高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题

第八章 立体几何初步

8.6.1-8.6.2直线与直线垂直、直线与平面垂直

一、基础巩固

1．已知直线，．若，则实数（     ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

【详解】

若，则，解得或.

2．设，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中不正确的一个是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】D

【详解】

选项A．若，，则,正确.

选项B．若，，则,正确.

选项C．若，,则，正确.

选项D. 若，，则与可能平行，也可能异面，所以不正确.

3．已知两条不重合的直线和两个不重合的平面和，则下列说法正确的为（    ）

A．若，，则

B．若，，则，为异面直线

C．若，，则

D．若，，，，则

【答案】C

【详解】

解：对于A，可能，故A不正确；

对于B，，的位置可能是平行直线，可能是相交直线，也可能是异面直线，故B不正确；

对于C，由垂直于同一平面的两条直线平行，得出，所以C正确；

对于D，根据面面平行的判定定理可知，对应平面内的直线如果两条直线是相交的，则两个平面是平行的，故D不正确.

4．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列条件中能得出直线平面的是（    ）

A．，其中 B．

C． D．

【答案】D

【详解】

A中缺少条件“与相交”；B中，当时，与可能平行，可能相交，也可能；C中，与可能平行，可能相交，也可能.对于D选项，两条平行直线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，D选项正确.

5．在三棱锥中，，过作平面，为垂足，为的中点，则下列结论中肯定成立的是（    ）

A． B．

C． D．，，三点共线

【答案】B

【详解】

平面，平面，，

，点是的中点，，，

平面，平面，，

，故B正确；

不能推出选项.

6．设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（    ）

①   ②   ③    ④

A．①② B．①④ C．②③ D．②④

【答案】C

【详解】

对①，若，则和可能相交，平行或在平面内，故①错误；

对②，若，则由面面垂直的判定定理可得，故②正确；

对③，若，则由线面垂直的性质可得，故③正确；

对④，若，则和平行或异面，故④错误.

7．如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

取中点,连接,

因为正三棱柱，所以为正三角形，所以,

因为正三棱柱，所以平面平面，

因此平面，

从而四棱锥的体积为,

8．如图，正方体的棱长为，下面结论错误的是（    ）

A．平面

B．平面

C．异面直线与所成角为

D．三棱锥体积为

【答案】D

【详解】

A选项，在正方体中，，又平面，平面，所以平面，即A正确；

B选项，连接，，在正方体中，，，平面，平面，

因为平面，平面，

所以，，

又，平面，平面，所以平面，

因此；

同理，

又，平面，平面，

所以平面；即B正确；

C选项，因为，所以即等于异面直线与所成角，

又，即为等边三角形，即异面直线与所成角为，故C正确；

D选项，三棱锥的体积为.故D错；

9．（多选）已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】BC

【详解】

对A，根据直线平行的传递性，故A正确；

对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；

对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；

对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.

10．（多选）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【详解】

由正方体的平面展开图还原正方体如图，

由图形可知，

，故A错误；

由，四边形为平行四边形，所以，故B正确；

因为,,所以平面,所以，故C正确；

因为，而,所以，故D正确.

11．（多选）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．平面ABCD

C．的面积与的面积相等 D．三棱锥的体积为定值

【答案】ABD

【详解】

由于，故平面，所以，所以A正确；

由于，所以平面，故B正确；

由于三角形和三角形的底边都是，而高前者是到的距离，后者是到的距离，这两个距离不相等，故C错误；

由于三棱锥的底面三角形的面积为定值.高是点到平面也即点到平面的距离也是定值，故三棱锥的体积为定值.故D正确.

12.(多选）已知边长为2的菱形ABCD中，，现沿着BD将菱形折起，使得，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．二面角的大小为

C．点A到平面的距离为

D．直线与平面所成角的正切值为

【答案】ABC

【详解】

取BD的中点O，连接OA，OC，

由菱形性质可知和都是等边三角形，

，，又，

平面，

，故选项A正确；

由，可知为二面角的平面角，

由可知，又，

，故选项B正确；

点A到平面BCD的距离，故选项C正确；

过点A作平面，垂足为，则M为OC的中点，所以，

连接DM，则为直线AD与平面BCD所成的角，且，

故，

所以，故选项D错误.

二、拓展提升

13．已知直线过点，且是直线的一个法向量，求直线的一般式方程.

【答案】

【详解】

因为是直线的一个法向量，
所以设直线的方程为.
代入点，得，
解得，
所以直线的一般式方程为.

14．如图，在底面为菱形的四棱锥中，，点在上，且

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见详解；（2）

【详解】

（1）因为底面是菱形，，

所以，

在中，，

由，可得.

同理，，又所以平面.

（2）作交于，

由平面.

则平面，作于，连结，

则，即为所求二面角的平面角.

又，所以，，

从而,

所以.

15．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面.

（1）求证：；

（2）若________，求点到平面的距离.在①；②二面角的大小为60°；③，这三个条件中，任选一个，补充在问题中，并加以解答.

【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.

【详解】

（1）证明：∵底面为平行四边形，∴，

∵在中，，

∴为直角三角形，，

又∵平面，∴，∵，∴平面，

∵平面，∴

（2）由（1）可得，∵平面，∴，

∵，∴平面，∵平面，∴，

①选条件，∴，

设点到平面的距离为，则由可得，

，解得，

即点到平面的距离为.

②选条件二面角的大小为60°，∵，

∴为二面角的平面角，∴，

，，

设点到平面的距离为，则由可得，

，解得：，

∴点到平面的距离为.

③选条件，则，∴，

∴，

设点到平面的距离为，∴，

解得，∴点到平面的距离为.