高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质同步测试题

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2.1等式性质与不等式性质（精练）A夯实基础   B能力提升   C综合素养A夯实基础  一、单选题1．若，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D对于选项A：当时，不等式，故A不正确；对于选项B：当时，，故B不正确；对于选项C：当时，，故C不正确；对于选项D：因为，所以，故D正确．故选：D．2．设，，，则P、Q的大小为（       ）A． B． C． D．【答案】A解：因为，，所以，所以；故选：A3．若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】DA：当时，显然不成立；B：当时，显然没有意义；C：当时，显然不成立；D：根据不等式的性质，由能推出，故选：D4．给出下列四个关于实数的不等关系的推理：①，②，③，④.其中推理正确的序号为（       ）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【答案】B根据不等式的可加性，可知正确，故①正确；若，故②错误；因为，所以，又，所以，故③正确；若，则④错误；故选:B.5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若a，b，，则下列用不等号表示的真命题是（       ）A．且，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】C对于A，当，不等式不成立，故错误；对于B，取，，故错误；对于C，因为，所以，即，两边同时除以得，故正确；对于D，当，不等式不成立，故错误.故选：C.6．李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价略有差异.有以下两种加油方案：方案一：不考虑两次油价的升降，每次都加油200元；方案二：不考虑两次油价的升降，每次都加油30升.李先生下个月采用哪种方案比较经济划算?（       ）A．方案一 B．方案二 C．一样划算 D．不能确定【答案】A设第一次油价为，第二次油价为，，，方案一的平均油价为：；方案二的平均油价为：.则，故.故选：A.7．若实数，满足不等式组，则的最小值是（       ）A． B． C． D．0【答案】A，得到，，故.当，时等号成立.故选：A.8．已知，，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D令，∴，即，∴，故.故选：D二、多选题9．若，，则一定有（       ）A． B． C． D．【答案】ABD对A，由，故A正确；对B，，故B正确；对D，由，又，故D正确；故选：ABD10．已知，，，则下列等式不可能成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】ABCA：由，则，可得，，故错误；B：由题设，得：，当且仅当时取等号，此时的最大值为，故错误；C：由，当且仅当时取等号，故错误；D：若，又，解得，显然满足条件，故正确.故选：ABC．三、填空题11．已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．【答案】由于，且，所以，，，所以.故答案为：12．若，则下列不等式：①，②，③，④中正确的不等式的序号为______.【答案】③④由于，所以，，.所以①错误.，所以②错误.，③正确.，④正确.故答案为：③④四、解答题13．（1）已知，，求和的取值范围；（2）已知，，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.（1），又，，又，（2）设，得即而，14．若，，，比较，，的大小.【答案】.详解：∵，，，∴ ，即， ，即，综上可得：. B能力提升  1．已知、，则“”是“”成立的（            ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A由，可得，且，则可得到，故充分性成立；反之若，可取，显然得到不等式不成立，故必要性不成立.故选：A．2．四个条件:;;;中,能使成立的充分条件的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C由题意,时,,∴;时,,∴;时,,,∴;时,,∴从而能使成立的充分条件的个数是3个故选C.3．（1）已知，求的取值范围；（2）已知一桶食盐水中含有克食盐，克水，再在桶中添加克食盐和克水（假设食盐全部溶解，食盐水没有溢出）.请判断当满足什么样的关系式时，食盐水的浓度变大？变小？不变？【答案】（1）；（2）当时，食盐水的浓度变大；当时，食盐水的浓度不变；当时，食盐水的浓度变小.【详解】（1）令，则解得有.又由，有，故的取值范围为.（2）没有添加食盐和水时，食盐水的浓度为，添加食盐和水时，食盐水的浓度为.由，有当时，食盐水的浓度变大；当时，食盐水的浓度不变；当时，食盐水的浓度变小.4．已知，，则的范围是_________，的范围是________．【答案】          【详解】，，两个不等式相加可得，解得，设，所以，，解得，，因为，，由不等式的基本性质可得.故答案为：；.C综合素养1．（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；（2）已知c>a>b>0，求证：；（3）观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3证明：（1）因为，所以，又，即，所以，所以，即≤；（2）因为，所以，，所以，所以；（3）解：①成立，证明如下：∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b32．对平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义：如果，那么称点是点的“上位点”，同时称点是点的“下位点”．(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)设a，b，c，d均为正数，且点是点的“上位点”，请判断点是否既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【答案】(1)一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为（答案不唯一，正确即可）(2)是，证明见解析(1)解：由题意，可知点的一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为．（答案不唯一，正确即可）(2)解：点既是点的下位点，又是点的“上位点”，证明如下：∵点是点的“上位点”，∴，又a，b，c，d均为正数，∴，∵，∴是点的“下位点”，∵，∴是点的“上位点”，综上，既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．