角、作垂线、作等腰三角形，涉及等腰三角形的等边对等角、线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图和基本几何图形的性质是解答的关键．
40．作图见解析
【解析】分别根据全等三角形的判定方法“SSS”和“HL”，即可有两种不同画法．再根据平行线的性质结合等腰三角形的性质，即可画出第三种画法．
①在AC上取线段AD，AB上取线段AE，使，再连接DE，并取DE中点F，最后连接AF并延长，则AF即为的平分线；

②在AC上取线段AG，AB上取线段AH，使．再过点G作，过点H作，GJ和HI交于点K，最后连接AK并延长，则AK即为的平分线；

③在AC上取线段AR，在AB上取线段AP，使AR=AP，过点P作，再在PQ上取线段PO，使PO=AR，连接AO并延长，则AO即为的平分线．

本题考查作图——角平分线，理解分别用全等三角形的判定方法“SSS”和“HL”，以及平行线的性质结合等腰三角形的性质来作图是解答本题的关键．
41．（1）48°；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；
（2）根据等腰三角形的性质得到根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论．
解：（1）∵，于点D，
∴，，
又，
∴；
（2）∵，于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
42．（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）根据平行线性质求出，根据推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出，根据等腰三角形性质求出即可．
证明：（1），
，
在和中

，
（2），
，
又平分，
．
本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，解题的关键是：注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
43．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）根据同角的余角相等可得，从而利用AAS可证明；
（2）根据已知可得△EFG和△CBG都为等腰直角三角形，再结合（1）中的全等进一步证明AB=FG，从而可得，结合垂直平分线的性质可证明结论．
解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴（AAS）；
（2）证明：∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
∴．
本题考查全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等．（1）中能利用同角的余角相等证明是解题关键；（2）中能结合图形得出△EFG和△CBG都为等腰直角三角形是解题关键．
44．（1）见解析；（2）4
【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证得，，进而证得=60°，则△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质求得即可求解．
（1）证明：∵BD，CE分别是AB、AC边上的高，
∴，
∵点F是BC中点，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
同理，
∵，，
∴，
∴


又是等腰三角形，
∴是等边三角形．
∴，
∴．

本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
45．见解析
【解析】由和是顶角相等的等腰三角形，得出知、、，证即可得证．
解：和是顶角相等的等腰三角形，得出，
，，，
在和中，
，
，
．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质．
46．（1），；（2）①，理由见解析；②
【解析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以得到∠ACD=∠BCE，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，进而得到；可根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以得到∠ACD=∠BCE，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，进而得到；
②分情况讨论，当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB=60°；当点D在线段AM的延长线上时，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD=30°即可得出答案；当点D在线段MA的延长线上时，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD，同理得出∠CAM=30°，求出∠CBE=∠CAD=150°，得出∠CBO=30°，即可得出答案．
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵线段AM为BC边上的中线，
∴∠CAM=∠BAC，
∴∠CAM=30°，
故答案为：=，30°；
（2）①，理由如下：
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
，
即，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
②∠AOB是定值，∠AOB=60°，理由如下：
当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB=60°；
当点D在线段AM的延长线上时，如图2所示：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD=30°，
∴∠AOB=90°-∠CBE=90°-30°=60°；
当点D在线段MA的延长线上时，如图3所示：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD，
同理可得：∠CAM=30°，
∴∠CBE=∠CAD=150°，
∴∠CBO=30°，
∴∠AOB=90°-∠CBO=90°-30°=60°；
综上所述，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB=60°．
本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
47．（1）见解析；（2）PE＝2
【解析】（1）证明△ACE≌△CBF（SAS），即可得到∠ACE＝∠CBF；
（2）利用由（1）知∠ACE＝∠CBF，求出∠BPE＝60°，又EG⊥BF，即∠PGE＝90°，得到∠GEP＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP 的长．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠BCF＝60°，AB＝AC，
在△ACE与△BCF中，
AC＝BC，∠A＝∠BCF，AE＝CF，
∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴∠ACE＝∠CBF；
（2）解：∵由（1）知，∠ACE＝∠CBF，
又∠ACE＋∠PCB＝∠ACB＝60°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°，
∴∠BPE＝60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE＝90°，
∴∠GEP＝30°，
∴在Rt△PGE中，PE＝2PG，
∵PG＝1，
∴PE＝2．
本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△ACE≌△CBF．
48．（1）△ODE是等边三角形；理由见解析；（2）△ODE的周长为10．
【解析】(1)根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；
(2)根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，问题得解.
解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵BO平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO=∠DBO，∠ABO=∠DOB，
∴∠DOB=∠DBO，
∴BD=OD；同理可证CE=OE；
∴△ODE的周长=BC=10．
故答案为(1)△ODE是等边三角形；理由见解析；(2)10．
本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三条边相等，三个内角都是60°是解答此题的关键．
49．(1)，理由见解析
(2)70°
(3)或或70°


