数学九年级上册2. 相似三角形的判定课后练习题

23.3.2相似三角形的判定（附解析）

一、单选题(共10个小题)

1．下列说法正确的是（          ）

A．两个直角三角形相似

B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似

C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似

D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似

2．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　   　）

A．B．C． D．

3．如图，在ABC中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有（         ）

A．个 B．个 C．个 D．个

4．点M为等边三角形ABC一边AB上的一点（与A、B不重合），过M作直线截等边三角形ABC，使截得的三角形与原三角形相似，符合条件的直线有（          ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

5．下列条件中能判断△ABC∽△A′B′C′的是（　    　）

A．∠A＝∠B，∠A′＝∠B                B．∠A＝∠A′，∠B＝∠C

C．∠A＝∠A′，              D．∠A＝∠A′，AB＝AC，A′B′＝A′C′

6．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影）与相似的是（          ）

A． B．C． D．

7．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（　   　）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．如图，点P在的边AC上，要判断，添加一个条件，不正确的是（         ）

A． B． C． D．

9．在ΔABC与△中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（             ）组．

①； ②； ③；④．

A． B． C． D．

10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　     ）

A．1    B．2     C．3     D．4

二、填空题(共10个小题)

11．如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是_________．

12．如图，在△ABC中，点为边上的一点，选择下列条件：

①；②；③；④中的一个，不能得出和相似的是：__________（填序号）．

13．如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是______．

14．△ABC的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为2、3、2.5，的三边长分别为6、3、4，则△ABC与__________相似．

15．如图，，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_____组．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_________．

17．如图，∠1＝∠2，请你补充一个条件：_________，使△ABC∽△ADE．

18．在和中，，，，，，判定这两个三角形是否相似_______．（填“相似”或“不相似”）

19．如图，已知等边△ABC的边长为3，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF=1，则AP•AF的值为_____．

20．如图，在直角梯形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若∆PAE与∆PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有________个.

三、解答题(共3个小题)

21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD．

22．如图所示，在四边形ABCD中，，点E是对角线BD上一点，，求证．

23．如图，，点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，求的长．

23.3.2相似三角形的判定解析

1．

【答案】D

【详解】解：A、∵两个直角三角形只有一组角相等，

∴两个直角三角形不一定相似，故选项A不合题意；

B、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，

∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，

故选项B不合题意；

C、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似，

∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；

D、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似，

∴选项D符合题意；

故选：D．

2．

【答案】D

【详解】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，

∴∠C=75°，∠A=30°，

A、三角形各角的度数都是60°，

B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，

C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，

D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，

∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，

故选：D．

3．

【答案】C

【详解】解：，，

∽，

，

又，

∽，

，，

∽，

故选C

4．

【答案】B

【详解】解：是等边三角形，

，

符合条件的直线是过点分别平行于的两条直线，如图所示：

故选：B．

5．

【答案】D

【详解】解：A、从∠A＝∠B，∠A′＝∠B只有一个角对应相等，找不出第二组对应相等的角，所以不能判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；

B、∵∠A＝∠A′，∠B＝∠C，

只能找到一组对应角∠A＝∠A′，所以不能判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；

C、有两边对应成比例，相等的角∠A＝∠A′，不是边AB、BC，A′B′、B′C′的夹角，所以不能判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；

D、AB＝AC，∠A＝∠A′，A′B′＝A′C′，可以利用两边对应成比例，夹角∠A＝∠A′相等，根据两三角形相似判定定理可判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项正确．

故选：D．

6．

【答案】C

【详解】解：由正方形的性质可知，∠ABC=180°-45°=135°，

A、B、D图形中的钝角都不等于135°，

由勾股定理得，BC=，AB=2，

对应的图形C中的边长分别为和1，

∵，

∴图C中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，

故选：C．

7．

【答案】B

【详解】解：∵AD⊥CB，

∴∠ADC＝∠BDA＝90°，

∴∠BAC＝∠ADC＝90°

又∵∠C＝∠C，

∴△ADC∽△BAC，

同理：△ADB∽△CAB，

∴△ADC∽△BAC∽△BDA，

故选：B．

8．

【答案】D

【详解】解：在和中，，

∴当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确；

当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确；

当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确；

当时，其夹角不相等，则不能判断，故D不正确；

故选：D．

9．

【答案】C

【详解】解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有①②或②④或③④，共3组，

故选C．

10．

【答案】D

【详解】解：如图①，，时，．

如图②，，，则，故；

如图③，，，则，故△；

如图④，，，则△．

故选：D．

11．

【答案】

【详解】解：∵DE∥BC，

，

∴，

∴，

∵，DE＝1，

∴，

故答案为：．

12．

【答案】③

【详解】解：①，时，，故①不符合题意；

②，时，，故②不符合题意；

③，时，不能推出，故③符合题意；

④，时，，故④不符合题意，

故答案为：③

13．

【答案】（答案不唯一）

【详解】解：本题答案不唯一；

与相似的三角形有：，，，

选择求证：．

证明：的高，交于点，

．

，

，

故答案是：．

14．

【答案】

【详解】解：△ABC的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为2、3、2.5

∵

∴△ABC与不相似

△ABC的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为6、3、4

∵

∴△ABC与相似

故答案为

15．

【答案】3

【详解】解：∵，

∴△DEA∽△FGA∽△BCA，

∴一共有3组相似三角形，

故答案为：3．

16．

【答案】

【详解】解：如图，

∵BP＝5，BC＝4，

∴CP＝1，

∵PQ⊥AP，

∴∠APQ＝90°＝∠ABC，

∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，

∴∠BAP＝∠BPQ，

又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，

∴△ABP∽△PCQ，

∴，

∴

∴CQ＝ ，

故答案为：．

17．

【答案】（答案不唯一）

【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，

要使△ABC∽△ADE，只需再有一对应角相等即可，

∴添加的条件为∠B＝∠D．

故答案为：．

18．

【答案】不相似

【详解】解：∵，，，

∴，

∵，，，

∴，

∴这两个三角形不相似．

故答案为：不相似

19．

【答案】3

【详解】由△ABC是等边三角形，得到∠C=60°，求得∠C=∠APE，根据相似三角形的判定定理得到△APE∽△ACF，再根据相似三角形的性质得到AE：AF=AP：AC，代入数据即可得到AP•AF=3．

故答案为3．

20．

【答案】3

【详解】试题解析：∵AB⊥BC，

∴∠B=90°．

∵AD∥BC，

∴∠A=180°-∠B=90°，

∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，

设AP的长为x，则BP长为8-x．

若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：

①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，解得x=；

②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．

∴满足条件的点P的个数是3个.

21．

【答案】见解析

【详解】证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵BE＝BD，

∴∠BED＝∠BDE，

∴∠AEB＝∠ADC，

∴△ABE∽△ACD．

22．

【答案】证明见解析

【详解】证明：∵，

∴．

∵，

∴，

∵在和中，

，

∴．

23．

【答案】当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．

【详解】解：设DP=x，则BP=BD-x=14-x，

∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，

∴∠B=∠D=90°，

∴当时，△ABP∽△CDP，即，

解得；

当时，△ABP∽△PDC，即，

整理得x2-14x+24=0，

解得x1=2，x2=12，

BP=14-2=12，BP=14-12=2，

∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．