湘教版（2019）必修 第一册4.3 对数函数导学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册4.3 对数函数导学案，共9页。

教材要点
要点一 常用对数与自然对数
(1)常用对数：以10为底的对数，叫作常用对数，并且把lg10N记为lg N.
(2)自然对数：以e(e＝2.718 28…)为底的对数，叫作自然对数，并且把lgeN 记为ln N .
要点二 对数换底公式
lgab＝lgcblgca(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)．
特别地：lgab·lgba＝________(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)．
状元随笔 对数换底公式常见的两种变形
(1)lgab·lgba ＝1，即1lgab ＝lgba ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .
2lgNnMm ＝mnlgNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．
基础自测
1. 计算：lg927＝( )
A．2 B．4
C．3 D．32
2．lg63·lg9 6＝( )
A．13 B．3
C．2 D．12
3．若lg 5＝a，lg 7＝b，则用a，b表示lg75等于( )
A．a＋b B．a－b
C．ba D．ab
4．计算：lg59·lg8125＝________．
题型1 利用换底公式直接求值
例1 计算下列各式的值．
(1)(lg43＋lg83)lg32；
(2)lg52×lg79lg513×lg734.
方法归纳
(1)利用对数的换底公式可以将不同底对数的问题化为同底对数的问题．
(2)换底时要注意与题中条件结合，所取的底数要便于计算．
(3)要注意公式的逆用，如lg23lg29＝lg93 ＝12.
跟踪训练1 求值：
(1)1lg46+1lg96
(2)(lg23＋lg43)(lg32＋lg274)
题型2 利用换底公式条件求值
例2 设3x＝4y＝36，求2x+1y的值．
方法归纳
与对数有关的条件求值，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质，要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．
跟踪训练2 已知2x＝3y＝a，1x+1y＝2，求a的值．
对数运算在实际问题中的应用
例3 一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价值降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2)?
方法归纳
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
跟踪训练3 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlg21+SN，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1 000提升至5 000，则C大约增加了( )
附：lg 2≈0.301 0
A．20% B．23%
C．28% D．50%
课堂十分钟
1．计算lg225·lg522＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
2．已知lg212＝m，，则lg312＝( )
A．2m-2 B．mm-2
C．m-22 D．m-2m
3．若2a＝10，b＝lg510，则1a+1b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．lg35lg46lg57lg68lg79＝________．
5．设α，β是方程lg2x－lg x－3＝0的两根，求lgα β＋lgβ α的值．
第2课时 对数的运算法则(2)
新知初探·课前预习
要点二
1
[基础自测]
1．解析：lg927＝lg327lg39＝lg333lg332＝32，故选D.
答案：D
2．解析：lg63·lg96＝lg63·1lg69＝lg63·12lg63＝12，故选D.
答案：D
3．解析：lg75＝lg5lg7＝ab，故选D.
答案：D
4．解析：根据换底公式，原式等价于ln9ln5×ln25ln81＝ln9ln5×2ln52ln9＝1.
答案：1
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,lg34)＋\f(1,lg38))) lg32＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2lg32)＋\f(1,3lg32))) lg32＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ＝ eq \f(5,6) .
(2)原式＝ eq \f(lg5\r(2),lg5\f(1,3)) × eq \f(lg79,lg7\r(3,4)) ＝lg eq \f(1,3) eq \r(2) ×lg eq \r(3,4) 9＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) lg32× eq \f(3,2) lg29＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) lg32×3lg23＝－ eq \f(3,2) .
跟踪训练1 解析：(1)原式＝lg64＋lg69＝lg636＝2.
(2)原式＝(lg23＋12lg23)×(lg32+23lg32)
＝32lg23×53lg32＝52lg23×lg32＝52.
例2 解析：∵3x＝4y＝36，
∴x＝lg336，y＝lg436，
利用换底公式可得，
eq \f(1,x) ＝ eq \f(1,lg336) ＝ eq \f(1,\f(lg3636,lg363)) ＝lg363，
eq \f(1,y) ＝ eq \f(1,lg436) ＝ eq \f(1,\f(lg3636,lg364)) ＝lg364，
eq \f(2,x) ＋ eq \f(1,y) ＝2lg363＋lg364＝lg36(32×4)＝lg3636＝1.
跟踪训练2 解析：由2x＝3y＝a，得x＝lg2a，y＝lg3a，
所以 eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＝ eq \f(1,lg2a) ＋ eq \f(1,lg3a) ＝lga2＋lga3＝lga6＝2.
∴a2＝6，解得a＝± eq \r(6) ，又∵a>0，∴a＝ eq \r(6) .
例3 解析：设经过x年，这台机器的价值为8万元，则
8＝20(1－0.087 5)x，即0.912 5x＝0.4，
两边取以10为底的对数，
得x＝＝lg4 -1lg9.125-1＝2lg2-1lg9.125-1≈10.
所以约经过10年这台机器的价值为8万元．
跟踪训练3 解析：将信噪比 eq \f(S,N) 从1 000提升至5 000时，
C增加比率为 eq \f(Wlg2（1＋5 000）－Wlg2（1＋1 000）,Wlg2（1＋1 000）)
＝ eq \f(lg25 001－lg21 001,lg21 001) ≈ eq \f(\f(lg 5 000,lg 2)－\f(lg 1 000,lg 2),\f(lg 1 000,lg 2))
＝ eq \f(1－lg 2,3) ≈0.23＝23%.
答案：B
[课堂十分钟]
1．解析：lg225·lg522＝lg252·lg5232＝2×32×lg25×lg52＝3.
答案：A
2．解析：因为lg212＝m，所以lg12lg2＝lg3+lg22lg2＝lg3+2lg2lg2＝m，即lg 3＝(m－2)lg 2，所以lg312＝lg12lg3＝lg3+lg22lg3＝m-2lg2+2lg2(m-2)lg2＝mm-2，故选B.
答案：B
3．解析：∵2a＝10，∴a＝lg210，
又b＝lg510，
∴1a+1b＝1lg210＋1lg510＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.故选A.
答案：A
4．解析：lg35lg46lg57lg68lg79＝.lg5lg3∙lg6lg4∙lg7lg5∙lg8lg6∙lg9lg7 =lg8lg9lg3lg4
＝3lg2×2lg3lg3×2lg2＝3
答案：3
5．解析：由题意lg α，lg β是关于lg x的一元二次方程lg2x－lg x－3＝0的两根，根据韦达定理lg α＋lg β＝1，lg α·lg β＝－3，
所以lgα β＋lgβ α＝ eq \f(lg β,lg α) ＋ eq \f(lg α,lg β) ＝ eq \f(（lg β）2＋（lg α）2,lg αlg β) ＝ eq \f(（lg β＋lg α）2－2lg αlg β,lg αlg β) ＝－73.