【解析】（1）由沿翻折可知， 可知为等腰三角形，，，计算求解即可；
（2）与全等，分两种情况讨论；①，，，求的值然后判断此时与是否全等，若全等，则的值即为所求；②，，，求的值然后判断此时与是否全等，若全等，则的值即为所求；
（3）分情况讨论①由题意知（2）中时符合题意，②如图3，重合部分的等腰三角形中，，，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即，计算求解即可；③如图4，重合部分的等腰三角形，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即，计算求解即可.
(1)
解：
由沿翻折可知
∵为的中点
∴
∴为等腰三角形
∴
∵
∴
∴．
(2)
解：∵，是等腰三角形，与全等
∴①如图1，当时，为等腰三角形，为等腰三角形

∴，
∵
∴
∴当时，点在的下方，不符合题意；
又∵，
∴与不全等，舍去；
②如图2

当时，为等腰三角形，为等腰三角形
∴
∴
∴四边形AEFD、CDEF均是平行四边形
∴与全等
∴
∴当时，与全等，；
综上所述，若 与以点为顶点的三角形全等，的值为．
(3)
解：①由（2）中图2可知当时，在内，此时两个三角形的重叠部分为等腰三角形；
②如图3，为与重合的等腰三角形

∴，
∵，
∴
∴
∴；
③如图4，为与重合的等腰三角形

∴
∵，
∴
∴
∴；
综上所述，当和的重叠部分为等腰三角形时，的值为或或．
本题考查了等腰三角形，几何图形折叠对称，三角形全等，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的分析可能存在的情况．
50．(1)等边三角形，60；
(2)AD=DQ+DP，见解析；
(3)①△BPQ是等边三角形，见解析；② y=-x+4

【解析】（1）根据直角三角形的两锐角互余求得∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求得∠ABD=∠CBD=∠A=30°，则AD=BD，根据等腰三角形的性质证得AE=BE，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BE，根据等边三角形的判定即可得出结论；
（2）根据思路和全等三角形的性质得出BH=DQ，结合AD=BD，BD=DH+BH即可解答；
（3）延长BD至F，使DF=PD，连接PF，可证得△PDF是等边三角形，则有PF=PD，∠F=∠PDF=∠DPF=60°，进而可得∠F=∠PDQ=60°，证明∠BPF=∠QPD，利用ASA证明△PBF≌△PQD，得出PB=PQ，BF=DQ，结合∠BPQ=60°和AD=BD即可得出①②的结论．
(1)
解：如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，
∴∠ABD=∠A，∠CDB=90°－∠CBD=60°，
∴AD=BD，又DE⊥AB，
∴AE=BE=AB，又∠ACB=90°，
∴CE=AB=BE，又∠ABC=60°，
∴△BCE是等边三角形，
故答案为：等边三角形，60；
(2)
解：AD=DQ+DP，理由为：
在线段BD上截取点H，使DH=DP，如图2，
∵∠CDB=60°，
∴△DPH为等边三角形，
∴DP=PH，∠DPH=∠DHP=60°，又∠BPQ=60°，
∴∠DPQ+∠QPH=∠HPB+∠QPH=60°，∠BHP=120°，
∴∠DPQ=∠HPB，
∵∠A=30°，DE⊥AB，
∴∠QDP=∠A+∠AED=30°+90°=120°，
∴∠QDP=∠BHP，
在△PDQ≌△PHB中，

∴△PDQ≌△PHB（ASA），
∴DQ=BH，PQ=PB，
∵AD=BD，∠BPQ=60°，
∴△BPQ为等边三角形，AD=BD=BH+DH=DQ+DP，
即AD=DQ+DP；
(3)
解：①△BPQ为等边三角形，理由为：
延长BD至F，使DF=DP，连接PF，设DQ和BP相交于O，如图3，
∵∠PDF=∠CDB=60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴PF=DP，∠F=∠PDF=∠DPF=60°，
∵∠A=30°，DE⊥AB，   
∴∠PDQ=90°－∠A=60°，
∴∠F=∠PDQ=60°，
∵∠DPF+∠DPB =∠BPQ+∠DPB，又∠BPQ=60°，
∴∠BPF=∠QPD，
在△PBF和△PQD中，
，
∴△PBF≌△PQD（ASA），
∴PB=PQ，BF=DQ，又∠BPQ=60°，
∴△BPQ为等边三角形；
②∵ DF=DP，BF=DQ，AD=BD，
∴DQ=BF=BD+DF=AD+DP，
∵AD=2， AP=x，DQ=y，
∴y=2+2－x，即y=－x+4．

