2021-2022学年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02含解析

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2022年6月北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02第一部分 （选择题 共60分）一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分）1．若全集，，，则　　A． B． C． D．【答案】【详解】，，，故选：．2．若复数的实部与虚部相等，则实数　　A． B．1 C． D．2【答案】【详解】复数的实部与虚部相等，，解得．故选：．3．等于　　A．1 B．2 C．5 D．6【答案】【详解】．故选：．4．下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是　　A． B． C． D．【答案】【详解】为非奇非偶函数，不符合题意；为偶函数，不符合题意；即为奇函数，在上恒成立，故在上单调递减，符合题意，在上单调递增，不符合题意．故选：．5．已知角以轴正半轴为始边，其终边在射线上，则　　A． B． C． D．【答案】【详解】角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边在射线上，取点，则，所以，，所以．故选：．6．在中，若，，，则　　A． B． C． D．【答案】【详解】由正弦定理得，得，，，即，则，故选：．7．如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为．若一个扇形的圆心角为，弧长为10，则该扇形的面积为　　A． B． C． D．【答案】【详解】时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为，，一个扇形的圆心角为，弧长为，设其半径为，则，，该扇形的面积，故选：．8．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，，则的值为　　A． B． C． D．【答案】【详解】角以为始边，终边与单位圆交于点，，，．故选：．9．　　A． B． C． D．【答案】【详解】．故选：．10．若，则下列不等式正确的是　　A． B． C． D．【答案】【详解】根据题意可令、，则，，， 错；，，且，，对．故选：．11．“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】【详解】，，，，，，，是的充分不必要条件，故选：．12．某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校3000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：则选取的学生中参加机器人社团的学生数为　　A．50 B．75 C．100 D．125【答案】【详解】由条形统计图得抽到50名同学演讲，由扇形统计图片得抽到的学生中演讲同学占，一共抽取的学生数为：（人，抽到的学生中合唱学生占：，选取的学生中参加机器人社团的学生数为：（人．故选：．13．函数的零点所在的大致区间是　　A． B． C． D．【答案】【详解】在上是增函数，（1），（2），（2）（1），根据零点存在性定理，可得函数的零点所在区间为．故选：．14．已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是　　A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则【答案】【详解】不妨设，对于，若且，则，故错误；对于，若，与相交且不垂直，交点分别为，，显然与不一定垂直，故错误；对于，若，则或，又，故，故正确；对于，由面面垂直的性质可知当时才有，故错误．故选：．15．已知不等式的解集为，则的取值范围是　　A．， B． C．，， D．，，【答案】见解析【详解】不等式的解集为，所以△，解得；所以的取值范围是，．故选：．16．如图所示，在正方体中，是棱上任意一点，四棱锥的体积与正方体的体积之比为　　A． B． C． D．不确定【答案】【详解】由题意可得，平面，所以点到平面的距离为点到平面的距离，因为，，，，平面，所以平面，设正方体的棱长为，则正方体的体积，四棱锥的体积为，所以．故四棱锥的体积与正方体的体积之比为．故选：．17．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件 “至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是　　A．都是黑球 B．恰好有1个黑球 C．恰好有1个红球 D．至少有2个红球【答案】【详解】从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，在中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故错误，在中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故正确，在中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故错误，在中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故错误．故选：．18．