2022-2023学年河北省廊坊十六中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省廊坊十六中九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  ， D.

4. 方程是关于的一元二次方程，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是(    )

A. 对角线相等 B. 四条边相等
C. 对角线互相垂直 D. 每条对角线平分一组对角

6. 下列说法正确的是(    )

A. 方程的一次项系数为
B. 一元二次方程的一般形式是
C. 当时，方程为一元二次方程
D. 当取所有实数时，关于的方程为一元二次方程

7. 是方程的根，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 用配方法解方程，配方后的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 是下列哪个一元二次方程的根(    )

A.  B.
C.  D.

11. 关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

12. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到若点恰好落在边上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

13. 已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

14. 某工厂加工一批零件，为了提高工人工作积极性，工厂规定每名工人每天薪金如下：生产的零件不超过件，则每件元，超过件，超过部分每件元，如图是一名工人一天获得薪金元与其生产的件数件之间的函数关系式，则下列结论错误的(    )

A.
B.
C. 若工人甲一天获得薪金元，则他共生产件
D. 若工人乙一天生产件，则他获得薪金元
 

15. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为：，则利用这种方法求得方程的解为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

16. 如图，平行四边形中，，，，是边上且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

17. 已知关于的方程的一个根为，则______．
18. 已知点在第二象限，且，则点关于原点对称的点的坐标是______．
19. 与直线平行且过点的直线的表达式为______．
20. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为______．

三、解答题（本大题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ；
    ；
    ．
22. 本小题分
    尺规作图：如图，点坐标为，将绕点逆时针旋转，得到新．
    建立适当的平面直角坐标系；
    画出．

23. 本小题分
    已知：关于的一元二次方程为常数．
    证明：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
    若方程有一个根为，求方程的另一个根．
24. 本小题分
    如图，在矩形中，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动．如果、同时出发，用表示移动的时间那么当为何值时，的面积等于？

25. 本小题分
    某商店经营一种小商品，进价是元，据市场调查，销售价是元时，平均每天销售是件，而销售价每降低元，平均每天就可以多售出件．
    假定每件商品降价元，商店每天销售这种小商品的利润是元，请写出与间的函数关系式；
    每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？
26. 本小题分
    如图，等腰中，，将绕顶点逆时针方向旋转度到的位置，与相交于点，与、分别交于点、．
    
    求证：≌
    当度时，判定四边形的形状并说明理由．
27. 本小题分
    由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上开，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包元涨到了每包元．
    求出这两次价格上调的平均增长率；
    在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包元，而且调查发现，定价为每包元时，一天可以卖出包，每降价元，可以多卖出包，当销售额为元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
根据轴对称与中心对称图形的概念求解即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，中心对称图形关键是对称中心
 

2.【答案】 

【解析】解：方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

3.【答案】 

【解析】解：平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是．
故选：．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
，且．
解得：．
故选：．
由一元二次方程的定义可知，且，从而可求得的值．
本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：．
根据正方形的性质和菱形的性质解答即可．
本题考查了正方形和菱形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：、方程的一次项系数为，故选项错误；
B、一元二次方程的一般形式是，故选项错误；
C、当，即时，方程为一元二次方程，故选项错误；
D、当取所有实数时，关于的方程为一元二次方程是正确的．
故选：．
根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为；
是整式方程；
含有一个未知数．依此即可求解．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
 

