2022届黑龙江省大庆实验中学实验二部高考得分训练（二）数学（文）试题含解析

2022届黑龙江省大庆实验中学实验二部高考得分训练（二）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】化简集合A，B，然后利用交集的定义运算即得.

【详解】，，

则.

故选：D.

2．已知命题，命题，则下列判断正确的是（       ）

A．是真命题 B．q是真命题

C．是真命题 D．是真命题

【答案】C

【分析】根据对勾函数的单调性得到为真命题，根据指数函数单调性得到为假命题，再根据含逻辑连接词命题的真假对比选项得到答案.

【详解】因为，， 在上单调递减，所以，所以为真命题；为假命题，故A错误；

当时，，故为假命题，为真命题，则是真命题，是假命题，所以BD错误，C正确.

故选：C

3．设，则的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的乘除法进行化简，即可看出的虚部.

【详解】解：由可得.

则的虚部为.

故选：D.

4．某学校高一年级学生来自农村、牧区、城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断：

①该校高一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7；

②若已知该校来自牧区的高一学生为140人，则高一学生总人数为840人．

③若从该校高一学生中抽取120人作为样本，调查高一学生父母的文化程度，则利用分层抽样，从农村、牧区、城镇学生中分别抽取30、20、70人，样本更具有代表性．其中正确的判断有（       ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

【答案】A

【分析】根据扇形图中圆心角度数之比，结合分层抽样的特点，对每一项进行逐一判断，即可选择.

【详解】根据扇形统计图，结合圆心角分别为：，

来自农村，牧区和城镇的人数之比为：；

对①：该校高一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7，故①正确；

对②：设高一学生总人数为，则由来自牧区的高一学生为140人可得：

，则人，即高一学生总人数为人，故②正确；

对③：根据题意，从高一学生中抽取120人，自来农村，牧区和城镇的人数分别为：

人，，，故③正确；

故选：.

5．已知函数对任意实数x都有，并且对任意，都有，则下列说法正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得到函数关于对称，且在区间上单调递减函数，在区间上单调递增函数，结合函数的性质，逐项判定，即可求解．

【详解】由函数对任意实数都有，可得函数关于对称，

又由对任意，都有，

可得函数在区间上单调递减函数，则在区间上单调递增函数，

由，所以A不正确；

由，所以B不正确；

由，所以C正确；

由，所以，所以D不正确.

故选：C.

6．在区间内随机取两个数，则这两个数之和大于的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在在区间内随机取两个数，满足，得到围成的正方形的面积为，再画出不等式组所表示的平面区域，结合面积比的几何概型，即可求解.

【详解】由题意，在在区间内随机取两个数，满足，

则不等式组所围成的正方形的面积为，

则这两个数之和大于，即，

作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，

则阴影部分的面积为，

结合面积比的几何概型，这两个数之和大于的概率为.

故选：C.

7．如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，E为的中点，则在原几何体中，异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将给定展开图还原成三棱锥，取BD中点F，借助几何法求出异面直线所成角的余弦值.

【详解】因几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，于是得原几何体是正三棱锥，

其中两两垂直，且，取BD中点F，连接EF，AF，如图，

因E为的中点，则有，因此，是异面直线与所成角或其补角，

令DB=2，则，中，，

正中，，于是有：，即，，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：A

8．已知函数，则“”是“是的一个极小值点”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】若，求出导函数，利用导数符号可知充分性成立；若是的一个极小值点，利用可求出，再验证是的一个极小值点，可知必要性成立.

【详解】，

若，则,

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增．

故是的极小值点．

若是的极小值点，则，解得，经检验．当时，是的极小值点，

故“”是“是的极小值点”的充要条件．

故选：C

9．已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知，先对函数进行化简，根据最小正周期为，求解出，然后根据题意进行平移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线对称，建立等量关系即可求解出实数m最小值.

【详解】解：

，

即，由其最小正周期为，即，解得，

所以，

将其图象沿轴向左平移（）个单位，所得图象对应函数为，

其图象关于对称，所以，所以 ，

由，实数的最小值为.