某学校高二年级选择“史政地”、“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210、90和60．若采用分层抽样的方法从中随机抽取12名学生，则从“史政生”组合中抽取的学生人数为　　A．7 B．6 C．3 D．2【答案】【详解】由题意可知，“史政地”、“电政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210，90和60，故“史政生”所占的比例为，由分层抽样是按比例抽取可得，“史政生”组合中抽取的学生人数为．故选：．19．如图，正方形中，为的中点，若，则的值为　　A．3 B．2 C．1 D．【答案】【详解】由题意，因为为的中点，所以，所以，即，所以，，所以；故选：．20．大气压强，它的单位是“帕斯卡” ，大气压强随海拔高度的变化规律是，是海平面大气压强．已知在某高山，两处测得的大气压强分别为，，，那么，两处的海拔高度的差约为　　（参考数据：A． B． C． D．【答案】【详解】设，两处的海拔高度分别为，，则，，得．，两处的海拔高度的差约为．故选：．第二部分 （非选择题 共40分）二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）21．函数的定义域是　   　．【答案】，【详解】由题意得：，解得：，故函数的定义域是，，故答案为：，．22．已知向量，，在正方形网格中的位置，如图所示，则　  　．【答案】6【详解】由题意向量，，，，则．故答案为：6．23．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是　  　【答案】甲【详解】若甲正确，则乙、丙均错误，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，与“甲说：我不是第三名”正确相矛盾，故甲错误，因此，甲为第三名；于是乙、丙中必有一人正确，一人错误．若丙错误（则乙正确），即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，与乙正确“我是第三名”矛盾，故丙正确，即丙不是第一名，为第二名；故答案为：甲．24．设棱长为2的正方体，是中点，点、分别是棱、上的动点，给出以下四个结论：①存在；②存在平面；③存在无数个等腰三角形；④三棱锥的体积的取值范围是，．则所有结论正确的序号是 　  　．【答案】③④【详解】对于①：取中点，当点在上移动时，直线平面，同时当点在直线上移动时平面，因为，故与不可能平行，①错误．对于②：如图，以为原点建立空间直角坐标系，所以，0，，，2，，，2，，设，，，，，，所以，设平面 的法向量为，，，则 即，令，得，，所以，所以，故与平面不垂直，②错误．对于③：令，即，化简得，即，因为，所以该式在，的范围中存在无数组解，故说明有无数组与可使，故③正确．对于④：根据等体积性质可知，所以该三棱锥高可以看作，所以体积的取值范围即底面积 的取值范围，根据点位置的变化可知，当点在点时最小，当点在点时最大，计算得，，，所以，故④正确．故答案为：③④．三．解答题（共4小题，每小题7分，共28分）25．已知函数．（Ⅰ）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；（Ⅱ）解不等式．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）证明：任取，，令，则，因为，，且，所以，，所以，即，所以在区间上是增函数；（Ⅱ）因为，所以，即，整理得，等价于，解得或，所以不等式的解集为，，．26．如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为正三角形，平面平面，为的中点．（1）证明：平面；（2）证明：．【答案】见解析【详解】证明：（1）连接，交于点，连接，四边形为平行四边形，且，为的中点，又在中，为的中点，．平面，平面，平面；（2）平面平面，且平面平面，，平面，平面，平面，，为等边三角形，且为的中点，，又，，平面，平面，平面，．27．已知函数．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）求在区间，上的最大值和零点．解：（Ⅰ）　①　；　　；（Ⅱ）因为，，所以，，所以当　　；即　　时，取得最大值，为 　　；由和，得，，所以在区间，上的零点为 　　．空格序号选项①（A） （B）②（A）（B）③（A）， （B），④（A）1 （B）⑤（A），（B）【答案】见解析【详解】函数．（Ⅰ）；．（Ⅱ）．因为，，所以，，所以当；即时，取得最大值，为1；由和，得，，所以在区间，上的零点为．故答案为：①；②；③；④；⑤．28．科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度（单位：瓦平方米）有关．在实际测量时，常用（单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度满足关系式：是常数），其中瓦平方米．如风吹落叶沙沙声的强度瓦平方米，它的强弱等级分贝．（Ⅰ）　10　；（Ⅱ）已知生活中几种声音的强度如表： 声音来源声音大小风吹落叶沙沙声轻声耳语很嘈杂的马路强度（瓦平方米）强弱等级（分贝）1090那么　　；（Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度的最大值．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）将 瓦平方米， 瓦平方米代入，得；（Ⅱ）由，则；（Ⅲ）由题意知，，解得，所以的最大值为瓦平方米．