2021学年第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理测试题

1.2空间向量基本定理（精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：基底的判断

重点题型二：用基底表示空间向量

重点题型三：应用空间向量基本定理证明线线位置关系

重点题型四：应用空间向量基本定理求距离、夹角

第四部分：新定义问题

第五部分：高考（模拟）题体验

知识点一：空间向量基本定理

1、空间向量基本定理

如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得

2、基底与基向量

如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量．

对基底正确理解，有以下三个方面：

（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；

（2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是；

（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念．

知识点二：空间向量的正交分解

1、单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示．

2、正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标．

3、特殊向量的坐标表示

（1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即

（2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即

（3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即

（4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即

（5）当向量平行于平面时，横坐标为，即

（6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即

1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误

（1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．(        )

（2）若为空间一个基底，则也可构成空间一个基底．(        )

（3）若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面．(        )

（4）对于三个不共面向量，，，不存在实数组使．(        )

【答案】     ×     √     √     ×

（1）不共面的三个向量均可以作为空间向量的一组基底，错误；

（2）由为空间一个基底，所以不共面，故可以作为基底，正确；

（3）三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面，正确；

（4）存在，比如，错误.

2．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是(        )

A．          B．          C．          D．

【答案】C

根据空间基底的概念可知：不共面，符合要求

故选：C

3．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

.

故选：A

4．（2022·湖北·高二期末）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

空间四点共面，但任意三点不共线，，解得：.

故选：A.

5．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知空间向量，，，下列命题中正确的个数是（       ）

①若与共线，与共线，则与共线；

②若，，非零且共面，则它们所在的直线共面；

⑧若，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得；

④若，不共线，向量，则可以构成空间的一个基底.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

若 与 ， 与共线， ，则不能判定 ，

故①错误；

若非零向量共面，则向量 可以在一个与 组成的平面平行的平面上，

故②错误；

不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，

故③正确；

，∴ 与 共面，故 不能组成一个基底，

故④错误；

故选：C.

重点题型一：基底的判断

典型例题

例题1．（2022·全国·高二期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

解：对于选项A：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项A错误，

对于选项B：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项B错误，

对于选项C：因为，，，共面，不能构成基底，故选项C错误，

对于选项D：若，，共面，则，即，则，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，故选项D正确.

故选：D．

例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（   ）

A．  B． C． D．

【答案】D

由于，可知共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；

由于，可知共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；

由于，可知共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；

假设不是空间的一组基底，即向量共面，则存在实数使得，即，

所以,

因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空间的一组基底，所以选项D正确；

故选:D.

同类题型归类练

1．（2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

选项A：令，则，，A正确；

选项B：因为，所以不能构成基底；

选项C：因为，所以不能构成基底；

选项D：因为，所以不能构成基底．

故选：A.

2．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

如图，作平行六面体，，，，

则，，，，

由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，

因此可以作为空间的基底的有3组．

故选：C．

重点题型二：用基底表示空间向量

典型例题

例题1．（2022·福建·三明一中高二阶段练习）如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设，，则________（用来表示）

【答案】

，而M是四面体OABC的棱BC的中点，则，

因AP＝3PN，，则，

所以.

故答案为：

例题2．（2022·江苏常州·高二期中）已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.

【答案】

因为，则，

所以，，

所以，，，，因此，.

故答案为：.

例题3．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

，

其中 为中点，有 ，故可知 ，

则知 为 的中点，故点 满足 ， ．

故选：A

同类题型归类练

1．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（       ）

A． B．=

C．= D．=

【答案】B

连接AG并延长交BC于N，连接ON，

由G是的重心，可得，

则

则

故选：B

2．（2022·江苏南通·高二期中）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（          ）

A． B． C． D．

【答案】A

由题意得：，

故选：A

3．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥中，设，若，则=（            ）

A． B．

C． D．

【答案】A

连接

.

故选：A

4．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知是所在平面外一点，是中点，且，则（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

因为M是PC中点，

，又，

，

∴.

故选：A.

重点题型三：应用空间向量基本定理证明线线位置关系

典型例题

例题1．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．

求证：；

证明：在矩形中，，

因为平面平面，且平面平面，

平面，

所以平面，

又因平面，所以，

，

所以，

所以；

例题2．已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.证明：；

设，，

由题可知：两两之间的夹角均为，且，

（1）由

所以即证.

