2021-2022学年吉林省松原市前郭县洪泉中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年吉林省松原市前郭县洪泉中学八年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若是正比例函数，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4. 如图，中，，，点是斜边的中点，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，▱的对角线与相交于点，，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在平面中直角坐标系中，将沿直线平移后，点的纵坐标为，则点平移的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

7. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
8. 将直线向下平移个单位长度，所得直线的解析式为______．
9. 甲、乙两名同学投掷实心球，每人投次，平均成绩为米，方差分别为，，成绩比较稳定的是______ 填“甲”或“乙”．
10. 如图， 中，，，为边上的中线，则 ______ ．

11. 如图，在平行四边形中，过点的直线，垂足为，若，则______度．

12. 如图，在中，，以为边向外作正方形，若图中阴影部分的面积为，，则______．

13. 如图，直线的函数关系式为，直线与直线关于轴成轴对称，则直线的函数关系式为______ ．

14. 如图，，且，点为的中点，若四边形为正方形，则______．

三、解答题（本大题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    计算：
16. 本小题分
    已知正比例函数；且当时，．
    求与的函数解析式；
    将中所求的直线沿轴向下平移个单位，直接写出平移后的直线的解析式．
17. 本小题分
    如图，墙处需要维修，处距离墙脚处米，墙下是一条宽为米的小河，现要架一架梯子维修处的墙体，现有一架米长的梯子，问这架梯子能否到达墙的处？
     

18. 本小题分
    如图，菱形的对角线、相交于点，，求证：四边形是矩形．

19. 本小题分
    已知一次函数的图象经过，两点．
    求这个一次函数的表达式；
    试判断点是否在这个一次函数的图象上．
20. 本小题分
    已知，，求的值．
21. 本小题分
    如图，点是网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为，请在网格中按下列要求作图．
    
    以为一边，在图中画一个格点菱形；
    以为一边，在图中画一个面积等于的格点平行四边形．
22. 本小题分
    如图，已知等腰的底边，是腰上一点，且，，求：的度数；
    的周长．

23. 本小题分
    近几年来全国各省市市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成．某市某部门对年，月份中的天进行了公共自行车日租车辆的统计，结果如图．
    这天日租车辆的众数是______，中位数是______；
    求这天日租车辆的平均数；
    用中的平均数估计月份该市共租车多少万车次？

24. 本小题分
    如图，在中，、分别是边、的中点，延长至点，使得，连结、、．
    求证：四边形是平行四边形．
    若四边形的面积为，则的面积为______ ．

25. 本小题分
    阅读材料：如图，四边形的对角线，交于点，点是边上的一点，过点分别作，交直线，于点，，显然四边形是平行四边形．
    
    探究发现：
    当对角线，满足______时，四边形是矩形．
    如图，若四边形是矩形，且是的中点，判断四边形是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．
    拓展延伸：
    如图，在四边形为矩形的条件下，若点是边延长线上的一点，此时，，三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
26. 本小题分
    在距离港口海里处，有一艘渔船发出求救信息，甲、乙两艘救援船同时接到救援任务，甲船立即出发，乙船因需要等候救援家属，在甲救援船驶离港口海里时才出发．乙船以海里小时的速度匀速行驶，甲船途中因故障维修停船小时，然后提高速度匀速行驶，到达目的地救援小时后原路匀速返回与乙船相遇，甲船返回时的速度与提高后的速度相同，图中折线，线段分别表示甲、乙两船与港口的距离海里与乙船出发时间时之间的图象．
    求的值；
    乙船出发多长时间与甲船相遇？
    求的值；
    请直接写出在两船第三次相遇前，两船相距海里时的所有的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；
D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的定义解答即可．
本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，否则就不是．
 

2.【答案】 

【解析】解：由正比例函数的定义可得：，
解得：．
故选：．
根据正比例函数的定义可得关于的方程，解出即可．
考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而得到，再根据，即可得出的度数．
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，了解在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是本题的解题关键．
【解答】
解：中，，点是斜边的中点，
，
，
又，
，
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：▱的对角线与相交于点，
，，
，，，
，
，
故选：．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
 

6.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，
点纵坐标为：，
故，
解得：，
即到的距离为，
则点与其对应点之间的距离为．
故选：
根据题意得出点的纵坐标进而得出其横坐标，进而得出点到的距离，进而得出点与其对应点之间的距离．
此题主要考查了坐标与图形的性质以及一次函数图象上点的坐标性质，得出到的距离是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
让二次根式的被开方数为非负数列式求解即可．
考查二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数．
 

8.【答案】 

【解析】解：将直线向下平移个单位长度，所得直线的解析式为，即．
故答案为．
直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
 

9.【答案】乙 

【解析】解：因为，
方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．
故答案为乙．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出是关键．
由等腰三角形的性质得出，，由勾股定理求出即可．
【解答】
解：，为边上的中线，
，，
．
故答案为．  

11.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由四边形是平行四边形，可得，又由直线，可求得的度数．
此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

