初中数学9上专题十+有关切线的辅助线作法同步测试+新人教版含答案

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有关切线的辅助线作法
一　切线的性质
(教材P101习题24.2第5题)
如图1，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.
证明：连接OP.∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB.在大圆中由垂径定理得AP＝BP.

图1
　　　
图2
【思想方法】 圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法．
　如图2，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为(　C　)
A．3 cm　　B．4 cm　　C．6 cm　　D．8 cm
　如图3，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE.
(1)求证：AE平分∠CAB；
(2)探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE＝EC时∠C的值．

图3

变形2答图
解：(1)证明：如图，连接OE，∵BC是⊙O的切线，且切点为E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.又∵△ABC是直角三角形，∴∠B＝90°，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥AB，∴∠BAE＝∠OEA.∵OA＝OE，∴∠1＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠1，∴AE平分∠CAB.
(2)∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC＋∠C＝90°.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC＝2∠1，∴2∠1＋∠C＝90°，即∠1＝(90°－∠C)．当AE＝EC时，∠1＝∠C，则2∠C＋∠C＝90°，∴∠C＝30°.

图4
　如图4，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过点T作AD的延长线于点C.
(1)求证：CT为⊙O的切线；
(2)若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长．
解：(1)证明：连接OT
∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA
又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT
∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC
又∵CT⊥AT，∴CT⊥OT
∴CT为⊙O的切线．

(2)解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点
又∵CT⊥AC，∴OE∥CT
∴四边形OTCE为矩形
∵CT＝，∴OE＝
又∵OA＝2
∴在Rt△OAE中，AE＝＝＝1
∴AD＝2AE＝2.
二　切线的判定
(教材P101习题24.2第4题)
如图5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．
证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线．∴OC⊥AB.
∴AB是⊙O的切线．

图5
【思想方法】 证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．
　如图6，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

图6
解：CD与⊙O相切．理由如下：
连接DO，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDO＝∠AOD＝90°.又∵OD是⊙O的半径，CD经过点D，
∴CD是⊙O的切线．
　[2012·温州]如图7，△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．

图7

变形2答图
解：(1)证明：如图，连接OD，∵∠DOB＝2∠DCB，
又∵∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB.
又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°，
∴∠BDO＝90°，∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切线．
(2)解法一：如图，过点O作OM⊥CD于点M，
∵OD＝OE＝BE＝BO，∠BDO＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠DCB＝30°，
∴OC＝2OM＝2，∴OD＝2，BO＝4，∴BD＝2.
解法二：如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，
∵OM⊥CD，∴CM＝DM.
又∵OC＝OE，∴DE＝2OM＝2.
∵Rt△BDO中，OE＝BE，∴DE＝BO，
∴BO＝4，∴OD＝OE＝2，∴BD＝2.

图8
　如图8，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．
(1)求AD的长；
(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
解：(1)连接BD，则∠DBE＝90°.

∵四边形BCOE是平行四边形，
∴BC∥OE，BC＝OE＝1.
在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝AD＝1.
∴AD＝2.
(2)连接OB，由(1)得
BC∥OD，且BC＝OD.
∴四边形BCDO是平行四边形．
又∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AD.
∴四边形BCDO是矩形．
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

图9
　如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝4，BE＝2.
求证：(1)四边形FADC是菱形；
(2)FC是⊙O的切线．
解：(1)
连接OC，
依题意知：AF⊥AB，又CD⊥AB，
∴AF∥CD，又CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
由垂径定理得：CE＝ED＝CD＝2，
设⊙O的半径为R，则OC＝R，OE＝OB－BE＝R－2，在△ECO中，由勾股定理得：R2＝(R－2)2＋(2)2，解得：R＝4，
∴AD＝＝＝4，∴AD＝CD，
因此平行四边形FADC是菱形；
(2)
连接OF，由(1)得：FC＝FA，又OC＝OA，FO＝FO，
∴△FCO≌△FAO，
∴∠FCO＝∠FAO＝90°，
因此FC是⊙O的切线．
第3课时　切线长定理和三角形内切圆　[见B本P46]

1．如图24－2－30，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(　B　)

图24－2－30
A．4　　　B．8　　　C．6　　　D．10
【解析】 ∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA＝PB，又∵∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形，即AB＝PA＝8，
2．如图24－2－31，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是(　D　)

图24－2－31
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO
3．如图24－2－32，已知△ABC中，⊙I内切于△ABC，切点分别为D，E，F，则I是△DEF的(　A　)

图24－2－32
A．外心 　B．内心　 C．重心 　D．垂心
【解析】 ⊙I是△DEF的外接圆．
4．如图24－2－33，已知PA，PB切⊙O于A，B，C是劣弧上一动点，过C作⊙O的切线交PA于M，交PB于N，已知∠P＝56°，则∠MON＝(　C　)