同类题型归类练

1．如图，在直三棱柱中，，，   D，E分别为，的中点．

求证；

设  ，，  ，

根据题意得， ，易知 ， ，

，

，即．

2．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，．

(1)用，，表示，；

(2)求证：；

【答案】(1)，(2)证明见解析

(1)，分别是，的中点，则且

所以，

，分别是，的中点，则且

(2)证明：设四面体的棱长为，则向量两两之间的夹角均为

则，

∴，

故；

重点题型四：应用空间向量基本定理求距离、夹角

典型例题

例题1．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，是的中点，设，，，用、、表示向量，并求的长．

【答案】，

解：因为是的中点，底面是正方形，

所以

，

又由题意，可得，，，，

，

因此

，

所以，即的长为.

例题2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，点是的中点，，，，，设，，.

（1）用，，表示，；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】（1），；（2）．

（1）三棱柱中，点是的中点，

，

，

（2），，，，，

，

，

，

．

所以异面直线与所成角的余弦值是．

例题3．（2021·天津市西青区杨柳青第一中学高二期中）如图，三棱柱中，分别是上的点，且．设，，．

(1)试用，，表示向量；

(2)若，求的长．

(3)在（2）的条件下，求与所成角的余弦值．

【答案】(1)(2)(3)

(1)解：（1）=＋＋

=＋＋

，

又，，，

∴．

(2)解：∵，∴．

∵，∴．∵，

∴，

∴，

∴．

(3)解：∵

∴

又

∴.

同类题型归类练

1．（2022·福建宁德·高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为与的交点，设，，．

(1)用，，表示并求BM的长；

(2)求点A到直线BM的距离．

【答案】(1)，BM的长为．(2)2

(1)

又，，，

故BM的长为．

(2)由（1）知，，

∴，

所以，则为点A到直线BM的距离，

又，故点A到直线BM的距离为2．

2．（2022·浙江·於潜中学高二期中）如图所示，在四棱锥中，，且，底面为正方形.

(1)设试用表示向量；

(2)求的长.

【答案】(1)(2)

(1)∵M是PC的中点，

∴.

∵，∴，

结合，，，

得.

(2)∵，

∴，∵，

∴，，

∴

.

∴，即BM的长等于.

3．（2022·全国·高二）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.

(1)试用、、表示；

(2)求的长度.

【答案】(1)；(2).

(1)平行六面体中，，，，因，于是得：

，

所以.

(2)平行六面体中，，，

，

因，且底面是正方形，，，

则有，，同理，，

因此，，

所以的长度是.

4．（2022·全国·高二课时练习）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.

（1）用表示；

（2）求向量与向量所成角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

（1）因为E是的中点，F在上，且，

所以，

于是.

（2）由（1）得，

因此，

，

又因为，

所以向量与向量所成角的余弦值为.

5．（2021·山东潍坊·高二期中）如图， 三棱柱 ，为 的中点， ， 设

(1)试用 表示向量 ；

(2)若 ，异面直线 与 所成角的余弦值．

【答案】(1)(2)

(1)因为D为中点，

所以，

由．所以，

所以．

(2)由题意知，

，

所以，

，

，

所以，

所以异面直线AE与所成角的余弦值为．

1．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角、、（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的对角线的长为__________.

【答案】

如图所示：

所以

依题可知：，

所以

所以

则，故

故答案为：

2．定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标，已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，求向量在基底下的坐标，并求向量的模．

【答案】向量在基底下的坐标是，向量的模是

解：∵向量在基底下的坐标为，

∴，

∴向量在基下的坐标是，

又∵是空间向量的单位正交基底，∴，且

∴

∴向量在基底下的坐标是，向量的模是．

1．（2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

选项A：令，则，，A正确；

选项B：因为，所以不能构成基底；

选项C：因为，所以不能构成基底；

选项D：因为，所以不能构成基底．

故选：A.

2．（2020·广西·模拟预测（理））如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

如图，连接，

因为点，分别是，的中点，

所以.

因为点是的中点，

所以

.

因为点是的中点，

所以，

则.

故选：D.

3．（2020·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）

A． B． C． D．

【答案】B

解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，

则 ，，，，，，

则

故选：B.

4．（2020·浙江·模拟预测）如图，在菱形中，，分别是的中点，若线段有一点满足，则__________，______．

【答案】         

设，

在菱形中，分别是的中点，所以

，

又，所以，解得，

所以，

所以，

因为在菱形中，，

所以.

故答案为：；.