2022-2023学年重庆110中九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆110中九年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 道路千万条，安全第一条，以下是一些常见的交通标识，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 不等式，在数轴上可表示为(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 当时，分式没有意义，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，，垂直平分线交于点，交于点，的周长为，则为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，为了测量池塘边、两地之间的距离，在线段的同侧取一点，连结并延长至点，连结并延长至点，使得、分别是、的中点，若，则线段的长度是(    )
    

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如下图，边长为、的长方形周长为，面积为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 若关于的分式方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平行四边形中，，、分别在和的延长线上，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 若关于的分式方程的解为非负数，且关于的不等式组有个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知关于，的方程组，以下结论正确的有个．(    )
    不论取什么实数，的值始终不变；
    存在实数，使得；
    当时，；
    当，方程组的解也是方程的解．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 计算：的结果是______．
14. 如图，已知函数的图象与轴的交点坐标为，则根据图象可得不等式的解集是______．

15. 如图，已知中，，，将绕点逆时针反向旋转到的位置，连接，则的长为______．

16. 为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮；乙种粗粮每袋装有千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的，，三种粗粮的成本价之和．已知粗粮每千克成本价为元，甲种粗粮每袋售价为元，利润率为，乙种粗粮的利润率为若这两种袋装粗粮的销售利润率达到，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是______商品的利润率

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算或化简：
    ；
    ．
18. 本小题分
    解不等式组或方程：
    ；
    ．
19. 本小题分
    如图，在▱中，．
    用尺规完成以下基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点保留作图痕迹，不写作法
    在所作的图形中，连接交于点，证明：．

20. 本小题分
    有甲、乙两家肉禽类公司到某超市推销鸡腿，两家鸡腿价格相同，品质相似．超市决定通过评估质量来确定选择哪家鸡腿，检查人员从两家分别抽取了个鸡腿，然后再从中随机各抽取个，这些鸡腿的质量记为单位：克，将所得的数据分为组组：，组，，组：，组：，组：，学校对数据进行分析后，得到如下部分信息：
    甲公司被抽取的个鸡腿质量频数分布直方图图：
    乙公司被抽取的个鸡腿质量扇形统计图图：
    
    甲公司被抽取的鸡腿质量在这一组的数据是：，，，，，，．
    乙公司被抽取的鸡腿质量在这一组的数据是：，，，，，，，．
    甲、乙公司被抽取的鸡腿质量的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述表中______，______，______；
根据以上数据，请估算乙公司这个鸡腿中质量不低于克的数量；
根据以上数据分析，如果你是超市采购人员，你会选择采购哪个公司的鸡腿，请说明理由写出一条理由即可．

21. 本小题分
    “数形结合百般好”在代数式的学习过程中我们可以结合图形理解相关公式的产生，如图所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：．
    请结合以上知识，解答下列问题：
    写出图所示的长方形所表示的数学等式______；
    根据图得到的结论，解决下列问题：
    若，，求代数式的值；
    小明同学用图中张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求代数式的值．
     

22. 本小题分
    某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵元，用元购买甲种商品的件数恰好与用元购买乙种商品的件数相同．
    求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
    计划购买这两种商品共件，且投入的经费不超过元，那么最多可购买多少件甲种商品？
23. 本小题分
    如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“等十数”，并把数分解成的过程，称为“巧拆分”．
    例如：，和的十位数字相同，个位数字之和为，是“等十数”．
    又如：，和的十位数字相同，但个位数字之和不等于，不是“等十数”．
    判断，是否是“等十数”？并说明理由；
    把一个四位“等十数”进行“巧拆分”，即，的各个数位数字之和与的各个数位之和的和记为，的各个数位数字之和与的各个数位之和的差的绝对值记为令，当能被整除时，求出所有满足条件的．
24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，轴交轴于点，．
    求点的坐标；
    如图，点是轴上一动点，点为平面内一点，且为▱的对角线，当最小时，请直接写出点的坐标，并在轴上找一点使最大，求出此时点的坐标；
    如图，点仍是轴上一动点，是否存在点使为等腰三角形，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
     

