2022-2023学年北京十一晋元中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京十一晋元中学九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共20分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2. 用配方法解方程时，下列配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知关于的方程没有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在▱中，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将抛物线向左平移个单位后得到的抛物线表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设，，在抛物线上，则，，的关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是(    )

A.  B.
C.  D. 当时，

8. 如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，若直线与、共有个不同的交点，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

11. 一元二次方程的解是______．
12. 在矩形中，，，对角线、相交于点，则的周长是______．

13. 已知一次函数，若，则函数值的取值范围是______．
14. 已知，关于的方程有两个不相等的整数根，则的整数值是______．
15. 如图，在一块长为米，宽为米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为平方米，设小路的宽为米，则可列方程为______．
16. 已知抛物线为常数与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根分别是______．
17. 二次函数、的图象如图所示，则______填“”或“”．

18. 已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表：

则当时，的值为______．

19. 某市新建一座景观桥．桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为米，桥拱的最大高度为米不考虑灯杆和拱肋的粗细，则与的距离为米的景观灯杆的高度为______米．

20. 已知二次函数的图象与轴分别交于、两点如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共9小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    解一元二次方程：
    ；
    ．
22. 本小题分
    已知：是方程的一个根，求代数式的值．
23. 本小题分
    市人民政府为了解决群众看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品，经过连续两次降价后，由每盒元调至元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
24. 本小题分
    如图，四边形中，，，为的中点，．
    求证：四边形是菱形；
    连接，若，，求四边形的面积．

25. 本小题分
    已知一次函数的图象经过点且与正比例函数的图象相交于点．
    求的值；
    求一次函数的表达式；
    请你画出这两个函数的图象，并判断当取何值时，；
    求这两个函数图象与轴围成的三角形的面积．

26. 本小题分
    已知二次函数．
    二次函数图象的开口方向______，顶点坐标是______，与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标为______；
    画函数图象；
    当时，的取值范围是______．

27. 本小题分
    小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．

已知该商品的进价为每件元，设销售该商品的每天利润为元．
求与的函数关系式；
销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

28. 本小题分
    阅读下面材料：
    小元遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连结，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形．
    探究方程是否存在常数根．
    小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到如图，此时即是．
    请回答：______．
    参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
    如图，若，，则正方形的关联方程为______；
    正方形的关联方程是，则正方形的面积______．
     

29. 本小题分
    在平行四边形中，是上一点，，过点作直线，在上取一点，使得，连接．
    如图，当与相交时，若，求证：；
    如图，当与相交时，且，请你写出线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，．
故选A．
一元二次方程的一般形式是：是常数且其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

2.【答案】 

【解析】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
故选：．
在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
本题考查了解一元二次方程配方法．配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

3.【答案】 

【解析】解：关于的方程程没有实数根，
，
解得．
故选：．
根据根的判别式得出，代入求出不等式的解集即可得到答案．
本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据题意得出是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质，运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论．
根据平行四边形中相邻两内角互补求解．
【解答】
解：四边形是平行四边形，

，
，
，
，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线向左平移个单位，则平移后的抛物线的表达式为，
故选：．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
．
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：二次函数的开口向上，
，
观察图象，抛物线与轴的交点在轴下方，则，
对称轴在轴的右边，
，
，
，
故A正确，不符合题意；
观察图象，当时，函数值，
故B正确，不符合题意；
对称轴在的右边，
，
，
故C正确，不符合题意；
观察图象，当时，函数值，
故D错误，符合题意．
故选：．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
 

8.【答案】 

【解析】解：，为的中点，
，
为的中位线，
，
，
故选：．
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出的长，进而求出的长．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，
，
，
．
故选：．
根据题意可知，，，所以根据勾股定理可知，即，从而可求得的长．
此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：令，
即，
解得或，
则点，，
由于将向右平移个长度单位得，
则解析式为，
当与相切时，
令，
即，
，
解得，
当过点时，
即，
，
当时直线与、共有个不同的交点，
故选：．
首先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案．
本题主要考查抛物线与轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
 

11.【答案】， 

【解析】解：原方程变形为：，
，．
故答案为：，．
本题应对方程左边进行变形，提取公因式，可得，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为，这两式中至少有一式值为”，即可求得方程的解．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
 

12.【答案】 

【解析】解：矩形中，，，
，
，
的周长，
故答案为：．
由题意根据勾股定理求出，即可得到，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由一次函数得，，
，
，
．
故答案为：．
先用表示出的值，再根据的取值范围列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查了一次函数的性质，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
且，即且，
且，
，
，
解得，，
关于的方程有两个不相等的整数根，
的整数值为或．
故答案为：或．
根据方程有两个不相等的实数根得到且，即且，求出的取值范围，再解方程即可求出的整数值．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了一元二次方程的定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意得，
故答案为：．
由两条小路的重合部分是边长为米的正方形，可得出小路的占地面积矩形空地的长小路的宽矩形空地的宽小路的宽，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】， 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点为，
抛物线与轴另一个交点为，
或时，，
关于的一元二次方程的两个实数根分别是，．
故答案为：，．
先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则利用抛物线的对称性得到抛物线与轴另一个交点为，即或时，，然后根据抛物线与轴的交点问题得到关于的一元二次方程的两个实数根．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，
故，
故答案为．
根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系即可得出．
本题考查了函数图象，抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系是本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：依据表格可知抛物线的对称轴为，
当时与时函数值相同，
当时，．
故答案为：．
先确定出抛物线的对称轴，然后利用对称性求解即可．
本题主要考查的是二次函数的性质，利用二次函数的对称性求解是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：建立如图所示平面直角坐标系，

