高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案

【新教材】 8.4.1 平面（人教A版）

1.正确理解平面的概念；

2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；

3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三个基本事实和三个推论的地位与作用.

1.数学抽象：平面概念的理解；

2.逻辑推理：点线共面、多点共线，多线共点问题；

3.直观想象：点、直线、平面之间的位置关系.

重点：1、平面的概念及表示；

2、平面的三个基本事实和推论，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.

难点：平面的三个基本事实的掌握与运用.

一、    预习导入

阅读课本124-127页，填写。

1、平面

(1)平面的概念

几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是          __________________的.

(2)平面的画法

①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成_______,且横边长等于其邻边长的_______.如图(1).

②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用_______画出来或者不画.如图(2).

(3)平面的表示

平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等.

2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达

点A在直线上，则_______， 点A在直线外，则_______;

点A在平面内，则_______， 点A在平面外，则_______;

直线在平面内，则_______， 直线在平面外，则_______;

平面与平面相交直线，则______________.

3、平面的基本事实

基本事实1的三个推论

推论1：经过____________________________，有且只有一个平面.

推论2：经过_____________________，有且只有一个平面.

推论3：经过_____________________，有且只有一个平面.

1.下列说法:①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面的长是100 m,宽是90 m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.其中正确的个数为(　 　)

(A)0 (B)1 

(C)2 (D)3

2. 三条直线两两相交,可以确定平面的个数是(　 　)

(A)1个         (B)1个或2个

(C)1个或3个 (D)3个

3.若A∈平面α,B∈平面α,C∈直线AB,则(　 　)

(A)C∈α (B)C∉α

(C)AB⊄α (D)AB∩α=C

4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是____________________________.

题型一  文字语言、图形语言、符号语言的转换

例1　根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应

图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l, P∉α,Q∈l,Q∈α．

跟踪训练一

1、A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正确的是(　　)

(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α

(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α⇒α∩β=直线AB

(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合

(D)l∈α,n∈α,l∩n=A⇒l与n确定唯一平面

2、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

题型二  点线共面

例2 如图,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证直线l1,l2,l3在同一平面内.　

跟踪训练二

1、空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的平面数是(　　)

(A)1             (B)2    (C)3           (D)1或3

题型三  多点共线、多线共点问题

例3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.

跟踪训练三

1．如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)

(A)A,M,O三点共线 

(B)A,M,O,A1不共面

(C)A,M,C,O不共面 

(D)B,B1,O,M共面

1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是(　 　)

(A)a∈α,A⊂a⇒A⊂α

(B)a⊂α,A∈a⇒A∈α

(C)a∈α,A∈a⇒A⊂α

(D)a∈α,A∈a⇒A∈α

2.下列图形中不一定是平面图形的是(　 　)

(A)三角形 (B)平行四边形

(C)梯形    (D)四边相等的四边形

3.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是(　 　)

4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是　　　　. 

①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.

5.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为8 cm,M,N,P分别是AB, A1D1,BB1的中点.

(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线;

(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q,求PQ的长.

答案

小试牛刀

1. B

2．C

3．A

4. 点P在直线DE上

自主探究

例1　【答案】见解析.

【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.

(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.

(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.

图形分别如图(1),(2),(3)所示.

跟踪训练一

【答案】1、D.   2、①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.②中,α∩β=l,a⊂α, b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.

【解析】1.选D，D选项的表述有问题.

2. 在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.

在②中,α∩β=l,a⊂α, b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.

例2【答案】见解析．

【解析】因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.

因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.

因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.

因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.

同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.

所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.

所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.

跟踪训练二

1、【答案】D．

【解析】两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面,若不在一平面内,每两条直线可确定一个平面,共可确定3个平面,故选D．

例3  【答案】 见解析．

【解析】　连接EF,D1C,A1B,

因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EFA1B.

又因为A1BD1C,所以EFD1C,

所以E,F,D1,C四点共面,

可设D1F∩CE=P.

又D1F⊂平面A1D1DA,CE⊂平面ABCD,

所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.

又因为平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,

所以据公理3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.

跟踪训练三

1．【答案】A.

【解析】连接A1C1,AC,则A1C1∥AC.

所以A1,C1,C,A四点共面.

所以A1C⊂平面ACC1A1.

因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,

所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,

同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,

所以A,M,O三点共线.故选A.

当堂检测 

1-3. BDD

4. ①③④.

5．【答案】（1）见解析（2）.

【解析】 (1)如图,设M,N,P三点确定的平面为α,

则α与平面ABB1A1交于MP.

设MP∩A1B1=R,

则RN是α与平面A1B1C1D1的交线.

设RN∩B1C1=Q,

则PQ是α与平面BB1C1C的交线.

(2)因为正方体的棱长为8 cm,M,P分别为AB,BB1的中点,

所以B1R=BM=4 cm.

在△RA1N中,=,

所以B1Q=×4= (cm).

在Rt△PB1Q中,

PB1=4 cm,B1Q= cm,

所以PQ==(cm).