25. 本小题分
    如图，▱中，于点，，过点作交于点．
    若，，求的长；
    如图，连接，点为线段上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，求证：；
    在的条件下，点为直线上一点，连接，请直接写出的最小值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：“”空心圆圈向右画折线，“”实心圆点向左画折线．
不等式，在数轴上可表示为
故选：．
不等式在数轴上表示不等式与两个不等式的公共部分．
考查了不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

3.【答案】 

【解析】解：无法分解因式，故此选项不合题意；
B.无法分解因式，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，分式没有意义，
时，，
．
故选：．
当时，分式没意义，把代入，求得的值．
本题考查分式有意义的条件．当分母时分式有意义，当分母等于时，分式无意义．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作轴，如图，

点，，
，，
在中，，
以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，
，
点的坐标为：．
故选：．
过点作轴，从而可得，，利用勾股定理可求得，即，从而可确定点的坐标．
本题主要考查勾股定理，坐标与图形性质，解答的关键是由勾股定理求得的长度．
 

8.【答案】 

【解析】解：边长为、的长方形周长为，面积为，
，，
则

．
故选：．
直接利用矩形的性质得出，的值，进而将原式提取公因式分解因式，把数据代入得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
分式方程有增根，
，
把代入中，
，
解得：，
故选：．
根据题意可得，然后把代入整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
即为中点．
，
，
，
，
过作于点，

，，
，
，
，
．
故选：．
首先证明四边形是平行四边形，可得，即为中点，然后再得，再利用三角函数可求出和的长即可．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握平行四边形对边相等．
 

11.【答案】 

【解析】解：解关于的分式方程得，
，
由于方程的解为非负数，
，
即，
不等式的解集为，
不等式的解集为，
由于的整数解只有个，
，
解得，
又为整数，
，，，
所有满足条件的整数的值之和为，
故选：．
求出分式方程的解，根据解为非负数可得的取值范围，再根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再根据为整数进行计算即可．
本题考查一元一次不等式组，分式方程，掌握一元一次不等式组的整数解得定义以及分式方程的解法是正确解答的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
得：，
得，
，故正确；
，
时，，故正确；
，
当，即，则，故正确；
当时，，，
而不是的解，故错误，
正确的有，共个，
故选：．
解方程组可得，，再依次对选项进行判断即可．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，根据所给条件对每个选项进行判断是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质进而得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数的图象与轴的交点坐标是，
不等式的解集是．
故答案为：．
不等式的解集是轴上方的函数图象所对应的自变量的取值．
考查一次函数与一元一次不等式的相关知识；掌握不等式的解集是轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的易错点．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，交于，如图，

中，，，
，
绕点逆时针反向旋转到的位置，
，，，，
为等边三角形，
，
垂直平分，
，，
．
故答案为．
连接，，交于，如图，利用等腰直角三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，，，则可判断为等边三角形，垂直平分，所以，，然后计算即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键．
先求出千克粗粮成本价千克粗粮成本价元，得出乙种粗粮每袋售价为元．再设该电商销售甲种袋装粗粮袋，乙种袋装粗粮袋，根据甲种粗粮每袋售价为元，利润率为，乙种粗粮的利润率为这两种袋装粗粮的销售利润率达到，列出方程，求出．
【解答】
解：甲种粗粮每袋装有千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮，
而粗粮每千克成本价为元，甲种粗粮每袋售价为元，
千克粗粮成本价千克粗粮成本价元，
乙种粗粮每袋装有千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮，
乙种粗粮每袋售价为元．
甲种粗粮每袋成本价为元，乙种粗粮每袋成本价为元．
设该电商销售甲种袋装粗粮袋，乙种袋装粗粮袋，
由题意，得，
，
．
故答案为．  

17.【答案】解：原式
；

原式
． 

【解析】直接利用平方差公式以及二次根式的乘法运算法则化简，进而得出答案；
直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算、分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，原分式方程无解． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，点、即为所求；

四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
又，
，即，
． 

【解析】以点为圆心、为半径画弧，与的交点即为点；根据角平分线的尺规作图可得；
先证，再结合得，即，从而得出答案．
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及平行四边形的性质、等角对等边的性质．
 

