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高中数学8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系同步训练题
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这是一份高中数学8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系同步训练题,共15页。试卷主要包含了平面的基本性质,平行公理和等角定理,异面直线所成的角,常用结论等内容,欢迎下载使用。
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系知识储备1.平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.(2)公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l独有关系图形语言 符号语言a,b是异面直线a⊂α 3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4.异面直线所成的角(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:.5.常用结论(1)空间中两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补.(2)异面直线的判定:经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.(3)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.能力检测注意事项:本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共16题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置. 一、单选题1.(2020·合肥市第十一中学高二期中(文))若直线与平面平行,直线,则与位置关系:( )A.平行 B.异面 C.相交 D.没有公共点【答案】D【解析】若直线与平面平行,直线,则直线与可能平行或异面,不可能相交,即没有公共点.故选:D.2.(2020·重庆市万州第三中学高二期中)下列说法正确的是( )A.经过一条直线和一个点,有且只有一个平面B.平面与平面相交,它们只有有限个公共点C.经过三点,有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合【答案】D【解析】对于,当点在直线上时,说法不正确;对于,当平面与平面相交,它们无数个公共点,这些公共点在一条公共直线上,说法不正确;对于,经过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面,说法不正确;对于,如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合,说法正确.故选:D3.(2019·浙江高二学业考试)若直线不平行于平面,且,则下列结论成立的是( ).A.内的所有直线与异面 B.内不存在与平行的直线C.内存在唯一的直线与平行 D.内的直线与都相交【答案】B【解析】因为直线不平行于平面,且,所以直线与平面相交,设交点为.A:直线可以和在平面内过点的直线相交,故本选项结论不成立;B:假设内存在与平行的直线,设为,根据线面平行的判定定理可知直线与平面平行,这与直线与平面相交相矛盾,故假设不成立,故本选项结论成立;C:根据B的判断,显然本选项的结论不成立;D:由A判断,显然本选项结论不成立.故选:B4.(2020·天津高二期中)在正三棱柱中,若,则与所成角的大小为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】如图,连结交于点,取的中点,连结,因为点分布是的中点,所以,即异面直线与所成角是或是其补角,设,则底面边长,,同理,,中,,,所以,所以,即异面直线与所成角是.故选:A5.(2020·湖南高三月考)在正方体中,是正方形的中心,点在线段上,且,是的中点,则异面直线,所成角的大小为( )A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】D【解析】如图所示,在正方体中,在底面上的射影为,在正方形中,分别为的中点,可得,又由,且,所以平面,又由平面,那么,则异面直线所成角的大小为.故选:D.6.(2020·大名县第一中学高二月考)若l,m为两条不同的直线,为平面,且,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且能推出,充分性成立;若且,则或者,必要性不成立,因此“”是“”的充分不必要条件.故选:A.7.(2020·咸阳市高新一中高一月考)如果、是异面直线,且平面,那么与的位置关系是( )A. B.与相交 C. D.不确定【答案】D【解析】、是异面直线,且平面,如图所示:正方体中,是对应棱上的中点,对角面是平面,直线是,满足题意,则是时,,是时与相交,是直线时,,故与的位置关系不确定.故选:D.8.(2020·浙江高一期末)设是直线外一定点,过点且与成角的异面直线( )A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.仅一条【答案】A【解析】过点作直线,如图,与直线成角的圆锥面上的母线均与成角,所以符合题意的直线有无数条.故选:A.二、多选题9.(2020·湖北武汉市·高二期中)如图,在正四棱柱中,,,分别是棱,的中点,异面直线与所成角的余弦值为,则( )A. B.