高中人教A版 (2019)第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程达标测试

2.2直线的方程（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：直线的点斜式方程

重点题型二：直线的斜截式方程

重点题型三：直线的两点式方程

重点题型四：直线的截距式方程

重点题型五：直线方程的综合应用

重点题型六：直线一般式方程的应用

重点题型七：将其它形式的方程化为一般式方程

重点题型八：直线的位置关系的应用

重点题型九：过定点的直线系方程

第五部分：高考（模拟）题体验

知识点一：直线的点斜式方程

1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.

2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是.

知识点二：直线的斜截式方程

1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.

2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0.

3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为.

知识点三：直线的两点式方程

1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示.

2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标.

知识点四：直线的截距式方程

直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.

知识点五：直线的一般式方程

定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中

,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.

说明：

1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.

当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．

当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．

由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．

2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.

3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.

知识点六：直线的一般式方程与其它形式方程的互化

知识点七：直线系方程

1．平行直线系方程

把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.

2．垂直直线系方程

一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.

1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误

（1）对直线的点斜式方程也可写成．(      )

（2）直线恒过定点．(      )

2．（2022·全国·高二课时练习）如图，直线l的截距式方程是，则(      )

A．          B．          C．          D．

3．（2022·全国·高二课时练习）过点的直线方程是(        )

A．          B．          C．          D．

4．（2022·全国·高二课时练习）直线的斜率与在y轴上的截距分别是(        )

A．          B．          C．          D．

5．（2022·全国·高二课时练习）倾斜角为，在y轴上的截距为的直线方程是(      )

A．          B．          C．          D．

重点题型一：直线的点斜式方程

典型例题

例题1．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：

(1)过点，倾斜角为；

(2)过点，倾斜角为；

(3)过点，倾斜角为；

(4)过点，倾斜角为.

例题2．（2022·江苏·高二课时练习）过点且斜率为的直线的方程为______．

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是______．

2．（2022·全国·高二期末）若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的，则该直线的方程为________．

3．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线：

(1)，；(2)，；

(3)，；(4)，斜率不存在

4．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：

(1)经过点，斜率为3；

(2)经过点，斜率为；

(3)经过点，斜率为；

(4)经过点，斜率为0；

重点题型二：直线的斜截式方程

典型例题

例题1．（2022·江苏·高二课时练习）（1）求斜率为2，在轴上的截距为5的直线的方程.

（2）求斜率为2，与轴的交点到原点的距离为5的直线的方程.

例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与直线在轴上有相同的截距，且的斜率与的斜率互为相反数，则直线的斜截式方程为______．

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为___________.

2．（2022·四川·高二期末）直线在轴上的截距为5，斜率为2，则该直线方程为___________.

3．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件求直线的斜截式方程：

(1)斜率是，截距是；

(2)倾斜角是，截距是．

4．（2022·江苏·高二课时练习）（1）求倾斜角为，在轴上的截距为的直线的方程；

（2）求倾斜角为，与轴交点到原点的距离为的直线的方程.

重点题型三：直线的两点式方程（不推荐直接代公式用）

典型例题

例题1．（2022·全国·高二课时练习）求经过下列两点的直线的方程：

(1)，；

(2)，；

(3)，；

(4)，．

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）求经过下列两点的直线的方程：

(1)，；

(2)，；

(3)，．

2．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程：

(1)A(3, 1), B(2, －3)；

(2)A(2, 1), B(0, －3)；

(3)A(0, 5), B(4, 0).

重点题型四：直线的截距式方程

典型例题

例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，求该直线的方程．

例题2．（2022·江苏·高二课时练习）写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：

(1)；(2)；

(3)；(4).

同类题型归类练

1．（2022·江苏·高二课时练习）求过点(3, －4)且在坐标轴上的截距相等的直线方程.

2．（2022·江苏·高二课时练习）求过点，在x轴和y轴上的截距分别为，且满足的直线方程.

