数学2.1 等式性质与不等式性质同步测试题

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2.1等式性质与不等式性质（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：比较两个代数式的大小重点题型二：利用不等式的性质证明不等式重点题型三：利用不等式的性质求取值范围重点题型四：利用待定系数法求取值范围               知识点一：不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.自然语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符号语言知识点二：实数大小的比较1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.2、作差法比大小：①；②；③3、不等式性质性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变知识点三：不等式的探究一般地，，有，当且仅当时，等号成立.知识点四：不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性（等价于）传递性（推出）可加性（等价于可乘性注意c的符号（涉及分类讨论的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性a，b同为正数可开方性1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）若，则一定成立．(      )（2）若，则．(      )（3）若，则．(      )【答案】     错误     正确     错误（1）当时，若，则，故该结论错误；（2）∵，∴，∴，故该结论正确；（3）当时，满足，但不满足，故该结论错误．2．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是(      )A．       B．C．且       D．【答案】A对于选项A，∵，∴，又，∴成立，故A选项正确；对于选项B，当，时，结论明显错误；对于选项C，当时，，所以结论错误；对于选项D，当时，，所以结论错误．3．（2022·全国·高一课时练习）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是(      )A．       B．C．       D．【答案】D由题可得，整理得故选：D．4．（2022·全国·高一课时练习）设，则m，n的大小关系是___________．【答案】∵∴故答案为：重点题型一：比较两个代数式的大小典型例题例题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））已知，，，则下列不等式中一定成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】C对于A：，因为，所以，，但的正负不确定，所以不一定成立，即选项A错误；对于B：，因为，所以，，但的正负不确定，所以不一定成立，即选项B错误；对于C：，因为，所以，，，所以一定成立，即选项C正确；对于D：，因为，所以，，但的正负不确定，所以不一定成立，即选项D错误.故选：C.2．（2022·江苏·高一）若，，则与的大小关系为（   ）A． B． C． D．不能确定【答案】B因为，所以，故选：B同类题型演练1．（2022·江苏·高一）若，则下列不等式一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】BD对于A：因为，所以.所以，所以.故A错误；对于B、C：因为，所以.所以，所以.故B正确，C错误；对于D：因为，所以，所以.故       D正确.故选：BD2．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则_______．（用“>”或“<”填空）【答案】>因为,又，，所以，所以，故答案为：>.3．（2022·全国·高三专题练习）已知，为实数，则______．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）【答案】≥，当且仅当，取等号．故答案为：≥重点题型二：利用不等式的性质证明不等式典型例题例题1．（2022·江苏·高一）（1）比较与的大小；（2）已知，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①；   ②；  ③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？【答案】可组成3个正确命题．【详解】（1）对②变形得，由得②成立，即①③②．（2）若，则，即①②③．（3）若，则，即②③①．综上所述，可组成3个正确命题．同类题型演练1．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(1)，两边同乘以，则又，两边同乘以，则即(2)，两边同乘以，得；两边同乘以，得，所以又，则，又，则，即2．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)证明： ，，又，；(2)证明：，，又，．3．（2022·湖南·高一课时练习）求证：(1)若，且，则；(2)若，且，同号，，则；(3)若，且，则．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析(1)证明：因为，所以，又，故，即；(2)证明：因为，，所以 ，因为，同号，所以 ，，故，即 ，所以；(3)证明：因为，所以 ，又，所以 ， 故.4．（2022·全国·高一）（1）试比较与的大小；（2）已知，，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.（1）由题意，，所以．（2）证明：因为，所以，即，而，所以，则．得证．重点题型三：利用不等式的性质求取值范围典型例题例题1．（2022·江苏·高一）已知，，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D解：因为，，所以，，所以，所以的取值范围是，故选：D.例题2．（2022·江苏·高一）设，，求，，的范围.【答案】，，∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．同类题型演练1．（2022·江苏·高一）已知，则的取值范围为（        ）A． B． C． D．【答案】C，故，，得故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A因为，所以，由，得.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习（理））设实数、满足，，则的取值范围是（     ）A． B．C． D．【答案】B由已知得，，，故，故选：B.4．（2022·全国·高一）已知，则的取值范围为_______.【答案】因为，所以，所以，.将不等式,同乘以,则，即.故答案为.重点题型四：利用待定系数法求取值范围典型例题例题1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】C设，可得，解得，，因为可得，所以.故选：C.例题2．（2022·江西省铜鼓中学高二阶段练习（理））已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）【答案】,则解得，则，又，∴，即，故答案为：．例题3．（2022·辽宁·高三期中）已知，则的取值范围为______.【答案】令，令，解得，所以，由得，由得，所以，所以，所以的取值范围为.故答案为：同类题型演练1．（2022·全国·高三专题练习）已知实数满足，，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B解：令，，则，则，，，又，，∴，故选：B．2．（2022·山西太原·高一开学考试）已知，，则的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】D设，，解得，，，，，由不等式的性质可得，即，因此，的取值范围是，故选D.3．（2022·江西·二模（文））已知，，则6x＋5y的取值范围为______．【答案】解：，即故6x＋5y的取值范围为．故答案为：4．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数、满足，，则的取值范围为______．【答案】解：设，则，解得，所以，因为，，所以，，所以，故答案为：.5．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则的取值范围是_____．【答案】设，因此得：，，，因为，所以，因此，所以.故答案为：