直线与直线共面C. D.直线与直线异面【答案】BCD【解析】如图,连接,可知在正四棱柱中,,四边形是平行四边形,,是异面直线与所成角,设,则,则可得,,,,故A错误,C正确;如图,连接,是,的中点,,又正四棱柱中,,四边形是平行四边形,,,四点共面,即直线与直线共面,故B正确;平面,平面,且,直线与直线异面,故D正确.故选:BCD.10.(2020·南通西藏民族中学高二期中)分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A.平行 B.相交C.异面 D.以上皆不可能【答案】ABC【解析】当两直线分别平行于交线时,这两条直线平行,A正确;两条直线可以交于交线上一点,故可以相交,B正确;一条直线和交线平行,另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时,两直线异面,C正确;故选:ABC.11.(2020·山东日照市·日照一中高三月考)在正方体中,点在线段上运动,则( )A.直线平面B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】BD【解析】A错,如图,连接,,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故;同理,连接,易证得,则平面,若直线平面,则平面平面这与平面与平面相交矛盾,所以A错;B正确,,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值;C错,由, 当点与线段的端点重合时,与所成角为60°;设的中点为,当点由的端点向中点运动时,为异面直线与所成角在在中,,所以 在中,不变,逐渐变小.所以逐渐增大,当点与重合时,异面直线与所成角为 所以异面直线与所成角的取值范围是,所以C不正确.D正确,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1, 则, 由前面可得,平面,所以 为平面的一个法向量∴直线C1M与平面所成角的正弦值为 : 当时,有最大值 所以直线C1M与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为,故D正确.故选:BD.12.(2020·邵东市第一中学高三月考)点是正方体中侧面上的一个动点,则下面结论正确的是( )A.满足的点的轨迹为直线B.若正方体的棱长为1,三棱锥的体积的最大值为C.点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等D.在线段上存在点,使异面直线与所成的角是【答案】BC【解析】如图,在正方体中,侧面,则,又,,所以平面,当点M在线段上时,有,所以点的轨迹为线段,故A不正确;由正方体的性质得,平面,若正方体的棱长为1,则点M与重合时,三棱锥的体积取得最大,其值为,故B正确;平面上的点M到直线的距离等于M到的距离,则满足到直线AD和直线的距离相等,即满足到直线AD和点的距离相等.可知M的轨迹为平面上抛物线的部分,故C正确.异面直线与所成的角是,当在线段上运动时,点取的中点时,最小,其正切值为,所以不存在点,使异面直线与所成的角是,故D不正确,故选BC. 三、填空题13.(2019·西安交通大学附属中学雁塔校区高一月考)若a ,b 是两条不相交的直线,则过直线b 且平行于a 的平面有__________个.【答案】1或无数【解析】由a ,b 是两条不相交的直线,1、若a ,b平行时,过直线b 且平行于a 的平面有无数个;2、若a ,b不平行时,即为异面直线,则过直线b 且平行于a 的平面有且仅有1个;故答案为:1或无数.14.(2020·山西吕梁市·高二期中)如图,在正方体中,、、、分别是顶点或所在棱的中点,则、、、四点共面的图形有____(填上所有正确答案的序号).【答案】①③④【解析】对于①,连接、,取的中点,连接、,在正方体中,四边形为正方形,则且,、分别为、的中点,则且,所以,四边形为平行四边形,可得,同理可证四边形为平行四边形,所以,,则,此时,、、、四点共面;对于②,如下图所示:平面,此时,、、、四点不共面;对于③,连接、、,在正方体中,且,则四边形为平行四边形,可得,、分别为、的中点,则,,此时,、、、四点共面;对于④,连接、、、,
在正方体中,且,则四边形为平行四边形,所以,,、分别为、的中点,则,同理可证,,此时,、、、四点共面;对于⑤,由题图可知,平面,此时,、、、四点不共面.故答案为:①③④.15.(2020·昔阳县中学校高二期中)如图,已知一个八面体的各条棱长均为2,四边形ABCD为正方形,给出下列说法:①该八面体的体积为;②该八面体的外接球的表面积为8π;③E到平面ADF的距离为;④EC与BF所成角为60°.其中正确的说法为__________.(填序号)【答案】②④【解析】①八面体的体积为;②八面体的外接球球心为正方形ABCD对角线交点,易得外接球半径为,表面积为;③取AD的中点G,连接EG,FG,EF,易得,平面EGF,过E作,交FG的延长线于H,又,,故平面ADF,解得,所以E到平面ADF的距离为;④因为,所以EC与BF所成角为.故答案为:②④.四、双空题16.(2020·浙江省杭州第二中学高二期中)如图,在四面体中, ,、、、分别是、、、的中点,则和所成角为_________,若与所成角为,则和所成角为_________.【答案】 或. 【解析】(1)连接,、、、分别是、、、的中点,,,四边形是平行四边形,,,,,故四边形是菱形,,故和所成角为;,即为与所成角(或其补角),或,而为和所成角,且或,即和所成角为或.故答案为:;或.
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