浙教版九年级上册3.7 正多边形课后作业题

这是一份浙教版九年级上册3.7 正多边形课后作业题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共7小题）
1. 如图所示，△ABC 是 ⊙O 的内接正三角形，四边形 DEFG 是 ⊙O 的内接正方形，EF∥BC，则 ∠AOF 的度数为
A. 125∘B. 130∘C. 135∘D. 140∘

2. 如图所示，边长为 a 的正六边形内有两个斜边长为 a，有一个角是 60∘ 的直角三角形，则 S阴影S空白 的值为
A. 3B. 4C. 5D. 6

3. 如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，△BCD 的面积为 4，则 △BCF 的面积为
A. 16B. 12C. 8D. 6

4. 蜂巢的构造非常美丽、科学．如图所示为由 7 个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上．设定 AB 边如图所示，若 △ABC 是直角三角形，则这样的三角形有
A. 4 个B. 6 个C. 8 个D. 10 个

5. 正方形 ABCD 与正八边形 EFGHKLMN 的边长相等，初始图形如图所示，将正方形绕点 F 顺时针旋转使得 BC 与 FG 重合，再将正方形绕点 G 顺时针旋转使得 CD 与 GH 重合 ⋯⋯ 按这样的方式将正方形 ABCD 旋转 2015 次后，正方形 ABCD 中与正八边形 EFGHKLMN 重合的边是
A. ABB. BCC. CDD. DA

6. 阅读理解：如图1所示，在平面内选一定点 O，引一条有方向的射线 Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点 M 的位置可由 ∠MOx 的度数 θ 与 OM 的长度 m 确定，有序数对 θ,m 称为点 M 的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系中，如果正六边形的边长为 2，有一边 OA 在射线 Ox 上，那么正六边形的顶点 C 的极坐标应记为
A. 60∘,4B. 45∘,4C. 60∘,22D. 50∘,22

7. 如图所示，正六边形螺帽的边长是 2 cm，这个扳手的开口 a 的值应是
A. 23 cmB. 3 cmC. 233 cmD. 1 cm

二、填空题（共7小题）
8. 如图所示，若干全等的正五边形排成环状，图中所示的是前 3 个五边形，要完成这一圆环还需 个五边形．

9. 如图所示，在正八边形 ABCDEFGH 中，四边形 BCFG 的面积为 20 cm2，则该正八边形的面积为 cm2．

10. 如图所示，平面上有两个全等的正十边形，其中点 A 与点 Aʹ 重合，点 C 与点 Cʹ 重合．则 ∠BAJʹ 的度数为 ．

11. 如图所示，正六边形 ABCDEF 的边长为 23，延长 BA，EF 交于点 O．以 O 为原点，以边 AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则直线 DF 与直线 AE 的交点坐标是 ．

12. 如图所示，已知边长为 2 的正三角形 ABC 顶点 A 的坐标为 0,6，BC 的中点 D 在 y 轴上，且在点 A 下方，点 E 是边长为 2 、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中 DE 的最小值为 ．

13. 如图所示，AD 是正五边形 ABCDE 的一条对角线，则 ∠BAD= ．

14. 如图所示，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，点 P 是其对角线 BE 上一动点，连接 PC，PD，则 △PCD 的周长的最小值是 ．

三、解答题（共6小题）
15. 如图所示，以正六边形 ABCDEF 的边 AB 为边，在正六边形内作正方形 ABMN，连接 MC．求 ∠BCM 的大小．

16. 如图所示，已知正五边形 ABCDE，AF∥CD 交 DB 的延长线于点 F，交 DE 的延长线于点 G．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证；∠G=2∠F．

17. 如图所示，M，N 分别是 ⊙O 的内接正三角形 ABC，正方形 ABCD，正五边形 ABCDE，⋯，正 n 边形 ABCDE⋯ 的边 AB，BC 上的点，且 BM=CN，连接 OM，ON．
（1）求图1中 ∠MON 的度数．
（2）图2中 ∠MON 的度数是 ，图3中 ∠MON 的度数是 ．
（3）试探究 ∠MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系（直接写出答案）．

18. 如图所示，AG 是正八边形 ABCDEFGH 的一条对角线．
（1）在剩余的顶点 B，C，D，E，F，H 中，连接两个顶点，使连接的线段与 AG 平行，并说明理由．
（2）两边延长 AB，CD，EF，GH，使延长线分别交于点 P，Q，M，N，若 AB=2，求四边形 PQMN 的面积．

19. 如图所示，正三角形、正方形、正六边形等正 n 边形与圆的形状有差异，我们将正 n 边形与圆的接近程度称为“接近度”．
（1）按角定义：设正 n 边形的每个内角的度数为 m∘，将正 n 边形的“接近度”定义为 180-m，180-m 越小，该正 n 边形就越接近于圆．
①若 n=3，则该正 n 边形的“接近度”等于 ．
②若 n=20，则该正 n 边形的“接近度”等于 ．
③当“接近度”等于 时正 n 边形就成了圆．
（2）按边定义：设一个正 n 边形的外接圆的半径为 R，正 n 边形的中心到各边的距离为 d，将正 n 边形的“接近度”定义为 dR-1．请分别计算 n=3，n=6 时正 n 边型的“接近度”，并猜测当“接近度”等于多少时，正 n 边形就成了圆．