3．（2022·江苏·高二课时练习）直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程．

4．（2022·全国·高二课时练习）求经过点 ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

重点题型五：将其它形式的方程化为一般式方程

典型例题

例题1．（2022·江苏·高二课时练习）求过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程．

例题2．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求直线的方程：

(1)过点，且截距是；

(2)过点，且在两坐标轴上的截距和为5．

同类题型归类练

1．（2022·吉林·长春市第六中学高二阶段练习（理））经过点，斜率为的直线方程为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·江苏·高二）直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的一般式方程为___________.

3．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式：

(1)经过点（0，2），且倾斜角为；

(2)经过点（－2，3）和点（－1，0）；

(3)经过点（2，1），在x，y轴上有不为0且相等的截距．

重点题型六：直线一般式方程的应用

典型例题

例题1．（2022·江苏·高二）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（       ）

A．1 B． C．或1 D．2或1

例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线在轴上的截距为3，则该直线在轴上的截距为________．

例题3．（2022·全国·高二课时练习）若，，则直线不通过第______象限．

同类题型归类练

1．（2022·江苏·高二）如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（       ）象限

A．一 B．二 C．三 D．四

2．（2022·全国·高二单元测试）直线方程为，若直线不过第二象限，则实数m的取值范围是______．

3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知直线，若 ,，则不经过第一象限的概率为________．

重点题型七：直线方程的综合应用

典型例题

例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线.

(1)若直线在y轴上的截距为1，求实数的值；

(2)若直线的倾斜角为，求实数的值；

(3)若直线的一个法向量为，求实数的值.

例题2．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习（理））已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（  ）

A． B． C． D．

同类题型归类练

1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，直线恒过点(，1)，则的最小值为（       ）

A．8 B．9 C．16 D．18

2．（2022·江苏·高二）设直线的方程为，若直线 在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 ______ ．

3．（2022·重庆市巫山大昌中学校高二期末）直线的倾斜角的取值范围是______.

重点题型八：直线的位置关系的应用

典型例题

例题1．（2022·陕西西安·高一期末）已知直线，点.

(1)求过点且与平行的直线的方程；

(2)求过点且与垂直的直线的方程.

例题2．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知直线，直线过点.

(1)若，求直线的方程；

(2)若，求直线的方程.

同类题型归类练

1．（2022·四川乐山·高一期末）过点且与直线垂直的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·贵州·六盘水市第五中学高二期末）直线与直线的位置关系是（       ）

A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直

3．（2022·湖南岳阳·高二期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）直线与直线的位置关系是（       ）

A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直

5．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）过点且与直线平行的直线方程是______.

6．（2022·全国·高二课时练习）直线的法向量就是的法向量，则实数______．

7．（2022·全国·高二课时练习）若两直线与平行，则实数a的值为______．

8．（2022·全国·高二课时练习）已知直线.

(1)若直线l在y轴上的截距为1，求实数a的值；

(2)若直线l的倾斜角为，求实数a的值；

(3)若直线l的一个法向量为，求实数a的值.

重点题型九：过定点的直线系方程

典型例题

例题1．（2022·全国·高二单元测试）对于任意、，直线必过定点______．

例题2．（2022·江苏·高二课时练习）直线可能是（       ）

A． B．

C． D．

例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的方程是．对于任意，直线均经过定点，则此定点的坐标为___________.

同类题型归类练

1．（2022·四川达州·高一期末（理））直线恒过定点（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）不论k为何值，直线恒过定点（       ）

A． B． C． D．

1．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知直线，，若，则实数的值是（       ）

A．或 B．或

C． D．

2．（2022·福建福建·模拟预测）直线经过第一、二、四象限，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

3．（2022·河南·模拟预测（理））已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·上海·模拟预测）直线的单位法向量是__________

5．（2022·上海·复旦附中模拟预测）经过点且法向量为的直线l的一般式方程是______．