20.【答案】     

【解析】解：乙公司被抽取的个鸡腿质量在组对应的百分比为，
，即；
乙公司被抽取的个鸡腿质量出现最多的是，即众数，
甲公司被抽取的个鸡腿质量的中位数；
故答案为；、、；
个，
答：估算乙公司这个鸡腿中质量不低于克的数量为个．
我会选择采购甲公司，因为甲公司和乙公司的鸡腿质量平均数都为克，但甲公司鸡腿质量的中位数克大于乙公司鸡腿质量的中位数克．
我会选择采购乙公司，因为甲公司和乙公司的鸡腿质量平均数都为克，但乙公司鸡腿质量的众数克大于甲公司鸡腿质量的众数克．
先求出乙公司被抽取的个鸡腿质量在组对应的百分比，再根据百分比之和为可得的值，根据众数和中位数的定义可分别求出、的值；
总数乘以不低于克的数量所占的百分比即可；
答案不唯一，合理即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

21.【答案】 

【解析】解：拼成的大长方形面积之和，
各个小图形面积之和，
图所表示的数学等式是．
故答案为：．
图中大正方形的面积，
各个小图形面积之和，
．
，．
，
即，
．
大长方形的面积为，
小图形的面积分别为，，，
，，．
．
根据正方形的面积各长方形的面积之和求解即可．
根据图对应的结论进行求解．
拼成的长方形面积为，对比小正方形和小长方形面积即可求出，，的值．
本题考查多项式乘多项式和完全平方公式的几何背景，因式分解的应用．解决本题的关键是能结合图象得出多项式乘多项式的结果，并利用整体思想求解．
 

22.【答案】解：设每件乙种商品的价格为元，每件甲种商品的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每件甲种商品的价格为元，每件乙种商品的价格为元．
设购买件甲种商品，则购买件乙种商品，
依题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：最多可购买件甲种商品． 

【解析】设每件乙种商品的价格为元，每件甲种商品的价格为元，利用数量总价单价，结合用元购买甲种商品的件数恰好与用元购买乙种商品的件数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每件乙种商品的价格，再将其代入中即可求出每件甲种商品的价格；
设购买件甲种商品，则购买件乙种商品，，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：，
和十位数字相同，但个位数字，
不是“等十数”．
，和十位数字相同，且个位数字，
是“等十数”．
设的十位数字为，个位数字为，
的个位数字不为，且是一个四位“等十数”，
，，
则，，
，．
是整数．
，
，
是整数，
，
或
当时，或，当时，或，
或，
综上，满足条件的有：，． 

【解析】根据“等十数”的定义直接判定即可；
设的十位数字为，个位数字为，则，，得出，，当能被整除时，设值为，对进行讨论．
本题是新定义题，主要考查了列代数式，以及数的分解，正确地读懂题目信息是前提，解题的关键是用字母，表示出，．
 

24.【答案】解：过点作于，

，
，，
在中，由勾股定理得，
，
；
设与的交点为，作于，

四边形是平行四边形，
，
当最小时，最小，
此时与重合，
；
当最大时，可知、、三点共线，
设的函数解析式为，
则，
，
，
当时，，
；
当时，如图，
由勾股定理得，

或；
当时，则，

或，
当时，此时、、三点共线，
不符合题意，故舍去，
当时，设，由勾股定理得，
，

解得，
，
综上：或或或 

【解析】过点作于，由勾股定理得，可得点的坐标；
设与的交点为，作于，根据平行四边形的性质可得，则当最小时，最小，此时与重合，即可求出此时点的坐标，当最大时，可知、、三点共线，利用待定系数法求出直线的解析式即可解决问题．
分，，三种情形，分别画出图形，进而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，延长交于点，则，
于点，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
的长为．
证明：如图，作交的长延线于点，则，
由得，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
由旋转得，，
，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
解：如图，连接，
由得，
点在过点与垂直的直线上运动，
当时，的值最小，
设的延长线交直线于点，
，
，
，
，
点、、、在同一条直线上，
，，，
≌，
，
由得，，，
，
，
，
，
，
，
的最小值是． 

【解析】延长交于点，先证明≌，得，再根据勾股定理求出的长，即可由求出的长；
作交的长延线于点，由，得，所以，再证明≌，得，则，所以，再由勾股定理证明，则；
连接，由于点在过点与垂直的直线上运动，所以当时，的值最小，再证明≌，得，再根据列方程求出的长，根据勾股定理求出的长，即可求出的长，再由求出的长即可．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、根据面积等式列方程求线段的长度等知识与方法，此题难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．