2023秦皇岛部分学校高三上学期开学摸底考试数学试题含答案

2023届高三开学摸底联考新高考卷

数学试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结東后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

2. 命题“”的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

3. 抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A：出现的点数为质数，事件B：出现的点数不小于3，则事件A与事件B（    ）

A. 相互独立 B. 对立 C. 互斥但不对立 D. 概率相等

【答案】A

4. 已知向量满足，且，则（    ）

A. 4 B.  C.  D.

【答案】D

5. 已知角的终边在射线上，则（    ）

A. 或 B.  C.  D.

【答案】C

6. 如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的角为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

7. 若直线与圆交于A，B两点，则面积的最大值为（    ）

A. 4 B. 8 C.  D.

【答案】C

8. 已知，若对任意的恒成立，则实数a的最小值为（    ）

A. e B.  C.  D.

【答案】B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数，则（    ）

A. 为其定义域上的增函数 B. 为偶函数

C. 的图象与直线相切 D. 有唯一的零点

【答案】ACD

10. 某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为．甲统计员得到的回归方程为；乙统计员得到的回归方程为；若甲、乙二人计算均未出现错误，则以下结论正确的为（    ）

A. 当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取）

B.

C. 方程比方程拟合效果好

D. y与x正相关

【答案】ABD

11. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，均成立，且相邻的两个最小值点间的距离为，则（    ）

A. 的最大值为1

B.

C. 在上单调递减

D. 对任意的，均有成立

【答案】BD

12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（    ）

A.

B. 双曲线C的离心率为

C. 直线倾斜角的取值范围为

D. 若，则三角形的面积为2

【答案】ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若复数z满足（i为虚数单位），且z为实数，则实数a的值为_____________．

【答案】

14. 已知函数满足：①，都有成立；②．请写出一个符合上述两个条件的函数_____________．

【答案】

15. 已知数列中，，且则_____________．

【答案】####

16. 在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，，点M为的垂心，且平面，若三棱锥的外接球体积为，则_____________．

【答案】2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列的前n项和为，当时，．

（1）求；

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1）   

（2）

18. 已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，且．

（1）求角C

（2）若，D为的中点，，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，M，N分别为线段和的中点．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

20. “斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没有平局已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．

（1）求甲以3∶1赢得比赛的概率；

（2）设比赛的总局数为，求．

【答案】（1）   

（2）

21. 已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

22. 已知函数．

（1）若在处的切线l与直线平行，求切线l的方程；

（2）证明：当时，对任意的恒成立．

【答案】（1）   

（2）证明见解析