12.【答案】 

【解析】解：图中阴影部分的面积为，
，
在中，，，
，
．
故答案为．
利用正方形的面积公式得出，在中，再根据勾股定理求斜边．
本题考查了勾股定理，正方形的面积，根据图形得出是解答本题的关键，另外要熟练掌握勾股定理的运用．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为直线的函数关系式为，
所以点的坐标为，点的坐标为，
因为直线与直线关于轴成轴对称，
所以点的坐标为，
所以设直线的解析式为：，
把，代入解析式，可得：，
解得：，
所以直线的解析式为：．
故答案为：．
先得出，的坐标，进而得出，的坐标，利用待定系数法得出直线的解析式即可．
本题考查了待定系数法的运用，解决本题的关键是找到所求直线解析式中的两个点．
 

14.【答案】 

【解析】证明：，点为的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为正方形，
，
．
故答案为．
根据题意证得四边形为平行四边形，即可证得，根据正方形的性质证得，从而证得．
本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质等，熟练掌握性质定理上解题的关键．
 

15.【答案】解：原式
． 

【解析】先化简，再用乘法分配律．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
 

16.【答案】解：正比例函数，当时，．
，
，
正比例函数为；
直线沿轴向下平移个单位得到． 

【解析】利用待定系数法求解即可；
由一次函数的平移规律即可得出答案；
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

17.【答案】解：米，米，
米，
，
这架梯子能到达墙的处． 

【解析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求出的长度．根据勾股定理求出的长度，然后再作比较即可．
 

18.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
又四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，根据菱形性质求出，根据矩形的判定推出即可．
本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
 

19.【答案】解：设直线的表达式为，分
将点、代入，
得：，解得：，
直线的表达式为      

当时，，
点不在这个一次函数的图象上． 

【解析】利用待定系数法即可解决问题．
本题考查待定系数法确定函数解析式，一次函数图象上点的特征等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：，，
，，

． 

【解析】先求出和的值，再根据平方差公式分解后代入求出即可．
本题考查了二次根式的混合运算法则，平方差公式应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
 

21.【答案】解：如图，菱形即为所求；
如图，平行四边形．
 

【解析】根据菱形的判定画出图形即可；
根据平行四边形的判定，利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：，
，
；

设，则，
，
，
，
解得：．
，
的周长是：． 

【解析】首先根据、、长可利用勾股定理逆定理证明；
设，则，再利用勾股定理可得，解方程可得的值，进而得到长，然后可算出周长．
此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

23.【答案】   

【解析】解：根据条形统计图得：出现次数最多的为，即众数为万车次；
将数据按照从小到大顺序排列为：，，，，，，，中位数为万车次；
故答案为：，；

平均数为万车次；

根据题意得：万车次，
答：估计月份该市共租车万车次．
找出租车量中车次最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，找出中间的数即为中位数；
求出数据的平均数即可；
由求出的平均数乘以即可得到结果．
此题考查了条形统计图，平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，在中，、分别是边、的中点，
且．
又，
，
四边形是平行四边形；
． 

【解析】

见答案；
解：，
四边形与的高相等，设为，
又，
，
故答案是：．
【分析】
欲证明四边形是平行四边形，只需推知，；
在四边形与中，，且它们的高相等．
本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．  

25.【答案】 

【解析】解：要使平行四边形是矩形，
，
，
故答案为．
四边形是菱形．
证明：
在矩形中，，
点是的中点，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
解：，
理由：在矩形中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，

由矩形的判断方法即可，
由三角形的中位线判断出，得到邻边相等平行四边形是菱形；
先判断出四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质得到，即可．
本题是四边形的比较简单的综合题，主要考查了特殊的四边形的性质和判定，解本题的关键是熟练特殊四边形的性质和判定，本题的疑点是特殊四边形的性质和判定的区别．
 

26.【答案】解：乙船以海里时的速度匀速行驶，小时行驶海里，
小时；

两船相遇有三次，
第一次：在点相遇，此时时间为时；
第二次：在与的交点相遇．
设直线的解析式为，
，，
，
解得．
直线的解析式为，
直线的解析式为，
把代入，得，解得，
所以第二次相遇的时间为时；
第三次相遇在点．
点横坐标为，
当时，，
甲船原路匀速返回与乙船相遇需要的时间为小时分钟，
第三次相遇的时间时时时分；

当时，；

在两船第三次相遇前，两船相距海里时的值为，，． 

【解析】由图可知，两船第一次在点相遇，因为乙的速度为海里时，根据时间路程速度即可求解；
由图可知，两个函数图象的交点有个，所以两船相遇有三次，第一次：在点相遇，此时时间为时；第二次：在与的交点相遇．先利用待定系数法求出的解析式为，的解析式为，把代入，求出的值为第二次相遇的时间；第三次相遇在点，则时间为时分；
把点的横坐标代入乙的解析式即可求出的值；
由图可知，当时，由于乙船的速度大于甲船的速度，而时，甲在乙前面海里，所以时两船不可能相距海里；当时，甲船因故障维修，距离港口海里，乙船距离港口海里，由，解得；当时，甲船追上乙船并且超出乙船海里，由，解得；当时，甲船距离港口海里，在目的地救援，乙船距离港口海里，由，解得．
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，路程、速度与时间之间的关系，两函数交点坐标的求法，难度适中．从图中获取有用信息是解题的关键．