人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法导学案

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第1课时 函数的概念
课程标准
在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一 函数的概念
1．函数的概念
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域和值域
函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．
状元随笔 对函数概念的3点说明
(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．
(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
知识点二 同一函数
一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．
知识点三 常见函数的定义域和值域
基 础 自 测
1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积
2．函数f(x)＝x-1x-2的定义域为( )
A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C.[1，2) D．[1，2)∪2，+∞
3．下列各组函数表示同一函数的是( )
A.y＝x2-9x-3与y＝x＋3
B.y＝x2－1与y＝x－1
C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D.y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z
4．若函数f(x)＝x+6x-1，求f(4)＝________．
课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1 函数的定义[经典例题]
例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：
(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；
状元随笔 从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．
(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；
状元随笔 判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．
(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；
(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.
方法归纳
(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．
注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．
(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．
跟踪训练1 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].
③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．
④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．
(2)关键是否符合函数定义．
①x→3x，x≠0，x∈R；
②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.
(2)下列对应是否是函数？
题型2 求函数的定义域[教材P87例题1]
例2 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝1x+1；
(2)g(x)＝1x+1x+2.
方法归纳
求函数的定义域
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝6x2-3x+2；
(2)f(x)＝x+10x-x；
(3)f(x)＝2x+3－12-x+1x.
(1)分母不为0
(2)偶次根式被开方数≥0x+10底数不为0分母不为0
(3)偶次根式被开方数≥0分母不为0
题型3 同一函数
例3 下面各组函数中为相同函数的是( )
A．f(x)＝ x-12，g(x)＝x－1
B．f(x)＝ x2-1，g(x)＝ x+1·x-1
C．f(x)＝x，g(x)＝x2x
D．f(x)＝x0与g(x)＝1x0
方法归纳
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断同一函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关．
跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数．
(1)f(x)＝x2-xx，g(x)＝x－1；
(2)f(x)＝xx，g(x)＝xx；
(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；
(4)f(x)＝|x|，g(x)＝ x2.
状元随笔 判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．
题型4 求函数的值域[经典例题]
状元随笔 求函数值域的注意事项
①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；
②值域一定要用集合或区间来表示．
例4 求下列函数的值域．
(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；
(2)f(x)＝1x，x∈[3，5]；
(3)y＝2xx+1；
(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；
(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
(6)y＝2x－x-1；
(7)f(x)＝1x2+2.
状元随笔 (1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．
(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．
(3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．
(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．
方法归纳
求函数值域的方法
(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．如函数y＝11+x2的值域为{y|0(2)配方法：求形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的值域可用配方法，但要注意f(x)的取值范围．如求函数y＝x－2x＋3的值域，因为y＝(x－1)2＋2≥2，故所求值域为{y|y≥2}．对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法．(3)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：形如y＝ax＋b＋cx+d的函数常用换元法求值域，即先令t＝cx+d，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．
注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．
(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．
(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．
跟踪训练4 求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(2)y＝x＋1；
(3)y＝1-x21+x2；先分离再求值域
(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；配方法求值域
(5)f(x)＝5x+4x-1.
第三章 函数
3．1 函数的概念与性质
3．1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点三
{x|x≠0} R yy≤4ac-b24a
[基础自测]
1．解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.
答案：A
2．解析：使函数f(x)＝x-1x-2有意义，
则x-1≥0，x-2≠0，即x≥1，且x≠2.
所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.
答案：D
3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．
答案：C
4．解析：f(4)＝4+64-1＝2＋2＝4.
答案：4
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．
(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．
(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．
跟踪训练1 解析：(1)
解析：(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．
②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．
答案：(1)B (2)①是函数②不是函数
例2 【解析】 (1)因为函数有意义当且仅当x+1≥0，x+1≠0，
解得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．
(2)因为函数有意义当且仅当x≠0，x+2≠0，
解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪-2，0∪0，+∞．
跟踪训练2 解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，
即x≠1且x≠2，
故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．
(2)要使函数有意义，则x+1≠0，x-x>0，
解得x<0且x≠－1.
所以定义域为(－∞，－1)∪-1，0．
(3)要使函数有意义，则2x+3≥0，2-x>0，x≠0，
解得－32≤x<2，且x≠0.
故定义域为-32，0∪0，2．
例3 【解析】 函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，f(x)＝|x－1|与g(x)对应关系不同，故排除选项A，选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C，故选D.
【答案】 D
跟踪训练3 解析：
例4 【解析】 (1)因为－1所以函数y＝3－4x，x∈(－1，3]的值域是[－9，7)．
(2)因为f(x)＝1x在[3，5]上单调递减，所以其值域为15，13.
(3)因为y＝2xx+1＝2x+1-2x+1＝2－2x+1≠2，
所以函数y＝2xx+1的值域为{y|y∈R且y≠2}．
(4)函数的定义域为{1，2，3}，
当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2，
当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，
当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2，
所以这个函数的值域为{1，2}，
(5)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．
(6)设t＝x-1，则x＝t2＋1，且t≥0，
所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－14)2＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．
【解析】(7)方法一 因为x2＋2≥2，所以0＜1x2+2≤12，所以f(x)的值域为(0，12].
方法二 设t是所求值域中的元素，则关于x的方程1x2+2＝t应该有解，即x2＝1t－2应该有解，所以1t－2≥0，
即1-2tt≥0，解得0＜t≤12，所以所求值域为(0，12].
跟踪训练4 解析：(1)将x＝1，2，3，4，5分别代入y＝2x＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．
(2)因为x ≥0，所以x＋1≥1，
即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(3)因为y＝1-x21+x2＝－1＋21+x2，
所以函数的定义域为R，
因为x2＋1≥1，所以0<21+x2≤2.
所以y∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].
(4)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
因为－5≤x≤－2，
所以－4≤x＋1≤－1.
所以1≤(x＋1)2≤16.
所以－12≤4－(x＋1)2≤3.
所以所求函数的值域为[－12，3].
解析：(5)函数f(x)＝5x+4x-1＝5x-1+9x-1＝5＋9x-1，
因为x≠1，所以9x-1≠0，
所以f(x)≠5，
所以函数f(x)＝5x+4x-1的值域为(－∞，5)∪5，+∞．
函数
一次函数
反比例
函数
二次函数
a>0
a<0
对应关系
y＝ax＋b(a≠0)
y＝kx(k≠0)
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
定义域
R
________
________
R
值域
R
{y|y≠0}
yy≥ 4ac-b24a
________
图号
正误
原因
①
×
x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性
②
√
同时满足任意性与唯一性
③
×
x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性
④
×
x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性
序号
是否相同
原因
(1)
不同
定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R
(2)
不同
对应关系不同，f(x)＝1x，g(x)＝x
(3)
不同
定义域相同，对应关系不同
(4)
相同
定义域和对应关系相同