高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式测试题

2.3直线的交点坐标与距离公式（精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．若点到直线：的距离为3，则（       ）

A．3 B．2 C． D．1

【答案】B

由题设可得，结合可得，

故选：B.

2．两条平行直线与之间的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

因为直线与直线平行,

所以,解得,

将化为,

所以两平行直线与之间的距离为.

故选：C

3．直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是(       )

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即，

则或或，

∴l方程为：，

.

故选：C.

4．已知点关于直线的对称点为点，则点的坐标为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

设点关于直线对称的点为，

则，解得，故对称的点为.

故选：D

5．已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为（       ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

解：由题意，的最小值为点到直线l：的距离，

故选：B.

6．光线从点射到轴上，经轴反射以后过点，光线从A到B经过的路程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

点关于轴的对称点为，则光线从A到B经过的路程为的长度，即.

故选：C.

7．若点在直线：上，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

由已知的几何意义为点到点距离的平方，

故其最小值为点到直线：的距离的平方，

即，

故选：B.

8．已知，点为轴上一动点，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

由已知点关于轴的对称点为，

，直线方程为，令得，

所以直线与轴交点为，

，当且仅当是与轴交点时等号成立．

故选：A．

二、多选题

9．已知直线，，则（       ）

A．若，则 B．若，则

C．当时，与相交，交点为 D．当时，不经过第三象限

【答案】BD

解：直线，，

对于A，若，则，

解得，故A错误；

对于B，若，则，解得，故B正确；

对于C，当时，直线，，

与相交，交点为，故C错误；

对于D，当时，，不过第三象限；

当时，时，，当时，，

不经过第三象限．

综上，当时，不经过第三象限，故D正确．

故选：BD．

10．已知直线与交于点，则（       ）

A．

B．

C．点到直线的距离为

D．点到直线的距离为

【答案】ABD

由题意，得：，解得，，故A、B正确，

∴到直线的距离，故C错误，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

11．已知点与点，点P在y轴上，且使得的值最小，则点P的坐标为_____________.

【答案】(0，1)

将点关于轴对称得点，连接，直线与轴的交点为，此时最短.

直线方程为：，令，则，故.

故答案为：(0，1).

12．对任意的实数，求点到直线的距离的取值范围为______．

【答案】

由题意，直线，即 ，

所以 ，解得 ，

所以直线过定点，

当垂直直线时，取得最大值 ，

当直线过点时，取得最小值，

∴的取值范围 .

故答案为：．

四、解答题

13．已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、．

(1)求边的中垂线所在的直线方程和平行四边形的顶点D的坐标；

(2)求的面积．

【答案】(1)，(2)8

(1)如图，设边中点为E，

∵、，∴

边的中垂线所在的直线的斜率为，由直线的点斜式方程得边的中垂线所在的直线为，即．

设边中点为M，则M点坐标为，

设点D的坐标为，由已知得M为线段的中点，

有，解得，∴．

(2)由、得，直线的方程为：，

∴D到直线的距离，

∴．

14．直线l经过两条直线和的交点，且______

(1)求直线l的方程；

(2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积．

试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

①与直线垂直．

②直线l在y轴上的截距为．

【答案】(1)(2)

(1)若选条件①，

联立，得，即直线与直线的交点坐标为．

设直线l的方程为，

将点代入直线l的方程得，解得．

所以直线l的方程为．

若选条件②，

联立，得，即直线l与直线的交点坐标为．

因为直线l在y轴上的截距为，所以直线l经过点，

所以直线l的斜率．

所以直线l的方程为，即．

(2)在直线l的方程中，

令，得；令，得．

所以直线l与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，

所以直线l与坐标轴围成三角形的面积为．

B能力提升

1．直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

依题意可知，

关于直线的对称点为，，

即求的最大值，

，

当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，

也即的最大值是.

故选：A

2．已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

可化为：

设直线的定点为，点P到直线l的距离为，则有：

可得：为直线的定点

则有：，此时为点P到直线l的最大距离

若在直线上，则有：，即

可得：不可能在直线上，则有：

综上可得：

故选：A

3．已知两点，点在直线上，则的最小值为（       ）

A． B．9 C． D．10

【答案】C

依题意，若关于直线的对称点，

∴，解得，

∴，连接交直线于点，连接，如图，

在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，

则有，当且仅当点与重合时取等号，

∴，故 的最小值为.

故选：C

4．已知为直线：上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为____________.

【答案】

点在直线的同侧

设点关于的对称点为

解得，即

由题意，点为直线与的交点

直线的方程为：

故点的坐标为

故答案为：

5．已知直线，，且，则这两条直线之间的距离为___________.

【答案】##

因为直线，，且，

则，解得：，

所以，即，

所以这两条直线之间的距离为，

故答案为：.

C综合素养

1．已知斜率存在的两直线与，直线经过点，直线过点，且．

(1)若与距离为4，求两直线的方程；

(2)若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．

【答案】(1)，

(2)最大距离为5，，

(1)由与的斜率都存在，设直线的斜率为，得的方程，

 即．同理可得的方程，即．

在直线上取点，则点到直线的距离，

，．

，．

(2)当与经过、的直线垂直时，距离最大，

此时斜率，最大距离为5， ，．

2．已知三条直线和，且与的距离是．

(1)求的值；

(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】(1)(2)能，

(1)解：因为可化为，所以与的距离为．

因为，所以．

(2)解：设存在点满足，则点在与，平行直线上．

且，即或．

所以满足条件②的点满足或．

若点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即，所以或，因为点在第一象限，所以不成立．

联立方程和，解得（舍去），联立方程和，解得，所以即为同时满足条件的点.

3．设直线l的方程为

(1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；

(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长；

【答案】(1)见解析(2)

(1)证明：将整理成，

令，解得，，

所以定点为，

故不论为何值，直线必过一定点；

(2)解：由题意知，，由，

当时，，当时，，

由，得，

所以面积，解得，

此时，，，

所以的周长为，

故当面积为12时，的周长为.