图24－2－33
A．56° B．60° C．62° D．不可求
【解析】 连接OA，OB，则∠AOB＝124°，∴∠MON＝∠AOB＝×124°＝62°，故选C.
5．△ABC中∠A＝80°，若O为外心，M为内心，则∠BOC＝__160__度，∠BMC＝__130__度．
【解析】 根据分析，得∠BOC＝2∠A＝160°；
∠BMC＝90°＋∠A＝130°.
6．[2013·天津]如图24－2－34，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠P＝70°，则∠C的大小为__55°．

图24－2－34
【解析】 连接OA，OB，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠P－∠PBO＝360°－90°－70°－90°＝110°，
∴∠C＝∠AOB＝55°.
7．[2012·菏泽]如图24－2－35，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝__23°__．

图24－2－35
【解析】 ∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，又∠P＝46°，
∴∠PAB＝∠PBA＝＝67°.
又PA是⊙O的切线，AO为⊙O的半径，
∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，
∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°.
8．如图24－2－36，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO与⊙O相交于C，连接AC，BC，求证：AC＝BC.

图24－2－36
证明：∵PA，PB分别切⊙O于A，B，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.
又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC.
∴AC＝BC.
9．如图24－2－37，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4.
(1)求△ABC的面积；
(2)求⊙O的半径；
(3)求AF的长．

图24－2－37
解：(1)∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴△ABC的面积为：×3×4＝6；

(2)连接OE，OD，
∵⊙O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点，
∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC，
又∵∠C＝90°，OD＝OE，
∴四边形ECDO为正方形，
∴设OE＝OD＝CE＝CD＝x，
∴BE＝3－x，DA＝4－x；
∴FB＝3－x，AF＝4－x，
∴3－x＋4－x＝5，解得x＝1.
(3)∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.

10．如图24－2－38所示，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连接AB，过A，B两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P.若已知⊙O的半径为1，则△PAB的周长为__3__．

图24－2－38
【解析】 ∵AP，BP是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，PA＝PB.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°，
∴∠PAB＝90°－30°＝60°，
∴△PAB是等边三角形．
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝×2＝1，
∴AB＝＝＝，
∴△PAB的周长为3.
11．如图24－2－39，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°.
(1)求∠P的大小；
(2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)．

图24－2－39

第11题答图
解：(1)∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°.
∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°－∠BAC＝60°.
又∵PA，PC切⊙O于点A，C，∴PA＝PC，
∴△PAC为等边三角形，
∴∠P＝60°.
(2)如图，连接BC，则∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝×2＝1，
∴AC＝＝＝，
∴PA＝AC＝.
12．如图24－2－40，直尺、三角尺都和圆O相切，AB＝8 cm.求圆O的直径．

图24－2－40

第12题答图
解：作出示意图如答图，连接OE，OA，OB，
∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，
∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠BAC.
∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝×120°＝60°，
∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16 cm.
由勾股定理得OB＝＝＝8(cm)，即⊙O的半径是8cm，
∴⊙O的直径是16cm.

13．如图24－2－41，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO，AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.
(1)求∠APB的大小；
(2)若PO＝20 cm求△AOB的面积．

图24－2－41
解：(1)∵PA，PB分别为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.
∴∠OAP＝∠OBP＝90°.
∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°.
在四边形APBO中，∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB＝360°－90°－90°－120°＝60°.
(2)∵PA，PB分别为⊙O的切线，
∴PA＝PB.
∵OA＝OB，PO＝PO，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，
∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°，
∴OA＝×OP＝×20＝10 (cm)．
在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝10 cm，
∴AD＝×OA＝×10＝5(cm)，
OD＝×OA＝×10＝5 (cm)，
∴AB＝2AD＝10cm，
∴S△AOB＝·AB·OD＝×10×5
＝25 (cm2)．

14．如图24－2－42，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，
(1)求证：OD∥BE；
(2)如果OD＝6 cm，OC＝8 cm，求CD的长．

图24－2－42
解： (1)证明：如图，连接OE.

∵AM，DC是⊙O的切线，∴OA⊥AM，OE⊥CD.
又OA＝OE，OD＝OD，∴△OAD≌△OED(HL)，
∴∠AOD＝∠DOE.
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.
∵∠AOE＝∠OBE＋∠OEB＝2∠OBE＝2∠AOD，
∴∠AOD＝∠OBE，∴OD∥BE.
(2)由(1)得∠AOD＝∠DOE.
∵CD，BC是⊙O的切线，∴OE⊥CD，OB⊥BC.
∵OB＝OE，OC＝OC，∴△OEC≌△OBC，
∴∠EOC＝∠BOC，
∴∠DOC＝∠DOE＋∠EOC＝∠AOD＋∠BOC＝90°，
∴CD＝＝＝10(cm)．