高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积当堂达标检测题

专题8.3简单几何体的表面积与体积

知识储备

1.空间几何体的表面积与体积公式

2.正方体与球的切、接常用结论

正方体的棱长为a，球的半径为R，

(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；

(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；

(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.

3.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.

4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单选题

1．（2020·合肥市第十一中学高二期中（文））如图，已知正方体的棱长为1，则四棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由正方体性质得平面，

所以四棱锥的体积为，

故选：B.

2．（2019·西安交通大学附属中学雁塔校区高一月考）直三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ， ， ，D 是线段 的中点．棱柱 被平面 分成的两部分的体积比为（    ）．

A．1:3 B．1:4 C．2:3 D．1:5

【答案】D

【解析】在中，为中点

∵直三棱柱中，平面

∴是三棱锥的高，也是直三棱柱的高,

.

棱柱 被平面 分成的两部分的体积比为1:5.故选：D

3．（2020·山西吕梁市·高二期中）已知为球的球面上的四个点，圆为的外接圆．若圆的面积为，，则球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得为等边三角形，

设外接圆半径为，，解得，

由，可知三棱锥为正四面体，

将正四面体放在正方体，如图：

设正方体的棱长为，则，

解得，设正方体的外接球半径为，

则，所以，

所以球的体积为.故选：B

4．（2020·山西吕梁市·高二期中）已知是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，

如图：

则此三棱锥的表面积为：

.故选：A

5．（2020·湖南高三月考）如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器.秦始皇统一中国后，仍以商鞅所规定的制度和标准统一全国的度量衡.经测量，该铜方升内口（长方体）深1寸，内口长是宽的1.8倍，内口的表面积（不含上底面）为33平方寸，则该铜方升内口的容积为（    ）

A．5.4立方寸 B．8立方寸 C．16立方寸 D．16.2立方寸

【答案】D

【解析】设内口宽为寸，则长为寸，由

整理得，解得（舍去）

故所求的容积为立方寸.故选：D

6．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高长为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】设圆锥底面半径是，母线长，

，即①

根据圆心角公式得：，即②

由①②解得：，，

高.故选：D.

7．（2020·河北高二学业考试）若圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则圆锥的体积与球的体积之比是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设球的半径为，则该球的体积为；

又圆锥的底面半径和高都等于球的半径，

所以该圆锥的体积为，

因此圆锥的体积与球的体积之比是.故选：D.

8．（2020·昔阳县中学校高二期中）已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，，，，若该棱锥的体积为，则此球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作出三棱锥，如图：

因为平面，则，

又因为，所以，由，

所以平面，所以,

所以为直角三角形，

又为直角三角形，

所以三棱锥的外接球球心在的中点上，

，解得，

所以,

故三棱锥的外接球半径，

所以外接球表面积为.故选：B

二、多选题

9．（2020·全国高三专题练习）已知正方体的各棱长均为2，下列结论正确的是（    ）

A．该正方体外接球的直径为

B．该正方体内切球的表面积为

C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为

D．该正方体外接球的体积为

【答案】ABC

【解析】若正方体的棱长为2，则：

①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，

即，故A正确，

外接球体积为，故D错误；

②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故，

球的表面积为，故B正确；

③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，

即，球的半径为，故C正确．故本题选：ABC.

10．（2020·江苏连云港市·高一期末）正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为，则（    ）

A．正方体的外接球的表面积为12π B．正方体的内切球的体积为

C．正方体的棱长为1 D．线段MN的最大值为

【答案】AD

【解析】设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为，

正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，由于两球球心相同，

可得MN的最小值为，解得，故C错误；

所以外接球的半径为，表面积为，故A正确；

内切球的半径为1，体积为，故B错误；

MN的最大值为，故D正确；故选：AD.

11．（2020·潍坊市潍城区教育局高三月考）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（    ）

A．沙漏中的细沙体积为

B．沙漏的体积是

C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm

D．该沙漏的一个沙时大约是1565秒

【答案】AC

【解析】A.根据圆锥的截面图可知：

细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，

所以细沙的底面半径，

所以体积

B.沙漏的体积；

C.设细沙流入下部后的高度为，

根据细沙体积不变可知：，

所以；

D.因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙，

所以一个沙时为：秒.故选：AC

12．（2020·武安市第三中学高三期中）已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB＝AD，BC＝1，CD，则（    ）

A．三棱锥的外接球的体积为

B．三棱锥的外接球的体积为

C．三棱锥的体积的最大值为

D．三棱锥的体积的最大值为

【答案】AC

【解析】如图，∵BC⊥CD，BC＝1，CD，∴BD＝2，∵AB＝AD，

∴AB⊥AD，

∴BD的中点O为外接球球心，故半径为1，体积为 ，

当面ABD与面CBD相互垂直时，点A到面BCD的距离最大，

故此时三棱锥的体积最大，此时高为AOBD＝1；

其最大值为：1BC×CD1．故选：AC．

三、填空题

13．（2019·西安交通大学附属中学雁塔校区高一月考）已知 S， A， B， C是球O 表面上的点， 面ABC，，，．则球O的表面积为 _________．

【答案】12π

【解析】∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，，．

∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以AB为边长的正方体的体对角线的一半，

则正方体外接球的半径，则球体的表面积为：.故答案为:12π.

14．（2020·江苏南通市·高三期中）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为________.

【答案】

【解析】因为，所以，所以，

所以可将三棱柱补成一个长方体，如图：

则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径，所以，所以.

所以外接球的表面积为.故答案为：

15．（2020·山东日照市·日照一中高三月考）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为______.

【答案】

【解析】如图所示：

因为，

所以，的外接圆的圆心为BD的中点，

又底面，由截面圆的性质得：

球的球心为侧棱的中点，

从而球的直径为，

利用张衡的结论可得，则，

所以球的表面积为.故答案为：

四、双空题

16．（2020·浙江台州市·高二期中）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为__________；该圆锥的体积为__________.

【答案】2       

【解析】

设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，

由侧面展开图是一个半圆可得，解得，

又，

所以，解得；

所以圆锥的母线长为，

圆锥的高为，

所以圆锥的体积为．

故答案为：2，．