湘教版（2019）必修 第一册5.4 函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质导学案

第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质

教材要点

要点一　A、ω、φ的意义

函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)，在这里常数A叫________，T＝叫________，f＝＝叫________，ωx＋φ叫________，φ叫________．

要点二　函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0的有关性质

状元随笔　研究函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的基本策略

(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．

(2)整体思想：研究当x∈[α，β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，利用x∈[α，β]求出θ的范围，再结合y＝sin θ的图象求值域．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)y＝A sin (ωx＋φ)的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)

(2)在y＝A sin (ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期．(　　)

(3)函数y＝sin 的图象对称轴为x＝(k∈Z)．(　　)

(4)函数f(x)＝sin 的图象的对称中心是(k∈Z)(　　)

2．函数y＝2sin 的周期、振幅依次是(　　)

A．4π，－2    B．4π，2

C．π，2       D．π，－2

3．函数f(x)＝4sin 图象的对称轴方程为(　　)

A．x＝(k∈Z)    B．x＝＋kπ(k∈Z)

C．x＝(k∈Z)    D．x＝(k∈Z)

4．若函数y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________.

题型1　由图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式

例1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．

方法归纳

给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法

(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.

(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．

(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．

跟踪训练1　

(1)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)的部分图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝sin     B．f(x)＝sin

C．f(x)＝cos     D．f(x)＝cos

(2)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则f＝________．

题型2　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象在物理中的简单应用

例2　如图所示是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：

(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？

(2)写出这个简谐运动的函数解析式．

方法归纳

明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．

跟踪训练2　一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U(单位V)关于时间t(单位s)的函数解析式．

题型3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质的综合应用

例3　已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴之间的距离为.

(1)求f的值；

(2)求函数y＝f(x)＋f的最大值及对应的x的值．

方法归纳

研究函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的基本策略

(1)首先将所给函数的解析式转化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式；

(2)熟记正弦函数y＝sin x的图象与基本性质；

(3)充分利用整体代换思想解决问题；

(4)熟记有关y＝A sin (ωx＋φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论．

跟踪训练3　

已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的一段图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合．

课堂十分钟

1．简谐运动y＝4sin 的相位与初相分别是(　　)

A．5x－     B．5x－，4

C．5x－，－    D．4，

2．y＝f(x)是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y＝f(x)的解析式为(　　)

A．y＝3sin (x＋1)    B．y＝－3sin (x＋1)

C．y＝3sin (x－1)    D．y＝－3sin (x－1)

3．下列区间中，函数f(x)＝7sin 单调递增的区间是(　　)

A．    B．

C．    D．

4．函数y＝sin 的图象的一条对称轴方程是________．

5．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期为π，且图象上的一个最低点为M.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈时，求f(x)的最值．

第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质

新知初探·课前预习

要点一

振幅　周期　频率　相位　初相

要点二

R　[－A，A]　kπ(k∈Z)　kπ＋ (k∈Z)　单调递增　单调递减

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2．解析：周期T＝＝4π，振幅为2，故选B.

答案：B

3．解析：结合正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得对称轴方程为x＝＋(k∈Z).故选D.

答案：D

4．解析：由图象可得＝·＝－x0＝，解得ω＝4.

答案：4

题型探究·课堂解透

例1　解析：方法一(逐一定参法)：由图象知A＝3，

T＝－＝π，∴ω＝＝2，

∴y＝3sin (2x＋φ).∵点在函数图象上，

∴0＝3sin .

∴－×2＋φ＝kπ，

得φ＝＋kπ(k∈Z).

∵|φ|＜，∴φ＝.

∴y＝3sin .

方法二(待定系数法)：由图象知A＝3.

∵图象过点和，

∴解得

∴y＝3sin .

方法三(图象变换法)：由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，所以所求函数y＝3sin 2， 即y＝3sin .

跟踪训练1　解析：(1)由图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将点代入函数f(x)解析式得sin ＝1，又－＜φ＜，所以φ＝，因此函数f(x)＝sin .故选B.

(2)函数的周期为T＝＝，则图中相邻两个零点之间的距离为，又＋＝，所以f＝0.

答案：(1)B　(2)0

例2　解析：(1)振幅A＝3，周期T＝4，频率f＝.

(2)设简谐运动的函数解析式为：

y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，

由(1)可知，ω＝＝π，

则y＝3sin ，

当x＝＝2.2时，y取最小值，

则sin ＝－1，

∴×2.2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

解得φ＝＋2kπ，k∈Z，

令k＝0，则φ＝，

故简谐运动的函数解析式为：

y＝3sin ，x∈[0，＋∞).

跟踪训练2　解析：周期为0.02，频率为50，电压的最大值为311 V.

电压和时间的函数解析式为U＝311sin 100πt，t∈[0，＋ ∞) .

例3　解析：(1)f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)

＝2

＝2sin .

因为f(x)为偶函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ(k∈Z).

又0＜φ＜π，所以φ＝.

所以f(x)＝2sin ＝2cos ωx.

由题意得＝2×，所以ω＝2.所以f(x)＝2cos 2x.

故f＝2cos ＝.

(2)y＝2cos 2x＋2cos

＝2cos 2x＋2cos

＝2cos 2x－2sin 2x＝2sin .

当－2x＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，y有最大值2.

跟踪训练3　解析：(1)由图象可以得到函数f(x)的振幅A＝3，设函数周期为T，则T＝4π－＝，所以T＝5π，则ω＝，由ωx0＋φ＝0，得×＋φ＝0，所以φ＝－，

所以f(x)＝3sin .

(2)由＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋5kπ≤x≤4π＋5kπ(k∈Z)，所以函数的减区间为，k∈Z.

函数f(x)的最大值为3，当且仅当x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋5kπ(k∈Z)时函数取得最大值．

所以函数的最大值为3，取得最大值时的x的集合为.

[课堂十分钟]

1．解析：相位是5x－，初相是当x＝0时的相位，即－.故选C.

答案：C

2．解析：A＝3，ω＝＝1，由ω×1＋φ＝π，∴φ＝π－1，∴f(x)＝3sin [x＋(π－1)]＝－3sin (x－1).故选D.

答案：D

3．解析：因为函数y＝sin x 的单调递增区间为(k∈Z)，对于函数f(x)＝7sin ，由2kπ－＜x－＜2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)，取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，

则⊆，(，π)，A选项满足条件，B不满足条件；

取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，

(π，)且 (π，)，(，2π)，CD选项均不满足条件．故选A.

答案：A

4．解析：由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，得x＝.

答案：x＝(答案不唯一)

5．解析：(1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M，得A＝2.

由周期T＝π，得ω＝＝＝2.

由点M在图象上，得2sin ＝－2，

即sin ＝－1，

所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，

故φ＝2kπ－(k∈Z)，

又φ∈，

所以k＝1，φ＝，

所以函数的解析式为f(x)＝2sin .

(2)因为x∈，

所以2x＋∈，

所以当2x＋＝，

即x＝0时，函数f(x)取得最小值1；

当2x＋＝，即x＝时，

函数f(x)取得最大值.