2021-2022学年吉林省吉林市亚桥中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年吉林省吉林市亚桥中学七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共6小题，共24分）

1. 已知点，则点到轴的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，下列条件不能判定直线的是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列四个选项中，错误的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

4. 下列的四个图形，能由如图平移得到的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 我国明代数学读本算法统宗一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果托为尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为尺，竿子长为尺，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 不等式组：的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共8小题，共24分）

7. 的算术平方根是______．
8. 若是非负数，则的取值范围是______．
9. 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田处，并要求所挖的渠道最短．小明画线段，他的根据是______．

10. 已知是关于，为未知数的方程的解，则______．
11. 如图，直线与直线相交于点，，垂足为，若，则的度数是______．

12. 数据共个，分别落在个小组内，第一、二、三、四组的数据分别为、、、，则第五个小组的频数为______．
13. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴上，且，则点坐标为______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发、按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点，，，，，那么点为自然数的坐标为______用表示．

三、解答题（本题共12小题，共84分）

15. 计算：．
16. 马小虎在解不等式的过程中出现了错误，解答过程如下：

马小虎的解答过程是从第______ 步开始出现错误的；
请写出此题正确的解答过程．

17. 如图，在中，，是的平分线，，求的度数．

18. 解方程组：．
19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到图中每个小方格边长均为个单位长度．
    在图中画出平移后的；
    直接写出各顶点的坐标．

20. 如图所示，已知于点，于点，交于点，交的延长线于点，且问：平分吗？并说明理由．

21. 某班一次数学测试成绩如下：
    ，，，，，，，，，，
    ，，，，，，，，，，
    ，，，，，，，，，．
    补充完整频数分布表：

补充完整图中的频数分布直方图；
若分以上的成绩为优秀，那么该班这次数学测验的优秀率是多少？

22. 某校体育队到体育用品店购买一批篮球和足球，已知买个篮球和个足球共需元；买个篮球和个足球共需元．
    求一个篮球和一个足球的售价各是多少元；
    结算时，校体育队发现一个篮球商家可以获利，则一个篮球的进价是______ 元
23. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”例如，点的“级关联点”为，即．
    已知点的“级关联点”是点，点的“级关联点”是，求点和点的坐标；
    已知点的“级关联点”位于轴上，求的坐标；
    已知点，，点和它的“级关联点”都位于线段上，请直接写出的取值范围．

24. 如图，已知，的平分线与的平分线相交于点．
    如图，求证：
    ；
    ．
    如图，，，则与之间的关系为______；
    当，且时，直接写出的度数用含、的式子表示．

25. 为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买台污水处理设备，现有、两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：

经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多万元，购买台型设备比购买台型设备少万元．
求、的值；
经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过万元，并且该月要求处理西太湖的污水量不低于吨，则有哪几种购买方案？请指出最省钱的一种购买方案，并指出相应的费用．

26. 如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式：．
    
    求、、的值；
    如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
    在的条件下，是否存在负整数，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点，
点到轴的距离为：．
故选：．
利用点的横坐标的绝对值得出点到轴的距离．
此题主要考查了点的坐标，正确理解点的横纵坐标的意义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
内错角相等，两直线平行；
B、，
同位角相等，两直线平行；
C、与，的位置无关；
D、，
同旁内角互补，两直线平行．
故选C．
根据平行线的判定定理进行解答．
本题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
 

3.【答案】 

【解析】解：若，则，成立，故本选项不合题意；
B.若，则，成立，故本选项不合题意；
C.若，则，成立，故本选项不合题意；
D.若，则，故本选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是．
故选：．
根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．
本题考查了生活中平移的现象，解决本题的关键是熟记平移的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：设索长为尺，竿子长为尺，
根据题意，可列方程组为，
故选：．
设索长为尺，竿子长为尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：解不等式组得，
即，
表示在数轴上，如图：

故选：．
先解不等式组中的每一个不等式，得出不等式组的解集，再表示在数轴上，即可．
本题考查一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．
根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】
解：因为，
所以．
故答案为：．  

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

9.【答案】垂线段最短 

【解析】解：要把河中的水引到水池处，小明画线段垂直河岸，使挖的水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
根据垂线段的性质，可得答案．
本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线：垂线段最短．
 

10.【答案】 

【解析】解：是关于，为未知数的方程的解，
，
．
故答案为：．
利用二元一次方程的解的意义将方程的解代入运算即可．
本题主要考查了二元一次方程的解，利用二元一次方程的解的意义将方程的解代入是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
根据对顶角相等可得，再根据垂直定义可得，再根据角的和差关系可得答案．
此题主要考查了垂线，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
第二组数的频数为．
故答案为．
此题只需根据各小组频数之和等于数据总和，进行计算即可．
本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．
注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于．
 