设抛物线表达式为，
由题意可知，的坐标为


，
当时，．
答：与距离为米的景观灯杆的高度为米，
故答案为：．
以所在直线为轴、所在直线为轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点坐标代入求得抛物线解析式，再求当时的值即可．
本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：连接．
在中，令，则，
解得：或．
则的坐标是，的坐标是，
则对称轴是直线．
令，解得，则的坐标是．
设经过和的直线的解析式是．
根据题意得：，
解得：，
则的解析式是，
令，则．
则的坐标是 ．
故答案是．
首先求得、以及的坐标，和函数对称轴的解析式，然后利用待定系数法求得的解析式，与二次函数的对称轴的交点就是．
本题考查了二次函数的坐标轴的交点，以及对称的性质，确定的位置是本题的关键．
 

21.【答案】解：，
这里，，，
，
，
，．
，
，
或，
，． 

【解析】利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
 

22.【答案】解：是方程的一个根，
，
；
，
，
，
，
，
． 

【解析】将一根代入方程，可得：；再将代数式去括号，整理，问题可求．
本题规律为已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程；
解题时，常常将其代入方程，对式子合理变形来解决问题．
 

23.【答案】解：设平均每次降价的百分率为，由题意得
解得，不合题意舍去
答：这种药品平均每次降价率是． 

【解析】因为该药品经过连续两次降价后由每盒元调至元，所以可设平均每次的降价率为，则经过两次降价后的价格是，即可列方程求解．
本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题，但应注意解的取舍．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：，为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形是菱形；
解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，
于点，，
为的中点，
，且，
在中，，，，
，
的面积，
的面积，
四边形的面积． 

【解析】根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论；
连接交于点，由菱形的性质得到于点，，根据勾股定理得到，由三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，三角形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：正比例函数的图象过点，
；

一次函数的图象经过两点、，
，解得，
．
故所求一次函数的解析式为；

函数图象如图：

由图象可知，当时，；

一次函数的表达式为：，与轴交于，
正比例函数与一次函数的交点为，
两个函数图象与轴所围成的三角形面积为． 

【解析】将点代入正比例函数即可求出的值；
根据所求，及一次函数的图象经过两点、，用待定系数法可求出函数关系式；
根据两点确定一直线画出这两个函数的图象，观察函数图象得到当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的上方，即；
先确定一次函数与轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了一次函数函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，三角形的面积等知识，都是基础知识，需熟练掌握．
 

26.【答案】向上    ，     

【解析】解：，
抛物线开口向上，
，
抛物线的顶点坐标为；
当时，，解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；
故答案为：向上；；，；；
如图，

当时，；当时，，
所以当时，的取值范围为．
故答案为：．
先把一般式配成顶点式，则根据二次函数的性质可判断抛物线的开口方向，顶点坐标；然后解方程得抛物线与轴的交点坐标，计算自变量为所对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标；
利用描点法画出二次函数的图象；
结合函数图象和二次函数的性质求解．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质与图象．
 

27.【答案】解：当时，，
当时，，
综上所述：与的函数关系式为；
当时，
二次函数，
，
当时，，
当时，
中随的增大而减小，
当时，，
综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据题意可以分别求得和时的与的函数关系式；
根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

28.【答案】     

【解析】解：阅读下面材料：
如图：

四边形是正方形，
，
把绕点顺时针旋转得到，
，，，，
，，
，，共线，，
，
，
在和中，
，
≌，
，即，
，，，
，即，
关于的一元二次方程有一个根是，
，
故答案为：；
如图：

四边形是正方形，
，
，
，
由阅读材料知，，
，，
在中，，
，
解得，
，
而，
正方形的关联方程为，
化简整理得，
故答案为：；
如图：

由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根，
，
解得，
正方形的关联方程是，
，，，
设正方形的边长为，
在中，，
，
解得，
正方形的边长为，
正方形的面积为，
故答案为：．
阅读下面材料：
由四边形是正方形，把绕点顺时针旋转得到，可证明≌，从而，即，有，即，故关于的一元二次方程有一个根是，即；
在中，，可得，从而可解得正方形的关联方程为；
由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根，可得，即得，，，设正方形的边长为，有，解得正方形的边长为，正方形的面积为．
本题考查几何变换综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，一元二次方程，新定义等知识，解题的关键是证明≌．
 

29.【答案】证明：如图，作交于点．
．
，，
．
在和中，
，
≌．
，．
，
是等边三角形．
．
；

．
如图，作交于点．
．
，
．
．
又，
≌．
，．
，
是等腰直角三角形．
．
． 

【解析】首先作交于点，易证得≌，又由，可证得是等边三角形，继而证得结论；
首先作交于点，易证得≌，继而可得是等腰直角三角形，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．