故选：A.

10．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设，由两点距离公式计算可得根据题意可得，进而利用点到直线的距离公式即可求解．

【详解】设，

，

，即．

点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．

若直线上存在点Q使得，

则PQ为圆的切线时最大，如图，

，即．

圆心到直线的距离，

或．

故选：B．

11．若正实数满足，（为自然对数的底数），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由指数式与对数式互化为相同形式后求解

【详解】由题意得：，，，①，

又，，

，

和是方程的根，

由于方程的根唯一，，

由①知，，

故选：C

12．桂林山水甲天下，那里水㺯山秀，闻名世界，桂林的山奇特险峻，甲、乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的两点处，甲站在处唱歌时离处有一定距离的乙在处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点，现已知椭圆：上一点，过点作切线，两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心到切线的距离为 （       ）

A． B．10 C． D．7

【答案】C

【分析】如图，过作处切线的垂线交于，过分别作切线的垂线交切线于点，利用二倍角公式可求，结合椭圆的定义可求到切线的距离.

【详解】

如图，过作处切线的垂线交于，过分别作切线的垂线交切线于点，

由光学性质可知平分，，

则，

因为，故，所以，

，

故选：C.

二、填空题

13．若，，且，则向量与的夹角为________．

【答案】

【分析】设向量与的夹角为，由已知可得出，结合平面向量数量积的运算可求得，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.

【详解】设向量与的夹角为，由已知可得，

所以，，，因此，.

故答案为：.

14．在三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则该三角形周长的最大值为___________.

【答案】

【分析】利用正弦定理化简式子，求出的值，进而求出的大小，由余弦定理结合基本不等式即可求出，即可求出三角形周长的最大值.

【详解】由正弦定理变形有：，又因为，所以，则，又因为，所以，

又因为，

所以，当且仅当 “”时取等.

则该三角形周长的最大值为.

故答案为：.

15．已知焦距为6的双曲线的左､右焦点分别为，其中一条渐近线的斜率为，过右焦点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设M为的内切圆圆心，则的最大值为___________.

【答案】6

【分析】由焦距和渐近线的斜率求得得双曲线方程，根据双曲线的定义和内切圆性质得，然后用内切圆半径表示出和的面积及面积比，由弦长的最小值是通径长得出结论．

【详解】由题知，且2c＝6，根据，解得，，所以双曲线C的标准方程为．

如图，设的内切圆与三角形三边的切点分别是，由切线长性质，可得

，

因为，所以，所以与重合，因此是的内切圆在AB边上的切点，所以．

因为，

,则，

所以的的最大值为: 6.

故答案为：6.

三、双空题

16．在棱长为的正方体中，P为侧面内的动点，且直线与的夹角为30°，则点P的轨迹长为___________；若点与动点P均在球O表面上，球O的表面积为___________．

【答案】         

【分析】由得，进而求出，借助弧长公式求解；

由点与动点P均在球O表面上判断出球心在上，建立关于半径的方程求出半径.

【详解】        

①与的夹角为30°，，

∴与的夹角为30°，

即，

平面，

∴，

则，

P点轨迹长度．

②，， P都在球O上，O在上，

令半径为R，，，

，

∴

．

故答案为：；.

四、解答题

17．已知正项数列满足，前n项和满足

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知得到，再利用与的关系求出数列的通项公式；

（2）令，其前n项和为，求出的通项，再利用分组求和求出数列的前n项和.

【详解】(1)解：∵

∴

∴，∴是以1为首项，1为公差的等差数数列，

∴，即，

当时，，

当时，也成立，

∴.

(2)解：令，其前n项和为，

则，

当时，，

当时，，

所以

所以.

∴当时，

当时，

即.

18．如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，，底面，，是的中点，且.

(1)求证；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据条件证明底面即可；

（2）先求出点到平面的距离，再根据解题即可.

【详解】(1)由题意可知，底面是边长为的菱形，

，所以为等边三角形，因为是的中点，

所以，又，所以，因为底面，

平面，故，因为平面，

平面，平面，，

所以面，平面，故.

