5.1复数的概念及其几何意义 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析） 试卷
展开5.1复数的概念及其几何意义北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 已知复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D. 为纯虚数
- 在复平面内，复数满足，则的共轭复数的虚部是( )
A. B. C. D.
- 已知复数和满足，，则的取值范围为
A. B. C. D.
- 若复数满足，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
- 关于复数的方程在复平面上表示的图形是( )
A. 椭圆 B. 圆 C. 抛物线 D. 双曲线
- 如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A.
B.
C.
D.
- 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
- 已知复数满足，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 下列命题正确的是( )
A. 复数，积的模等于，模的积
B. 任意两个复数都不能比较大小
C. 复数是实数的充要条件是是的共轭复数
D. 若对于复数，有，则或
- 已知复数，则以下说法正确的是( )
A. 复数的虚部为 B. 的共轭复数
C. D. 在复平面内与对应的点在第二象限
- 设，，为复数，则
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若满足，则的最小值为
- 是虚数单位，下列说法中正确的有( )
A. 若复数满足，则
B. 若复数，满足，则
C. 若复数，则可能是纯虚数
D. 若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 是虚数单位，若，则______．
- 设，则方程的解为__________．
- 已知复数满足，求的最小值 ．
- ，则的最大值为___________．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
Ⅰ已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；
Ⅱ已知复数为纯虚数，求实数的值．
- 本小题分
已知复数，
若，且，求实数的值；
若为纯虚数，且，求复数的模．
- 本小题分
已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数
求实数及；
设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
- 本小题分
已知，复数．
若对应的点在第一象限，求的取值范围；
若的共轭复数与复数相等，求的值
- 本小题分
已知复数满足，的虚部为，
求；
设，，在复平面对应的点分别为，，，求的面积． - 本小题分
已知是虚数单位，复数的共轭复数是，且满足．
求复数的模；
若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，复数的概念，共轭复数，复数模的求法，是中档题．
利用复数的运算对选项ABCD一一进行分析判断即可得．
【解答】
解：因为，
所以可得，故A错误；
，
，故B错误；
，故C正确；
为实数，故D错误．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：，
，
的共轭复数为，
则的共轭复数的虚部为．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】本题考查复数的四则运算，复数相等，以及复数的模，属于中档题．
分别设出复数，，由已知得，，即可求出，再利用的几何意义得出的范围，进而即可．
【解答】
解：设，则，由知，，且
设，则，由知，整理得，
，
由知，即在以为圆心，为半径的圆上，故，
所以，即．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数相等的充要条件，考查复数的模的求法，共轭复数的概念，是基础题．
设出复数的代数形式，利用复数相等的条件求出，的值，然后由复数模的公式计算得答案．
【解答】
解：设，则，
，，
即，所以
解得，，
复数的模为．
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两个复数差的绝对值的几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，复数的模的定义．
利用两个复数差的绝对值表示两个复数在复平面内对应点之间的距离，即可得到结论．
【解答】
解：由于两个复数差的绝对值表示两个复数在复平面内对应点之间的距离，
故关于复数的方程在复平面上表示的图形是以为圆心，为半径的圆．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的几何意义、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．
【解答】
解：，
对应的复数为：，
点对应的复数为．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的几何意义、模和与圆有关的最值问题，属于一般题．
设，由，得，则点表示以 为圆心，为半径的圆及其内部，的最大值转化为到的距离的最大值，即可求解．
【解答】
解：设，
由，得，
故表示以为圆心，为半径的圆及其内部，
而表示到的距离，
其最大值为
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是复数的几何意义，两点间的距离公式，复数的模，属于基础题．
利用点表示以原点为圆心，为半径的圆，表示圆上的动点到定点的距离，即可求解．
【解答】
解：因为，所以，即在复平面内表示圆：上的点；
又，
