初中数学23.4 中位线同步训练题

23.4　中位线

知识点 1　三角形的中位线

1.[2019·盐城] 如图,D,E分别是△ABC的边BA,BC的中点,AC=3,则DE的长为 (　　)

A.2 B. C.3 D.

2.[2020·广州] 如图,在△ABC中,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,连结DE.若∠C=68°,则∠AED的度数为              (　　)

A.22°  B.68° 

C.96°  D.112°

3.如图是一块等腰三角形空地ABC,已知D,E分别是边AB,AC的中点,量得AC=10米,AB=BC=6米.若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡,则需要篱笆的长是              (　　)

A.22米  B.17米 

C.14米  D.11米

4.若一个三角形的三条中位线的长分别是3 cm,4 cm,5 cm,则这个三角形的面积是 (　　)

A.6 cm2  B.12 cm2 

C.24 cm2  D.40 cm2

5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC,交AC于点D,交AB于点E,则DE的长为              (　　)

A.6 B.5 C.4 D.3

6.如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,且AB=6 cm,AC=8 cm,则四边形ADEF的周长为　　　　cm. 

7.如图,AB,CD相交于点O,OC=2,OD=3,AC∥BD,EF是△ODB的中位线,且EF=2,则AC的长为　　　　. 

8.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,对角线BD平分∠ABC,E,F分别是BD,CD的中点.

求证:AD∥EF.

9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE,DF是△ABC的中位线,连结EF,CD.

求证:CD=EF.

知识点 2　三角形的重心

10.在△ABC中,AD是BC边上的中线,G是重心,则AG=　　　DG.如果AG=6,那么线段DG=　　　. 

11.在△ABC中,如果AB=AC=5 cm,BC=8 cm,那么这个三角形的重心G到BC的距离是　　　　. 

12.如图,在矩形ABCD中,P,R分别是BC和DC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在BC上从点B向点C移动,而点R不动时,下列结论正确的是              (　　)

A.线段EF的长逐渐增大

B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长始终不变

D.线段EF的长与点P的位置有关

13.[2020·辽阳] 如图,在△ABC中,M,N分别是AB和AC的中点,连结MN,E是CN的中点,连结ME并延长,交BC的延长线于点D.若BC=4,则CD的长为　　　　. 

14.[教材习题23.4第1题变式] 如图,在△A1B1C1中,已知A1B1=7,B1C1=4,A1C1=5,依次连结△A1B1C1的三边中点,得△A2B2C2,再依次连结△A2B2C2的三边中点,得△A3B3C3……依次进行下去,则△A5B5C5的周长为　　　　. 

15.如图,等边三角形ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连结CD和EF.

(1)求证:DE=CF;

(2)求EF的长.

16.如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为各边的中点,顺次连结E,F,G,H,把四边形EFGH称为中点四边形.连结AC,BD,容易证明:中点四边形EFGH一定是平行四边形.

(1)如果改变原四边形ABCD的形状,那么中点四边形的形状也随之改变,通过探索可以发现:当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时,四边形EFGH为菱形.

①当四边形ABCD的对角线满足什么条件时,四边形EFGH为矩形?

②当四边形ABCD的对角线满足什么条件时,四边形EFGH为正方形?

(2)探索△AEH,△CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系,请写出你发现的结论,并加以证明.

答案

1.D　2.B

3.B　 ∵D,E分别是边AB,AC的中点,AB=BC=6米,AC=10米,∴DE=3米,DB=3米,EC=5米,∴篱笆的长=DE+BC+CE+DB=3+6+5+3=17(米).故选B.

4.C　5.D　6.14　7.　

8.证明:∵E,F分别是BD,CD的中点,

∴EF∥BC.

∵AB=AD,

∴∠ADB=∠ABD.

∵BD平分∠ABC,

∴∠DBC=∠ABD,

∴∠ADB=∠DBC,

∴AD∥BC,∴AD∥EF.

9.证明:∵DE,DF是△ABC的中位线,

∴DE∥BC,DF∥AC,

∴四边形DECF是平行四边形.

∵∠ACB=90°,

∴平行四边形DECF是矩形,

∴CD=EF.

10.2　3　

11.1 cm

12.C　 连结AR.∵矩形ABCD固定不变,点R在CD上的位置不变,

∴AR的长不变.

∵E,F分别为AP,RP的中点,

∴EF=AR,即线段EF的长始终不变.故选C.

13.2　 ∵M,N分别是AB和AC的中点,

∴MN是△ABC的中位线,

∴MN=BC=2,MN∥BC,

∴∠NME=∠D,∠MNE=∠DCE.

∵E是CN的中点,

∴NE=CE,

∴△MNE≌△DCE,

∴CD=MN=2.

14.1　 ∵A2,B2,C2是△A1B1C1的三边中点,∴△A1B1C1∽△A2B2C2,

∴=,

即△A2B2C2的周长=△A1B1C1的周长;同理得△A3B3C3的周长=△A2B2C2的周长=()2△A1B1C1的周长;由此类推,得△A5B5C5的周长=()4△A1B1C1的周长=()4×(7+4+5)=1.

15. (1)直接利用三角形中位线定理得出DE?BC,进而得出DE=CF;

(2)利用平行四边形的判定与性质得出CD=EF,进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长.

解:(1)证明:∵D,E分别为AB,AC的中点,

∴DE为△ABC的中位线,

∴DE?BC.

又∵CF=BC,

∴DE=CF.

(2)由(1)易知DE?CF,

∴四边形DEFC是平行四边形,

∴CD=EF.

∵D为AB的中点,等边三角形ABC的边长是2,

∴AD=BD=1,CD⊥AB,BC=2,

∴CD==,即EF=.

16.解:(1)①AC⊥BD.②AC=BD且AC⊥BD.

(2)结论:S△AEH+S△CFG=S四边形ABCD.

证明:∵四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形,

∴由题意可知,EH是△ABD的中位线,

∴EH?BD,∴△AEH∽△ABD,

可得==,

∴S△AEH=S△ABD.

同理可得S△CFG=S△CBD,

∴S△AEH+S△CFG=(S△ABD+S△CBD)=S四边形ABCD.