初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性课时训练

这是一份初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性课时训练，共15页。试卷主要包含了平面直角坐标系中，已知A，已知等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共8小题，满分40分）
1．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
3．平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（2，0）．若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
5．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（ ）
①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（ ）
A．90°B．70°C．45°D．30°
7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6，DE＝2，则BC的长度是（ ）
A．6B．8C．9D．10
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共7小题，满分35分）
9．在△ABC中，∠A＝20°，当∠B＝ 时，△ABC为等腰三角形．
10．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．
11．如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为 cm2．
12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为 ．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
15．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ．
三．解答题（共5小题，满分45分）
16．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
18．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：MN∥AB．
19．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．
（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为 ，∠APB的大小为 （直接写出结果，不证明）
20．阅读并完成以下问题：
已知，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于点E、F．当AB＝AC，易证△BEO与△CFO为等腰三角形，则有EF＝BE+CF．（如图1）
①当AB≠AC，其他条件不变，如图（2），则EF＝BE+CF还成立吗？答： ．
②当AB≠AC时，作∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图（3），这时EF与BE、CF间的关系又如何呢？请写出并证明你的结论？
③当AB≠AC时，作∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线或延长线交于O，过O点作BC的平行线，交AB延长线于E，交AC的延长线于F．请根据以上的要求画出图形，并直接写出这时EF与BE、CF间的关系？
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
2．解：共有5个．
（1）∵AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴△BCE是等腰三角形；
（3）∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
又BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．
故选：A．
3．解：∵点A、B的坐标分别为A（1，1），B（2，0）．
∴AB＝，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（2，0），
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．
故选：C．
4．解：选②AD＝BE；③AF＝BF，不能证明△ADF与△BEF全等，所以不能证明∠1＝∠2，
故不能判定△ABC是等腰三角形．
故选：C．
5．解：∵BF是∠AB的角平分线，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；故①正确；
同理，EF＝CE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；
当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，
但△ABC不一定是等腰三角形，
∴DF不一定等于EF，故④错误；
故选：C．
6．解：如图，
∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，
∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝70°，
故选：B．
7．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴BE＝EM
∵BE＝6，DE＝2，
∴DM＝EM﹣DE＝6﹣2＝4，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝2，
∴BN＝4，
∴BC＝2BN＝8，
故选：B．
8．解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分35分）
9．解：当∠A为顶角等于20°时，
∴底角∠B＝（180°﹣20°）＝80°，△ABC是等腰三角形，
当∠A＝∠B＝20°时，△ABC是等腰三角形，
当∠A＝∠C＝20°时，则∠B＝140°，△ABC是等腰三角形，
故答案为：80°或20°或140°．
10．解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
11．解：如图，延长AP交BC于点Q，
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，
∴AP＝QP，
∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，
∴S△ABC＝2S阴影＝8（cm2），
故答案为：8．
12．解：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于点D
∴BD＝CD
∵AB＝6，CD＝4
∴△ABC的周长＝6+4+4+6＝20．
故答案为：20．
13．证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，
∴∠E＝∠BFP，
又∵∠BFP＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰三角形．
又∵AF＝2，BF＝3，
∴CA＝AB＝5，AE＝2，
∴CE＝7．
14．解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝45°，
∴∠A＝45°，
即顶角的度数为45°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BAC＝135°．
故答案为45°或135°．

15．解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，
∴AB＝2BC或BC＝2AB，
若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，
∴腰AB的长为6；
若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，
∵1.5+1.5＝3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，腰AB的长是6，
故答案为：6．
三．解答题（共5小题，满分45分）
16．证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE．
17．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B
（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，
∴∠DEF＝∠B，
∴AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠DEF＝∠B＝＝70°．
18．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，
∵∠DCA＝∠ECB＝60°，
∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD；
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM＝∠CDN，
∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN＝60°，
在△ACM与△DCN中，
∵，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC＝NC，
∵∠MCN＝60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC＝∠DCN＝60°，
∴∠NMC＝∠DCA，
∴MN∥AB．
19．解：（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
②证明：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，
∴∠APB＝60°；
（2）AC＝BD，∠APB＝α．
20．解：①∵OB平分∠ABC，
∴∠CBO＝∠ABO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠BOE，
∴BE＝OE，
同理可得CF＝OF，
∵EF＝EO+OF，
∴EF＝BE+CF；
故答案为：成立；
②∵OB平分∠ABC，
∴∠CBO＝∠ABO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠BOE，
∴BE＝OE，
同理可得CF＝OF，
∵EF＝EO﹣OF，
∴EF＝BE﹣CF；
③如图，∵OB平分∠ABC的外角，
∴∠CBO＝∠EBO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE＝∠CBO，
∴∠EBO＝∠BOE，
∴BE＝OE，
同理可得CF＝OF，
∵EF＝EO+OF，
∴EF＝BE+CF．