13.【答案】或 

【解析】解：为坐标原点，点在轴上，且，
点在轴的正半轴上的坐标为，
点在轴的负半轴上的坐标为．
故答案为：或．
分点在轴的正半轴和负半轴两种情况．
本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键也是易错点是只写出一种情况．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图可知，时，，点，
时，，点，
时，，点，
所以，点．
故答案为：．
根据图形分别求出、、时对应的点的坐标，然后根据变化规律写出即可．
本题考查了规律型中点的坐标，根据点的变化找出变化规律：为自然数是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式． 

【解析】原式第一项利用立方根的定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，后两项利用平方根的定义化简，计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，绝对值的代数意义，以及立方根、平方根的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】三 

【解析】解：马小虎的解答过程是从第三步开始出现错误的；
故答案为：三；
正确的解答过程为：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为得．
第三步的移项出现错误；
根据一元一次不等式的解题步骤求解．
本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
 

17.【答案】解：且，
；
是的平分线，
，
，
，
． 

【解析】首先运用平行线的性质求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，然后继续运用平行线的性质求得．
本题考查了平行线的性质以及角平分线的概念，比较简单．
 

18.【答案】解：代入得，，
解得，
将代入得，
所以方程组的解为． 

【解析】根据方程组中方程的特点，采用代入消元法解答即可．
本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求作的图形；


，，． 

【解析】先找出平移后的对应点，，的位置，然后顺次连接即可得解；
根据平面直角坐标系的特点写出即可．
本题主要考查了利用平移变换作图，平面直角坐标系的特点，找出平移后对应点的位置是作图的关键，熟练掌握平面直角坐标系也很关键．
 

20.【答案】解：平分．
理由：如图所示
，，
，
．
又，，
平分． 

【解析】根据题意易得且，，再根据等式的性质可得；故AD平分．
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的判定及角与角相互间的等量关系．
 

21.【答案】解：补全频数分布表，如图所示：

故答案为：，；

补充完整图中的频数分布直方图，如图所示：


根据题意得：，
则该班这次数学测验的优秀率是． 

【解析】由测试成绩找出分数段在与的人数，补全频数分布表即可；
补全条形统计图，如图所示；
找出分以上的人数，除以总人数即可得到优秀率．
此题考查了频数率分布直方图，以及频数率分布表，弄清题意是解本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元，
依题意得：，
解得：．
答：一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元．
元．
故答案为：．
设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元，根据“买个篮球和个足球共需元；买个篮球和个足球共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用篮球的进价篮球的售价利润率，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

23.【答案】解：点的“级关联点”是点，
，
即．
设点，
点的“级关联点”是，

解得
．
点的“级关联点”为，
位于轴上，
，
解得：
，
．
点和它的“级关联点”都位于线段上，
，
，

解得：． 

【解析】根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
根据关联点的定义和点的“级关联点”位于轴上，即可求出的坐标．
因为点，，得到，由点和它的“级关联点”都位于线段上，可得到方程组，解答即可．
本题考查一次函数图象上的坐标的特征，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】 

【解析】证明：(ⅰ)如图，过点作，

，
，
，，
，
，
；
(ⅱ)如图，过点作，
，
，
，，
，
，
；
解：结论：，理由是：
设，，则，，，，
由得：，
，
，
，
，
；
故答案为：；
解：设，，则，，，，
由可得：，
，
，
，
，
．
根据平行线的性质可得：；
(ⅱ)根据平行线的性质可得：；
设，，则，，，，根据和四边形内角和得等式可得结论；
同将倍换为倍，同理可得结论．
本题主要考查了平行线的性质和角平分线、等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
 

25.【答案】解：根据题意得：，
解得：；
设购买污水处理设备型设备台，型设备台，根据题意得，

解得：
为，，．
购买方案：型设备台，型设备台，费用为：万元
型设备台，型设备台，费用为：万元
型设备台，型设备台，费用为：万元
为了节约资金，应选购型设备台，型设备台，其费用为万元． 

【解析】购买型的价格是万元，购买型的设备万元，根据购买一台型设备比购买一台型设备多万元，购买台型设备比购买台型设备少万元可列方程组求解．
设购买型号设备台，则型为台，根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过万元，利用每月要求处理污水量不低于吨，可列不等式组求解．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．
 

26.【答案】解：，
，，，
，，；
点坐标为，点坐标为，
四边形的面积

；
存在．理由如下：
，
，
，
为负整数，
或或，
点的坐标为或或 

【解析】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．
根据几个非负数和的性质得到，，，分别解一元一次方程得到，，；
根据三角形的面积公式和四边形的面积进行计算；
若，则，解得，则，，，然后分别写出点的坐标．