所以表示圆上的动点到定点的距离，所以为，
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的根念和复数相等的充要条件以及共轭复数和复数的模和复数的四则运算，属于基础题．
根提题意，利用了复数的四则运算，再根据复数的模定义计算判断，利用复数相等的条件可判断根据复数的概念即可判断，．
【解答】
解：设，；
由于，
对，
，故A正确；
对于，同个虚数不能比较大小，两个实数可以比教大小，故B错误；
对于，由是实数，显然可得，再由得，故C正确；
对于，，则，，
故，即，
所以或，即或，因此或，
故D正确．
故选ACD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的概念、共轭复数的概念、复数的四则运算、复数的模以及复数的几何意义，属于基础题．
利用复数的乘除运算可得，根据复数的概念可判断；根据共轭复数的概念可判断；根据复数的模可判断；根据复数的几何意义可判断．
【解答】
解：，
复数的虚部为，排除选项；
的共轭复数，排除选项；
，选项正确；
复平面内与对应的点的坐标为，在第二象限，选项正确．
故选CD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了共轭复数的概念和复数模的求法，考查了复数模的几何意义，需要学生有较强的综合能力，属于中档题．
利用共轭复数的概念和复数模的求法，以及复数模的几何意义，逐一进行判断即可．
【解答】
解：，
，故A选项正确；
若，则，当， 时，等式也成立，故B选项错误；
，
，
设，则，，
，故C选项正确；
设，，
，
，，
，
，
，
，故D选项正确．
故答案选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数以及复数的代数表示和几何意义，属于较易题，利用复数的四则运算，共轭复数以及复数的代数表示和几何意义，逐一判断即可．
【解答】
解：对于，设，则，，可得，所以，故A正确；
对于，若，，令，，则，此时，故B错误
对于，因为，由纯虚数的定义可得，不可能是纯虚数，故C不正确；
对于，若，令，，，则所以，，
所以对应的点在第一象限或第三象限，所以D正确．
故选AD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数相等、共轭复数、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设，由，可得，根据复数相等即可得出．
【解答】
解：设，．
，
，
，，
解得，．
则．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数相等的条件，复数的模，属基础题．
由题意设，，，代入已知可得、的方程组，解之可得答案．
【解答】
解：变形为，
由题意设，，，
代入可得，
由复数相等的定义可得
解得，
故方程的解为，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的模，两点间的距离公式，属于中档题．
由可得在复平面内对应的点的轨迹，再由的几何意义，即动点到两定点，的距离和得答案．
【解答】
解：由，得
，
整理，得，
所以复数对应的点在上，
的几何意义为动点到两定点，的距离和，
作点关于的对称点，
所以的最小值为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的模，复数的几何意义．
根据可知，它的几何意义是：复平面内的点到点的距离是小于等于的集合，而到原点的距离是，从而得出的最大值．
【解答】
解：由可知，
它的几何意义是：复平面内的点到点的距离是小于等于的集合，
到原点的距离是，
所以的最大值为：．
故答案为．
17.【答案】解：Ⅰ设，
由题意得
解得，，
，．
Ⅱ
，
由题意得解得．
【解析】本题考查复数的基本概念、复数的运算，属于一般题．
Ⅰ，，根据复数模的公式以及复数相等，得到，的方程组，再结合在复平面内对应的点在第二象限，得到，的值，即可得到
Ⅱ通过复数的运算化简，再根据为纯虚数，得到的关系式，解得的值．
18.【答案】解：时，
，
故；
，
若为纯虚数，则
解得，
，
．
【解析】本题考查复数的概念，考查共轭复数以及复数的四则运算，属于中档题．
将代入，继而化简题设等式为，即可推出结论．
化简 ，依据纯虚数的定义推出，代入，求解即可推出结论．
19.【答案】解：因为，，
，
又为纯虚数，
．
，
；
，
因为复数所对应的点在第二象限，
，解得，
即实数的取值范围为．
【解析】本题考查复数的四则运算，复数的概念，复数的几何意义，属于中档题．
利用共轭复数和纯虚数的概念求出的值，利用复数的求模公式计算；
先化简，再利用对应的点在第二象限得到关于的不等式组，求出的取值范围．
20.【答案】解：由题意得，解得，
所以的取值范围是；
因为，所以，
因为与复数相等，所以 ，
解得．
【解析】本题考查了复数的代数形式，考查了复数相等，属于中档题．
由题意可得复数的实部与虚部都大于，可得的取值范围；
由实部与实部相等，虚部与虚部相等，可得的值．
21.【答案】解：设，
由题意得，
则，
，将其代入，得，
即或；
故或．
当时，，，
所以，，；
，
即．
当时，得，
即，
所以，，；
故
【解析】本题考查复数的基本概念，模的计算，四则运算以及几何意义，属于中档题．
设，运用待定系数法求出
求出相应复数，得到对应点坐标，进而求出三角形的面积．
22.【答案】解：Ⅰ设复数，则，
于是，
，解得，，即．
．
Ⅱ由Ⅰ得，
由于复数在复平面内对应的点在第一象限，
，解得．
故实数的取值范围是．
【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模，共轭复数，复数相等的充要条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是一般题．
Ⅰ设复数，则，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简后利用复数相等的条件列式求得，值，则答案可求；
Ⅱ把Ⅰ中求得的代入，整理后由实部与虚部均大于列式求实数的取值范围．
