专题03 一元二次函数、方程和不等式-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

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专题03：一元二次函数、方程和不等式精讲温故知新（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：　　　　　　　(2)传递性：(3)加法法则：；(同向可加)(4)乘法法则：；　　　　(同向同正可乘)(5)  倒数法则：　(6)乘方法则：(7)开方法则：2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式例1：（1）．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（       ）A． B．C． D．（2）．（多选）（2022·广东佛山·模拟预测）下列命题为真命题的是（       ）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则（3）．（2022·江西·二模（文））已知，，则6x＋5y的取值范围为______． 举一反三(1)．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ）A． B． C． D．(2)．（2022·宁夏·银川一中三模（理））已知，则的取值范围为（        ）A． B． C． D．(3)．(多选)（2022·辽宁·二模）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（       ）A． B．C． D．（4）．（2022·辽宁·育明高中一模）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________ （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：                  二次函数（）的图象 一元二次方程有两相异实根有两相等实根      无实根      R             例2：1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（       ）A． B．C．D．举一反三1.（2022·海南华侨中学模拟预测）不等式的解集为，则__________．2．（2022·湖北武汉·模拟预测）若，使成立，则实数的取值范围是______________．  （二）基本不等式1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.2．如果a,b是正数，那么变形： 有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。例3：（1）．（2022·贵州遵义·三模（理））若，则的最大值为（       ）A． B． C． D．(2)．(多选)（2022·湖南衡阳·三模）已知实数，，．则下列不等式正确的是（       ）A． B．C． D．（3）．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（文））若，其中，则的最小值为______．（4）（多选）（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（       ）A． B．C． D． 举一反三（1）．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ）A．2 B．1 C． D．（2）．（2022·安徽淮北·一模（文））函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（       ）A． B． C．8 D．9(3）(多选)（2022·辽宁·三模）若，，则（       ）A． B．C．的最小值为 D．（4）．（2021·陕西宝鸡·一模（文））已知函数f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.（5）．（2021·福建厦门·一模）已知，，，则的最小值为__________．（6）．（2022·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。例4：（2021·全国（理））设，若为函数的极大值点，则（       ）A． B． C． D． 举一反三（2022·贵州遵义·三模（理））满足不等式整数解个数为（       ）A．4950 B．5000 C．5050 D．51003、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。例5：（2013·甘肃·模拟预测）不等式的解集为（       ）A． B．C． D．举一反三（2022·贵州遵义·三模（文））若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（       ）A． B．C． D． 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 例6：（2022·天津·耀华中学模拟预测）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ）A． B． C． D． 举一反三1．（2022·江苏南通·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B．C． D．2.（2022·江西·模拟预测（理））已知命题p：“，”为真命题，则实数a的最大值是___．  课外阅读线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解1．若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）A． B． C． D．2．若实数，满足约束条件，则的最小值为（    ）A． B．1 C． D．3．已知，满足约束条件，则(为常数，且)的最大值为（    ）A． B． C． D．24．设，实数、满足，若的最大值为，则的最小值为（    ）A． B． C． D．5．设实数.满足约束条件，则上的取值范围为（    ）A． B． C． D． 精练巩固提升 一、单选题1．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（       ）A． B．C． D．2．（2022·天津南开·一模）设，则“”是 “”的（       ）A．充分不必要条件        B．必要不充分条  C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2022·安徽宣城·二模（文））已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ）A． B．4 C． D．4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．5．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正实数满足，则的最小值为（       ）A． B． C． D．6．（2022·天津红桥·二模）设，，若，则的最小值为（       ）A． B．2 C． D．7．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（       ）A． B．C． D．8．（2022·陕西渭南·二模（理））若对x，都有成立，则实数a的最小值是（       ）A． B． C． D．9．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为(       )A．0 B．2 C．4 D．610．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则（       ）A． B． C． D．以上都有可能二、多选题11．（2021·福建三明·模拟预测）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（       ）A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则12．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知，，则下列不等式成立的是（       ）A． B．C． D．三、填空题13．（2022·吉林·模拟预测（理））已知，则的最小值是______．14．（2022·天津·南开中学模拟预测）若实数，满足，且，则的最大值为______.15．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．16．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．