高中人教A版 (2019)4.2 指数函数一课一练

4.2指数函数（精练）

A夯实基础   B能力提升   C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．（2022·全国·高一专题练习）函数是指数函数，则（       ）

A．或 B． C． D．且

【答案】C

由指数函数定义知，同时，且，所以解得.

故选：C

2．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

解：令，解得，

所以当时，，

所以函数过定点.

故选：B

3．（2022·全国·高一专题练习）函数(是自然底数)的大致图像是（       ）

A． B． 

C．                  D．

【答案】C

解析 ，

函数为偶函数，且过，，

函数在上递增，在上递减，故C符合.

故选：C.

4．（2022·全国·高三专题练习）设，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

由题意可知，，，

，

又函数在上是单调递增函数，

因为，所以，故，

故选:C．

5．（2022·浙江省淳安中学高一期中）若函数的图象如图所示，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

由题意，函数，

令，即，解得或，

可得或，

结合图象，可得，解得；

又由函数的图象得，当时，，

当时，因为，可得，所以，即，解得.

故选：D.

6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）“”是“函数在R上为增函数”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

解：在R上为增函数，则，即．

故时，为增函数，充分性成立；

但为增函数，a还可以是，故必要性不成立．

故选：A．

7．（2022·陕西渭南·高二期末（理））深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下所需的训练迭代轮数至少为（       ）

A．11 B．22 C．44 D．67

【答案】D

由得,故，由题意得,故至少迭代67轮，

故选：D

8．（2022·河南·高二期末（文））已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

对任意两个不相等的实数，，恒成立，

所以函数在上为增函数，则有

解得：.

故选：D.

二、多选题

9．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；

②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；

故选：AC

10．（2022·全国·高三专题练习）函数在下列哪些区间内单调递减（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

由题意，函数在上单调递减，

又由函数在上单调递增，在上单调递减，

由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，

结合选项，可得选项符合题意.

故选：ACD.

三、填空题

11．（2022·福建省德化第一中学高二期末）已知函数，使不等式成立的一个充分不必要条件是_________.

【答案】（答案不唯一，只要是的一个真子集都正确）

是偶函数且在上单调递增，若则满足：，两边同时平方解得：，故使不等式成立的一个充分不必要条件是

故答案为：

12．（2022·上海市川沙中学高二期末）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

根据题意可得：

∵在上单调递减，则

又∵在上单调递增，则

∴，则

故答案为：．

四、解答题

13．（2022·全国·高一专题练习）已知定义在上的奇函数．在时，．

(1)试求的表达式；

(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)(2)

(1)解：是定义在上的奇函数，，

因为在时，，

设，则，

则，

故 .

(2)解：由题意，可化为

化简可得，

令，，

因为在定义域上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，

，

故．

14．（2022·四川雅安·高二期末（文））已知函数，

(1)当时，求函数在的值域

(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．

【答案】(1)(2)

(1)解：∵，，

令，∵，∴，

∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，

∴的值域是.

(2)解：方程有解，

即有解，

即有解，

∴有解，

令，则，

∴.

 B能力提升 

1．(多选）（2022·江苏淮安·高一期末）函数的图象可能为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

当时，，图象A满足；

当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；

当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；

图象C过点，此时，故C不成立.

故选：ABD

2．(多选）（2022·全国·高三专题练习）对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

对于A，，，，正确；

对于B，，，，错误；

对于C，在定义域中单调递增，，正确；

对于D，，又，则，正确；

故选：ACD

3．（2022·福建三明·高二期末）已知函数（，且），且．

(1)求a；

(2)，求t的取值范围．

【答案】(1)(2)

(1)因为，

所以，即，

所以或．

又因为，且，

所以．

(2)由（1）得，所以，

因为和在R上是增函数，

所以f（x）在R上是增函数，

又因为，

所以f（x）为奇函数，

因为，

所以，

所以，解得，

即t的取值范围是．

4．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，则________；函数在区间的最大值为_________．

【答案】         

当时，；

令，所以，对称轴为，

所以在上单调递减，在上单调递增，

当时，；当时，，

所以，此时，

故答案为：；.

C综合素养

1．（2022·吉林·农安县教师进修学校高二期中）已知函数(，且)是指数函数.

(1)求k，b的值；

(2)求解不等式.

【答案】(1)，(2)答案见解析

(1)解：因为(，且)是指数函数，

所以，，

所以，；

(2)解：由（1）得(，且)，

①当时，在R上单调递增，

则由，

可得，解得；

②当时，在R上单调递减，

则由，

可得，解得，

综上可知，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

2．（2022·江西·高一期末）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，.

(1)求的解析式；

(2)函数，若存在最小值，求实数的取值范围，并求出的最小值.

【答案】(1)

(2)实数的取值范围是，的最小值为

(1)设，则，

因为是奇函数，所以.

又是定义在R上的奇函数，所以，

综上，.

(2)当时，

，

令，(),则，

于是问题等价于“函数在上存在最小值，求实数的取值范围”.

该二次函数的对称轴方程为，

当，即时，在上单调递增，

此时不存在最小值，不符合题意.

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以存在最小值，此时，

综上，实数的取值范围是，的最小值为.