20. （1）如图 1 所示，△ABC 是 ⊙O 的内接等边三角形，点 P 为 BC 上一动点，求证：PA=PB+PC．
（2）如图 2 所示，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接正方形，点 P 为 BC 上一动点，求证：PA=PC+2PB．
（3）如图 3 所示，六边形 ABCDEF 是 ⊙ 的内接正六边形，点 P 为 BC 上一动点，请探究 PA，PB，PC 三者之间有何数量关系，并给予证明．
答案
1. C
2. C
3. C
4. D
5. D
6. A
7. A
8. 7
9. 40
10. 108∘
11. 23,4
12. 4-3
13. 72∘
【解析】
设 O 是正五边形的中心，连接 OD，OB．
则 ∠DOB=25×360∘=144∘，
∴ ∠BAD=12∠DOB=72∘．
14. 6
【解析】要使 △PCD 的周长最小，即 PC+PD 最小．利用正多边形的性质可得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD 交 BE 于点 Pʹ，
那么有 PʹC=PʹA，PʹC+PʹD=AD 最小．又易知四边形 ABCD 为等腰梯形，∠BAD=∠CDA=60∘，则作 BM⊥AD 于点 M，CN⊥AD 于点 N．
∵AB=2，
∴AM=12AB=1，
∴AM=DN=1，从而 AD=4，故 △PCD 的周长的最小值为 6．
15. ∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴ ∠ABC=120∘，AB=BC．
∵ 四边形 ABMN 为正方形，
∴ ∠ABM=90∘，AB=BM．
∴ ∠MBC=120∘-90∘=30∘，BM=BC．
∴ ∠BCM=∠BMC=75∘．
16. （1） 等腰三角形有：△BCD，△ABF，△FDG，△AEG．
（2） ∵ 五边形 ABCDE 是正五边形，
∴ ∠C=∠CDE=108∘，CD=CB，
∴ ∠CDB=36∘，∠BDE=72∘，
∵ AF∥CD，
∴ ∠F=∠CDB=36∘，
∴ ∠G=180∘-72∘-36∘=72∘=2∠F．
17. （1） 连接 OB，OC．
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB．
∵ OC=OB，点 O 是外接圆的圆心，
∴ BO 平分 ∠ABC，CO 平分 ∠ACB．
∴ ∠OBM=∠OCN=30∘．
∵ BM=CN，OC=OB，
∴ △OMB≌△ONC．
∴ ∠BOM=∠NOC．
∴ ∠MON=∠BOC．
∵ ∠BAC=60∘，
∴ ∠BOC=120∘．
∴ ∠MON=120∘．
（2） 90∘；72∘
（3） ∠MON=360∘n
18. （1） 如图所示，连接 BF，BF∥AG．
理由如下：∵ 八边形 ABCDEFGH 是正八边形，
∴ 它的内角都为 135∘．
∵HA=HG，
∴∠1=22.5∘．
∴∠2=135∘-∠1=112.5∘．
∵ 正八边形 ABCDEFGH 关于直线 BF 对称，
∴∠3=12×135∘=67.5∘．
∴∠2+∠3=180∘．
∴BF∥AG．
（2） 由题意可知 ∠PHA=∠PAH=45∘，
∴∠P=90∘，
同理可得 ∠Q=∠M=90∘．
∴ 四边形 PQMN 是矩形．
∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45∘，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MED．
∴PA=QB=QC=MD．
∴PQ=QM．
∴ 四边形 PQMN 是正方形．
在 Rt△PAH 中，
∵PA=PH，AH=AB=2，
∴PA=2．
∴PQ=PA+AB+BQ=2+2+2=22+2．
∴S四边形PQMN=22+22=12+82．
19. （1） ① 120；② 18；③ 0
（2） 如图1所示，
当 n=3 时，
∵∠CAB=60∘，
∴∠OAD=30∘．
∴dR=12．
∴dR-1=12．
如图2所示，
当 n=6 时，
∵∠CAD=120∘，
∴∠OAD=60∘．
∴dR=32．
∴dR-1=1-32．
当“接近度”等于 0 时，正 n 边形就成了圆．
20. （1） 如图 1 所示，延长 BP 至点 E，使 PE=PC，连接 CE，
∵ A，B，P，C 四点共圆，
∴ ∠BAC+∠BPC=180∘．
∵ ∠BPC+∠EPC=180∘，
∴ ∠BAC=∠EPC=60∘．
∵ PE=PC，
∴ △PCE 是等边三角形．
∴ CE=PC，∠ECP=60∘．
∵ ∠BCE=60∘+∠BCP，∠ACP=60∘+∠BCP，
∴ ∠BCE=∠ACP，
∵ △ABC，△ECP 为等边三角形，
∴ CE=PC，BC=AC．
∴ △BEC≌△APC．
∴ PA=BE=PB+PC．
（2） 如图 2 所示，过点 B 作 BE⊥PB 交 PA 于点 E．
∵ ∠1+∠2=∠2+∠3=90∘，
∴ ∠1=∠3．
∵ ∠APB=45∘，
∴ BP=BE，PE=2PB．
∵ AB=BC，
∴ △ABE≌△CBP．
∴ PC=AE．
∴ PA=AE+PE=PC+2PB．
（3） PA=PC+3PB．
证明：如图 3 所示，过点 B 作 BM⊥AP 于点 M，在 AP 止截取 AQ=PC，连接 BQ．
∵ ∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴ △ABQ≌△CBP．
∴ BQ=BP．
∴ MP=QM．
∵ ∠APB=30∘，
∴ PM=32PB．
∴ PQ=3PB．
∴ PA=AQ+PQ=PC+3PB．