(2)由（1）知，，底面，

则点到平面的距离即，又因为为边长为等边三角形，

所以，因为底面，，所以为直角梯形，

所以，

所以.

即三棱锥的体积为：.

19．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.

(1)求的值；

(2)分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成答题卡中的列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？

临界值表：，其中.

【答案】(1)，；

(2)列联表见解析，有．

【分析】（1）：由频率分布直方图可知，，由中间三组的人数成等差数列可知，即可求解结果；

（2）：先求出周平均消费不低于300元的人数，即可完成列联表，进而求出卡方值即可判断结果．

【详解】(1)由频率分布直方图可知，，

由中间三组的人数成等差数列可知，可解得，

(2)周平均消费不低于300元的频率为，

因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人．

所以列联表为

所以有的把握认为消费金额与性别有关．

20．已知椭圆的方程为，斜率为的直线与相交于，两点.

(1)若为的中点，且，求椭圆的方程；

(2)在的条件下，连接并延长与曲线相交于点，且.求面积的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】设，，，根据，两点在椭圆上，代入椭圆方程，两式作差，写出有关斜率的式子，即可求得结果；

讨论直线的斜率不存在或存在情况，进而判断直线的斜率存在，设直线，联立方程，并结合韦达定理及点到直线的距离公式和基本不等式化简求得结果.

【详解】(1)解：设，，

由，两式相减得，

，

，

，则，

椭圆方程为.

(2)解：由题意可知，，都在椭圆上，且，两点关于原点对称，，

当直线的斜率不存在时，由，，则，为短轴上的顶点，此时，两点重合，不满足题意，

当直线的斜率存在时，设直线，，，

因点，关于原点对称，故.

由消去，化简得.

，即.③

，，由，可得.

.

设点到直线的距离为，则.

又，

.

令，则.

，（当且仅当时等号成立）.

此时，且满足③式.

面积的最大值为.

21．已知函数

（1）若，求证：当时，;

（2）若在区间上单调递增，试求k的取值范围;

（3）求证：

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【分析】(1)求导可得，再分析的单调性，进而得出导函数的范围即可得的单调性，进而证明即可.

(2)由题意可知导函数大于0恒成立，参变分离可得在区间上恒成立.构造函数求最小值即可.

(3)由(1)中的结论，代入可得，再累加求和利用裂项放缩求证即可.

【详解】（1），则．所以

所以在上递增，所以

所以在上递增，故．

（2）由题得，导函数在区间上恒成立.

即在区间上恒成立.

设，则，故在上，单调递减；在上，单调递增；故.

故，解得.即k的取值范围为．

（3）由（1）知，对于，有，取为有，

则，取，从而有，

于是

．

【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值证明不等式的问题，同时也考查了参变分离求参数范围的问题、根据前问的结论结合数列中的放缩证明不等式的问题.属于难题.

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数，且）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求的极坐标方程和的直角坐标方程；

(2)若与交于点A，将射线OA绕极点按顺时针方向旋转交于点B，求的面积．

【答案】(1)曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；

(2)

【分析】（1）消去参数得到的普通方程，再根据，代入求出曲线的极坐标方程，由，，将曲线化为直角坐标方程；

（2）由题意可设点的极坐标为，点的极坐标为，求出，，最后根据面积公式计算可得；

【详解】(1)解：将曲线的参数方程（为参数，且）中的参数消去得，将，代入得，所以，所以曲线的极坐标方程为，

因为曲线的极坐标方程为，即，由，，所以曲线的直角坐标方程，即

(2)解：由题意可设点的极坐标为，点的极坐标为，

则，，因为，，所以，，所以

23．已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)设函数的最小值为，若正实数满足，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值号，解不等式即可；

（2）先求出的最小值为，利用柯西不等式进行证明.

【详解】(1)①当时，．由，解得，此时；

②当时，．由，解得为；

③当时，．由，解得为；

综上，原不等式的解集为．

(2)由（1）得

当时，取得最小值2，，．

由柯西不等式得．

，当且仅当，即，时，等号成立．