7.【答案】 

【解析】解：实数是关于的方程的一个根，
，
，
．
故选：．
把代入已知方程，可以求得，然后整体代入所求的代数式求值即可．
本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．
移项后两边配上一次项系数一半的平方可得．
【解答】
解：，
，
，即，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：中，，不合题意；
B.中，，不合题意；
C.中，，不合题意；
D.中，，符合题意；
故选D．
用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值若，方程无实数根；在的前提下，把、、的值代入公式进行计算求出方程的根．
本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故原方程无实数根，
故选：．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，
，
，
，
，
由旋转性质知，
故选：．
根据旋转的性质得到，，由三角形内角和定理求得，然后根据旋转性质得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
，，
，．
三角形的三条边为，，，
，
．
又这个三角形的最大边为，
．
故选：．
先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．
本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意和图象可得，
，故选项A正确，
，故选项B正确，
若工人甲一天获得薪金元，则他共生产：，故选项C错误，
若工人乙一天生产件，他获得的薪金为：元，故选项D正确，
故选：．
根据题意和函数图象可以求得、的值，从而可以判断选项A和是否正确，根据和的数据可以分别计算出题目中对应的数据是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
设，
方程可以变为 ，
，，
当时，即，解得；
当时，即，解得，
所以原方程的解为：，．
故选：．
首先根据题意可以设，方程可以变为 ，然后解关于的一元二次方程，接着就可以求出．
此题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程的解法解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点连接，，，作交的延长线于，

，
，，
点是的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
≌，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
，，，
≌，
，
，
在中，，，，
，，
在中，，
，
的最小值为，
故选：．
取的中点连接，，，作交的延长线于利用全等三角形的性质证明，点的运动轨迹是射线，由“”可证≌，可得，推出，求出即可解决问题．
本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：把代入方程，
得：，
解方程得：．
故答案为：．
把代入方程得到一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可．
本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元二次方程的解等知识点的理解和掌握，能得到方程是解此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：点在第二象限，且，
点，
点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
先确定点的坐标，再根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

19.【答案】 

【解析】解：直线与直线平行，
设直线的表达式为，
直线过点，
，
，
直线的表达式为．
故答案为：．
根据平行直线的解析式的值相等，设出一次函数解析式，然后把经过的点的坐标代入求解即可．
本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的值相等设出解析式是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：直线与轴交于点，
关于的不等式的解集为．
故答案为：．
一次函数的图象落在轴下方的部分对应的自变量的取值范围即为不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

21.【答案】解：，
所以，；
，
，
，
所以，；
，
，
所以，；
，
或，
所以，． 

【解析】利用直接开平方法解方程；
先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．
 

22.【答案】解：平面直角坐标系如图所示：

如图，即为所求． 

【解析】根据点的坐标，确定平面直角坐标系即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可．
本题考查作图旋转变换，平面直角坐标系等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：，
，，
，
，
，
，
无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
设方程的另一个根为，
则  ，

方程的另一个根为． 

【解析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论；
利用两根之积为确定方程的另一根．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式．
 

24.【答案】解：当运动秒时，，，
根据题意得：
解得：或
答：当为或秒时，的面积等于 

【解析】当运动秒时，，，表示出的面积即可得到有关的方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据图形表示出三角形的两边从而得到有关的方程求解即可．
 

25.【答案】解：设降价元时利润为元，
依题意：；
；
，
当时取最大值，最大值是，即降价元时利润最大，
销售单价为元时，最大利润元．
答：销售单价为元时利润最大，最大利润为元． 

【解析】根据总利润实际售价进价销售量，即可得函数解析式；
将中函数解析式配方结合的取值范围即可得最值情况．
本题主要考查二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式是解题的关键．
 

26.【答案】解：证明：是等腰三角形，
，，
将等腰绕顶点逆时针方向旋转度到的位置，
，，，
在与中，
，
≌；
四边形是菱形，
将等腰绕顶点逆时针方向旋转度到的位置，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，，由旋转的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理得到≌；
由旋转的性质得到，根据平角的定义得到，根据四边形的内角和得到，证得四边形是平行四边形，由于，即可得到四边形是菱形．
 

27.【答案】解：设这两次价格上调的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：这两次价格上调的平均增长率为．
设每包应该降价元，则每包的售价为元，每天可售出包，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要让顾客获得更大的优惠，
的值为．
答：每包应该降价元． 

【解析】设这两次价格上调的平均增长率为，利用经过两次上调价格后的价格原价这两次价格上调的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设每包应该降价元，则每包的售价为元，每天可售出包，根据每天该口罩的销售额为元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．