本题考查含30°角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系和运用，利用类比的方法解决问题是解答的关键．
51．（1）见解析；（2）45°；（3）AE＝CD，证明见解析
【解析】（1）根据轴对称的性质，得，，根据全等三角形的性质，通过证明，推导得AC＝EC，再根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案；
（2）设∠BCD＝α，结合题意，得；根据三角形内角和性质，推导得∠CAE，结合三角形外角的性质分析，即可得到答案；
（3）连接BF，根据题意，得AD＝BC，根据垂直平分线和全等三角形性质，通过证明△ADF≌△CBF，得AF＝CF，DF＝BF＝EF，通过计算即可得到答案．
（1）∵点B关于直线CD的对称点为E
∴CD垂直平分BE，
∴，
在和中

∴
∴，∠BCD＝∠ECD
又∵AC＝BC
∴AC＝EC
∴∠CAE＝∠CEA；
（2）设∠BCD＝α，由（1）知∠BCD＝∠ECD＝α
∵∠ACB＝90°
∴
∴∠CAE＝∠CEA＝45°+α
∴∠ECD+∠AFC＝∠CEA＝45°+α，
∴∠AFC＝∠CEA -∠ECD =45°；
（3）连接BF       

∵AC＝AD，AC＝BC        
∴AD＝BC
∵CD垂直平分BE，
∴FE＝FB     
∴∠AFD＝∠BFD
由（2）得∠CAE＝∠CAB+∠DAF＝45°+α ， ∠CAB＝45°
∴∠BCD＝∠FAD＝α   
在△ADF和△CBF中

∴△ADF≌△CBF
∴AF＝CF，DF＝BF＝EF     
∴AF-EF＝CF-DF，即AE＝CD．
本题考查了三角形、轴对称、垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形、等腰三角形、轴对称、直角三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．
52．(1)24
(2)4
(3)线段DE的长度不改变，DE=6

【解析】（1）由线段和差关系可求解；
（2）由直角三角形的性质可列方程，即可求t的值；
（3）连接EQ，PF，由全等三角形的性质可证AB=EF，由题意可证四边形PEQF是平行四边形，可得DE=DF．
(1)
解：∵△ABC是边长为12的等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=BC=AC=12，
设AP=t cm，
则PC=（12-t）cm，QB=t cm，
∴QC=QB+BC=（12+t）cm，
∴CP+CQ=12-t+12+t=24（cm），
故答案为：24．
(2)
解：∵∠ACB=60°，∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
∴QC=2PC，
∴12+t=2（12-t），
∴t=4；
(3)
解：线段DE的长度不改变，
过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，连接EQ，PF，

∵PE⊥AB，QF⊥AB
∴QF∥PE
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
∵AP=BQ，∠AEP=∠QFB，∠A=∠QBF，
∴△AEP≌△BFQ（AAS），
∴AE=BF，QF=PE，
∴BE+AE=BF+BE，
∴AB=EF=12，
∵PE⊥AB，QF⊥AB，
∴QF∥EP，QF=PE，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=DF=EF=6．
本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键．
53．(1)见解析
(2)1，4，1
(3)或

【解析】（1）作线段的垂直平分线，交于点，从而可得答案；
（2）如图，过作于 当时，即此时为等腰三角形只有1个， 如图，当为腰的等腰三角形有2个时，过作于 过作于 此时，且 即时，所以此时的点只有3个，当时，如图，而为等腰三角形，证明为等边三角形，所以此时点只有1个，如图，当为腰的等腰三角形有2个时，可得此时 可得 所以以为腰的等腰三角形只有1个，则此时的点有4个，从而可得答案；
（3）分六种情况进行讨论即可得到答案.
(1)
解：如图，点即为所求作的点，

(2)
解：由的垂直平分线与的交点为，则始终是等腰三角形，
如图，过作于

当时，而
即 此时为等腰三角形只有1个，即当时，是等腰三角形，
如图，当为腰的等腰三角形有2个时，过作于 过作于

此时，且 即时，所以此时的点只有3个，
当时，如图，而为等腰三角形，
当时，


为等边三角形，

同理可证：当或 为等边三角形，
所以此时点只有1个，
如图，当为腰的等腰三角形有2个时，可得此时

而 则等于到的距离的2倍，

所以以为腰的等腰三角形只有1个，
则此时的点有4个，
综上：在整个移动过程中，使P、M、N构成等腰三角形的点P最少有1个，最多有4个；当x＝2时，这样的点P有1个．
故答案为：
(3)
解：当 即重合时，
如图，此时满足为等腰三角形的点有3个，

当时，由（2）可得，此时满足为等腰三角形的点有4个，
当时，由（2）可得，此时满足为等腰三角形的点有1个，
如图，当时，过作于 则

此时满足为等腰三角形的点有2个，
结合（2）可得：当时，满足为等腰三角形的点有3个，
由（2）可得：当时，满足为等腰三角形的点有1个，
综上：当或满足为等腰三角形的点有3个，
本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题最大的难点.