2021-2022学年江西省宜春市丰城九中七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省宜春市丰城九中七年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个图案中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 某小区要植一块三角形草坪，两边长分别是米和米，那么这块草坪第三边长可以是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，在中，，，垂直平分，交于点，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限不等于，点在轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 正五边形的外角和为______度．
8. 若，则______．
9. 如图是一个角的平分线的尺规作图，观察作图痕迹，你觉得作图的依据是______．

10. 如图，点，，在同一条直线上，，请你只添加一个条件，使得≌你添加的条件是______ 要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可

11. 如图，等腰三角形的底边为，面积为，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为______．

12. 如图，等腰中，，于，的平分线分别交，于，两点，为的中点，连接并延长交于点，连接，下列结论：；；；和的面积相等．其中正确的结论是______填序号

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

13. 计算：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    在如图所示的星形中，，，，，
    求的值．

15. 本小题分
    已知：如图，点、在上，且，，．
    求证：≌．

16. 本小题分
    已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
    在坐标系中，描出；
    在图中作出关于轴对称的；
    如果要使以、、为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点坐标．

17. 本小题分
    如图，在中，，．
    请用尺规作图的方法在边上确定点，使得点到边的距离等于的长；保留作图痕迹，不写作法
    在的条件下，求证：．

18. 本小题分
    在中，
    如图，、为和的角平分线，求与之间的关系？
    如图，、为和的角平分线，求与之间的关系？
    如图，、为和的角平分线，求与之间的关系？
    请选择其中一道小题写出详细过程
     

19. 本小题分
    如图，，，，，垂足为．
    求证：≌；
    求证：．

20. 本小题分
    【原题再现】课本第页课内练习第题：如图，在中，为边上一点，，于点，于点，且，求证：．
    【探究思考】
    同学们完成这道题目后，在老师的启发下对问题进行了反思探究，提出了如下思考：
    把题中的条件“”和结论“”互换得到的命题是否成立？
    题中的“为上一点”改为“为内部一点”，是否仍能得到？
    【问题解决】
    请你对上述两个问题作出判断，直接在横线上写“是”或“否”；
    选择其中一个问题画出图形，并说明理由．

21. 本小题分
    已知中，；中，；，点、、在同一直线上，与相交于点，连接．
    如图，当时，
    请直接写出和的形状；
    求证：；
    请求出的度数．
    如图，当时，若，，求线段的长．
     

22. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，已知，且，满足．
    求，两点的坐标；
    已知中，，求点的坐标；
    已知，试探究在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

23. 本小题分
    如图，已知，，为轴正半轴上一点，点为第三象限一动点，交于，且．
    求证：与互补；
    求证：平分；
    若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
即：，
观察选项，选项符合题意．
故选：．
根据三角形的三边关系定理可得，再解即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
 

3.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：当，时，
A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
．
．
．
，，
．
．
故选：．
由垂直平分，得欲求，可求由，得，那么根据含度角的直角三角形的性质，得，从而解决此题．
本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则分以下几种情况：
当时，
点在轴上，
此时存在两个符合条件的点；
当时，
点在轴上，
此时存在一个符合条件的点；
当时，
点在轴上，
此时存在一个符合条件的点；
综上，符合条件的点共有个，
故选：．
根据等腰三角形的性质分情况得出点的数量即可．
本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：正五边形的外角和为度，
故答案为：．
根据多边形外角和等于即可解决问题．
本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于．
 

8.【答案】 

【解析】解：

，
，
，，
．
故答案为：．
先用多项式乘多项式法则进行计算，再根据等式的性质即可算出，的值，即可得出答案．
本题主要考查了多项式乘多项式及等式的性质，熟练掌握多项式乘多项式及等式的性质进行计算是解决本题的关键．
 

9.【答案】“”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线 

【解析】解：连接，，
由作法得，，
在和中，
，
≌，
，
即射线就是所求作的的角平分线．
故答案为：“”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线．
利用作法得到，，则根据全等三角形的“”判定方法可判断≌，然后根据全等三角形的性质得到．
本题考查了基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握作已知角的角平分线是解决问题的关键．
 

