2020-2021学年2.2 基本不等式课时练习

2.2基本不等式（精练）

A夯实基础   B能力提升   C综合素养

A夯实基础 

一、单选题

1．函数的最小值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

解：因为，所以，当且仅当，即时取等号；

故选：D

2．若，且，则的最大值为（       ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】A

解：因为，且，所以，当且仅当时取等号；

故选：A

3．函数的最小值为（       ）

A．7 B．7 C．6 D．2

【答案】B

，

，

当且仅当时等号成立.

故选：B

4．函数y＝3x2＋的最小值是(       )

A．3－3 B．3

C．6 D．6－3

【答案】D

，

当且仅当时等号成立.

故选：.

5．已知，，且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.

故选：A

6．若，则的最小值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

因为，

所以，

（当且仅当且，即时取等号）,

即的最小值为4.

故选：D.

7．设函数，则函数f（x）（       ）

A．有最小值 B．有最大值

C．有最小值 D．有最大值

【答案】D

∵x＜0，

∴

，

当且仅当，即时，等号成立.

∴f（x）max＝﹣21，

故选：D.

8．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

当时，不等式恒成立，

对均成立．

由于，

当且仅当时取等号，

故的最小值等于3，

，

则实数a的取值范围是．

故选：D．

二、多选题

9．已知，，则下列各式中一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

解：对于A，因为，，

所以由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故A正确；

对于B，因为，，所以，

当且仅当即时等号成立，故B正确；

对于C，因为，，所以，

当且仅当时等号成立，故C正确；

对于D，因为，，所以，

当且仅当时等号成立，故D错误．

故选：ABC．

10．设正实数､满足，则下列结论中正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

对于A中，由，

可得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；

对于B中，由基本不等式得，所以，解得，所以B正确；对于C中，由基本不等式可得，

因为，故，当且仅当时，等号成立，所以C错误；

对于D中，由正实数满足，则，

可得，故，所以D正确.

故选：ABD.

三、填空题

11．设且，则最小值为___________；

【答案】9

.

当且仅当,即取等

故答案为：9

12．已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值是__________.

【答案】9

，当且仅当a＝b＝时取等号，

不等式恒成立，则m≤9，故m的最大值为9.

故答案为：9.

四、解答题

13．（1）已知，，，求的最小值；

（2）已知，求的最大值.

【答案】（1）2；（2）.

（1），，

当且仅当时，等号成立

当时，的最小值为

（2），求

当且仅当即时，等号成立

当时，的最大值为

14．已知实数，．

(1)若，求的最小值．

(2)若，求的最大值与的最小值；

【答案】(1)9

(2)2xy最大值为2；最小值为2

(1)，，=

当且仅当时等号成立，最小值为9

(2)因为，又因为，所以，解得，

因为，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以2xy最大值为2；

因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，

所以最小值为2．

 B能力提升 

1．设a，b，c均为正数，则，，（       ）

A．都不大于6 B．都不小于6

C．至多有一个不大于6 D．至少有一个不小于6

【答案】D

因为①，

当且仅当时等号成立.

如果，，都小于，则不符合①，

所以，，至少有一个不小于6．

故选：D

2．已知，，，则的最小值为（       ）

A． B．2 C． D．1

【答案】B

将转化为，

，

当且仅当，时取等号，

即的最小值为2．

故选：．

3．已知实数满足，且，则的值最小时，实数（       ）

A． B．

C． D．1

【答案】A

设，解得 ，

所以 ，即，

设，

则，即，

当且仅当，即时取等号，

即，

则的值最小时，实数，

故选:．

4．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

根据题意先求得最小值，

由，

得

，

所以若要不等式恒成立，

只要，即，

解得，所以.

故答案为：

5．已知，，且x＋y＝4，则＋的最小值是_______.

【答案】##1.125

由，得

，

当且仅当时，即时等号成立，

∴＋的最小值为.

故答案为：.

C综合素养

1．运货卡车以千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规限制(单位千米/时)，假设汽车每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时元．（不考虑其他因所素产生的费用）

(1)求这次行车总费用(元)关于(千米/时)的表达式；

(2)当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值．

【答案】(1)

(2)当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元

【解析】

(1)解：行车所用时间，汽油每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时元，

所以行车总费用为：；

(2)因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元.

2．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.

(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）

(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：

①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；

②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.

哪一种方案较为合算？请说明理由.

【答案】(1)3年

(2)方案①较为合算

(1)由题意可得，即，

解得，，

该车运输3年开始盈利.；

(2)该车运输若干年后，处理方案有两种：

①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，

，

当且仅当时，取等号，

方案①最后的利润为：（万；

②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，

，

时，利润最大，

方案②的利润为（万，

两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，

方案①较为合算.