福建省三明市第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

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三明一中2017-2018学年上学期高一学段考

数学试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列各项中，不可以组成集合的是（   ）

A. 所有的正数    B. 等于2的数    C. 接近于0的数    D. 不等于0的偶数

【答案】C

【解析】试题分析：集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；“接近于0的数”是不确定的元素

故接近于0的数不能组成集合故选C．

考点：集合的含义．

2. 下列函数与有相同图象的一个函数是（   ）

A.     B. （且）

C.     D. （且）

【答案】D

【解析】因为选项A,定义域相同，对应法则不同，选项B中定义域不同，选项C中，定义域不同，故选D

3. 已知集合中含有1和两个元素，则实数不能取（   ）

A. 0    B. 2    C. -1和1    D. 1和0

【答案】C

【解析】由集合中元素的互异性知,x2≠1,即x≠±1.选C.

4. 在映射中，，且，则与中的元素对应的中的元素为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

5. 若，，则与的关系是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】,则的子集有：，，，.

所以，，，.所以.

故选B.

点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.

6. 三个数，，之间的大小关系是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】.

所以.

故选C.

7. 已知函数在上递增，则的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】∵函数在x⩽−1上递增，

当a=0时，y=1，不符合题意，舍去；

当a≠0时,

①当a<0时,此时为开口向下的抛物线，对称轴.

由题意知,解得.

②当a>0时, 此时为开口向上的抛物线，不满足题意

综上知,a的取值范围为：，

故选D.

8. 若函数满足，则的解析式是（   ）

A.     B.

C.     D. 或

【答案】B

【解析】试题分析：设

考点：换元法求解析式

9. 若函数和都是奇函数，且在区间上有最大值5，则在区间上（   ）

A. 有最小值-1    B. 有最大值-3    C. 有最小值-5    D. 有最大值-5

【答案】A

【解析】设，

∵f(x),g(x)均为R上的奇函数，

则h(−x)=−h(x).

∴h(x)是奇函数,且它在(0,+∞)上有最大值5−2=3，

根据对称性,它在(−∞,0)上有最小值：−3，

则F(x)在(−∞,0)上有最小值：−3+2=−1.

故选：A.

10. 如果一种放射性元素每年的衰减率是8%，那么的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)为t，

，两边取对数，

，即，

∴

故选C.

11. 定义运算，则函数的图象是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】.

作出函数图象：

故选B.

12. 已知函数，则下列结论正确的是（   ）

A. ，为奇函数且为上的增函数    B. ，为偶函数且为上的减函数

C. ，为奇函数且为上的增函数    D. ，为偶函数且为上的增函数

【答案】A

【解析】当时,,定义域为R且

∴为奇函数

∵是R上的增函数,是R的减函数

∴为R上的增函数，故选项A正确；

当时,,定义域为R且

∴f(x)为偶函数，

根据1<2,f(1)<f(2)则f(x)在R上的不是减函数；

根据−2<−1,f(−2)>f(−1)则f(x)在R上的不是增函数；

故选项B.D不正确

故选A.

点睛：函数的奇偶性：

（1），则为奇函数；

（2），则为偶函数.

函数单调性的性质：增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 如果幂函数的图象过点，那么__________．

【答案】

【解析】设幂函数，

∵幂函数f(x)的图象过点，

故，

解得：，

∴，

故，

故答案为：.

14. 函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】本题考查函数定义域的求法。

解答：要使函数有意义，只需

即，即

故定义域为。

15. 已知函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.在下列三个函数中：（1）；（2）；（3）.“理想函数”有__________．（只填序号）

【答案】（3）

【解析】∵函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(−x)=0；

②对于定义域上的任意，当时,恒有,则称函数f(x)为“理想函数”，

∴“理想函数”既是奇函数，又是减函数，

在(1)中,是奇函数,但不是增函数,故(1)不是“理想函数”；

在(2)中,,是偶函数,且在(−∞,0)内是减函数,在(0,+∞)内是增函数,故(2)不是“理想函数”；

在(3)中,是奇函数,且是减函数,故(3)能被称为“理想函数”。

故答案为：(3).

16. 已知定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数，则不等式的解集是__________．

【答案】

【解析】定义在实数集上的偶函数满足，

所以不等式等价于，

由偶函数在区间上是减函数，则在区间上是增函数.

所以，解得或，有：或.

不等式的解集是.

点睛：本题主要考查抽象函数的定义域、函数的单调性及利用单调性函数解不等式，属于难题. 利用单调性函数解不等式应注意以下三点：（1）一定注意函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知全集为，集合，.

（1）求，；

（2）若，且，求的取值范围.

【答案】（1），或.(2)

【解析】试题分析：（1）求出集合A，B，根据集合的基本运算即可求，；

（2）若，且，根据集合关系，建立不等式关系即可，求的取值范围．

试题解析：

（1）∵ ，∴；

∵，∴或.

(2)由题意知，则或.∵，，

∴或，解得或.故的取值范围为.

18. 计算：（1）；

（2）.

【答案】（1）（2）52

【解析】试题分析：（1）直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．

（2）利用对数运算法则化简求解即可．

试题解析：

（1）原式.

（2）原式 .

19. 已知函数（为常数，且）满足，方程有唯一解，求函数的解析式，并求的值.

【答案】，

【解析】试题分析：将代入可得，根据有唯一解，得到，解出方程组，故而可得解析式，代入即可求出的值.

20. 已知函数，其中.

（1）求函数的最大值和最小值；

（2）若实数满足：恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）， (2)

【解析】试题分析：（1）令，由的范围可得，从而转化为二次函数在区间的最值；

（2）恒成立，即恒成立，只需恒成立.

试题解析：

（1）.令，∵，∴.

令 .

当时，是减函数；当时，是增函数.

∴，.

(2)∵恒成立，即恒成立，∴恒成立.

由（1）知，∴.故的取值范围为.

21. 已知为定义在上的偶函数，当时，，且的图象经过点，在的图象中有一部分是顶点为，过点的一段抛物线.

（1）试求出的表达式；

（2）求出的值域.

【答案】（1）(2)

【解析】试题分析：利用待定系数法求出分段函数每一段的解析式，再根据自变量的范围，求出对应的函数值的范围，取并集就是函数的值域.

试题解析：

当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),则；

由于f(x)为定义在R上的偶函数,当时， ；

y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.设，过点，则，，可见当时，；

则f(x)=

（2）当时，；当时，；当时，；函数的值域为.

22. 已知函数（是常数），且，.

（1）求的值；

（2）当时，判断的单调性并证明；

（3）若不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）(2) 在区间上是增函数,证明见解析(3)

【解析】试题分析：（1）根据条件得到参数的两个方程，解方程组得到本题结论；（2）利用函数单调定义加以证明，得到本题结论；（3）利用函数的单调性，得到相应的自变量的大小关系，解不等式得到本题结论．

试题解析：

（1）由题意知，.

∴将上式联立方程组解得.

(2)在区间上是增函数.

证明如下：设，则

.

∵，∴，，∴，∴，即，

∴在区间上是增函数.

(3)∵，，∴，

∴，

解得或.

故的取值范围是.

点睛：本题主要考查抽象函数的定义域、函数的单调性及利用单调性函数解不等式，属于难题. 利用单调性函数解不等式应注意以下三点：（1）一定注意函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.