10.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加的条件是，
理由是：，
，，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，．

是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：．
连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，，推出，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：等腰中，，于，
，，，，
是平分，
，
，，
，，
，
，
故符合题意，
是的中点，，
，，
，
，，
≌，
，
故符合题意，
，，，
≌，
，
，
；
故符合题意，
，，
，
，
，
，
和的面积相等．
故符合题意，
故答案为：．
根据题意可得：，，，，即可证，≌，≌，；即可得结论．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定解决问题是本题的关键．
 

13.【答案】解：

；


． 

【解析】先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项；
利用单项式乘多项式法则先算乘法，再合并同类项．
本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
 

14.【答案】解：如图：
设与相交于，
与相交于，
与相交于，
与相交于，
与相交于，

由三角形的外角性质得，，
，
，
，
，
，
即．
，，，，
，
的值为． 

【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

15.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌． 

【解析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
利用平行线的性质可得，然后再利用等式的性质可得，再利用判定≌即可．
 

16.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
点坐标或或或．
 

【解析】根据点的坐标画出图形即可；
利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用全等三角形的判定作出点即可．
本题考查作图轴对称变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．


如图，过点作于点，
由知．
又，，
≌，
，
，，
．
，
，
，
，
． 

【解析】依据尺规作图，作的平分线即可解决问题．
依据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

18.【答案】解：、为和的角平分线，
，．
．
，
．
．
．
，
．
、为和的角平分线，
，．
．
，，
．
、为和的角平分线，
，．
．
． 

【解析】根据角平分线的定义，由、为和的角平分线，得，，推断出根据三角形的内角和定理，，那么，进而推断出．
根据三角形外角的性质，得根据角平分线的定义，得，，那么．
根据三角形外角的性质，得，，那么根据角平分线的定义，、为和的角平分线，
得，，那么，那么．
本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌；
如图，延长至，使，连接，

，
，
在和中，
，
≌，
，，
由知≌，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
先证明≌，可得，，由知≌，可得，，，再证明≌，可得，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：是，
理由：如图，连接，
，，
平分三线合一性质，
、分别垂直、于点和．
角平分线上的点到角两边的距离相等；

是，
理由：如图，在和中，
≌，
，，
，
，
， 

【解析】连接，由三线合一性质证得平分，由角平分线上的性质即可得的结论；
证得≌，推出，，根据等腰三角形的性质得到，由等式的性质，由等腰三角形的判定即可得到结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，角平分线的性质，全等三角形的判断和性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，，
和是等边三角形，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，
，
；
，，，
和均为等腰直角三角形，
，
，
即，
，
在和中，
，
≌，
，
，
≌，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
答：线段的长为． 

【解析】根据等边三角形的判定即可解决问题；
由“”可证≌，可得；
由全等三角形的性质可得，由平角的性质可求解；
由“”可证≌，可得，由全等三角形的性质可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解．
本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质证明≌解决问题是本题的关键．
 

22.【答案】解： 、满足，
，，
，，
，；
如图，过点作轴于点，
则，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
则点的坐标为；
存在，如图，当，点在点的右侧时，点的坐标为，
当，点在点的左侧时，点的坐标为，
当时，，点的坐标为，
综上所述：点的坐标为或或． 

【解析】根据非负数的性质分别求出、的值，进而求出，两点的坐标；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求出点的坐标；
分三种情况，根据等腰三角形的概念解答即可．
本题考查的是等腰三角形的概念、全等三角形的判定和性质、非负数的性质，根据非负数的性质分别求出、的值、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，，
，
即与互补；
如图，过点作于点，作于点，则，

，
，
又，
，
，
即，
又，
≌ ，
．
平分；
的度数不变化，
如图，延长至点，使，连接，

，
，
，，
，
，
，
又，
≌，
，
，即是等边三角形，
，
，
又，
． 

【解析】由线段垂直平分线的性质可得，可得，由三角形内角和定理可求解；
由“”可证≌，可得，由角平分线的性质可得结论；
由“”可证≌，可得，可证是等边三角形，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．